II = — 1—-U„-U,-U

H sera un infiniment petit d'ordre an + i.

Précisons davantage; je suppose que po et pi soient deux constantes cl que l'on ail

on pourra trouver une constante B telle que Soit maintenant

Sa.= /■,/„,(Lio+U,-KlJ,),

l'intégration étant (''tendue à tous les éléments dhi' de la variété C/, ; S/, sera un polvnônic du second degré par rapport aux x et aux v. Ce ])oljnômc sera harmonique, c'est-à-dire qu'on aura

AS<. = o;

car on a

et par conséquent On a ensuite

AU„=AUi = AU-,= o.

Il est clair que si les inégalités (a) sont remplies, on aura

iv.-s.|<^,

la lettre tr désignant la plus petite valeur que puisse prendre p à l'intérieur du prismatoïde R^;-.

Soit d'un autre côté T le volume d'un prismatoïde des périodes; ce volume est évidemment le même pour tous les prismaloïdes. Soit D la longueur de la plus grande diagonale de ce prismatoïde; cette longueur est aussi la même pour tous les prismatoïdes.

A l'intérieur du prismatoïde R/,, p sera compris entre a et ct+D. L'intégrale 2«l''''

/ilx\ f/.r'.. . . .rLr'i, (l\ ', . . .<l\'„ Ç (h.

T étendue au prismatoïde R< sera plus grande que ■ .,^^^^ ; je désigne pour abréger

par d- le proiluit des in différentielles dx' et dy' . On aura donc

Je dis que la série

S(V,-Sx-)

est absolument convergente. En effet^, nous distinguerons parmi les prismatoïdes R^ :

POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. 2'i'i

i" ceux dont tous les points ne satisfont pas aux inégalilc's

Ceux-là sont on nombre fini et correspondent à un nombre fini de termes de la série.

2" ceux dont tous les points satisfont aux inégalités

P>pi, p > D.

La soniine

siVi-s,!

relative à ces prismaloïdes est plus petite que l'intégrale

AB r d-

étendue à tous les éléments c?t de ces prismatoïdes; ou a fortiori plus petite

que l'intégrale

étendue à tous les éléments d~ de l'espace tels que

?>pi, P>D;

je puis toujours supposer pour fixer les idées

?>pi>D.

Or cette dernière intégrale est égale à l'intégrale simple

m étant une constante, et cette intégrale simple est finie. Donc la série

est absolument convergente. c. q. v. n.

Cette série est évidemment égale à l'intégrale

étendue à tous les éléments diJ de la variété C.

Je désigne par Y la somme de celte série.

Voici les propriétés fondamenlales de celle fonclioii V.

i" Elle esl harmonique dans lout l'espace sauf pour les poinls de la variété C.

2" La difTérence V — V^ est liaruioiiique en tous les poinls du prismaloïde R/,.

3" Envisageons un domaine (j, où l'on peut mettre F sous la forme ^^ et qui fasse partie do Rx.

D'après le théorème fondamental du paragraphe précédent, la fonction

log|P| est, à l'intérieur de G, égale à

<p étant une fonction holomorphe el harmonique des x et des y et o' étant le potentiel d'une variété attirante qui est la partie de C intérieure à G; c'est-à-dire l'intégrale

dti)'

étendue à celle partie de C. Mais comme V/, est la même intégrale étendue à une partie de C plus étendue, à savoir à la partie de C qui est intérieure à R/., la différence

sera une fonction holcjinorphe el harmonique dans G. Donc la diO'érencc

V,-Iog|P|,

et par conséquent la différence