SUR CERTAINES SOLUTIONS PARTICULIÈRES DU PROBLÈME DES TROIS CORPS
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 97, p. aSi-aSa (23 juillet i883)
M. Kronecker a présenté à l'Académie de Berlin, en 1869, un Mémoire sur les fondions de plusieurs variables; on y trouve un important théorème d'où il est aisé de déduire le résultat suivant :
Soient ^1, i^, . . . , ;,i« fonctions continues de n variables x,, Xo, . . . , x„: Isl variable Xi est assujettie à varier entre les limites + «,• et — • a,-. Supposons que, l)Our Xi^di, ;, soit constamment positif, et pour a;, = — o, constamment négatif; je dis qu'il existera un système de valeurs des x pour lequel tous les > s'annuleront.
Ce résultat peut s'appliquer au problème des trois corps et montre que ce problème admet une infinité de solutions particulières jouissant de propriétés remarquables que nous allons exposer. Nous nous restreignons, bien entendu, au cas où les masses de deux des corps sont très petites.
Le mouvement est périodique, c'est-à-dire que, lorsque le temps augmente d'une période constante, les trois corps reprennent la même position relative. A la fin d'une période, les distances des trois corps reprennent leur valeur initiale, ainsi que les vitesses relatives estimées soit dans la direction du rayon vecteur, soit dans la direction perpendiculaire. Le système entier a seulement tourné d'un certain angle autour du centre de gravité, supposé fixe.
Les excentricités sont très petites et de l'ordre des masses; mais les inclinaisons peuvent avoir des valeurs quelconques.
Dans la solution parliculière envisagi'o, il resle encore, si les trois corps sont assujettis à se mouvoir dans un plan, quatre paramètres arbitraires; s'ils se meuvent dans l'espace, il en reste huit. Ainsi, dans l'un comme dans l'autre cas, il faut imposer quatre conditions aux éléments initiaux du mouvement pour que ce mouvement présente cette périodicité dont nous venons de parler.
Quand nous aurons disposé arbitrairement de huit des douze éléments iniliauï. notre solution particulière ne sera pas encore complètement déterminée. Projetons, en elTet, les deux rayons vecleurssur le plan du maximum des aires. Après une période, la jirojection du premier rayon vecteur aura décrit un angle (>, la projection du second vecleur aura décrit un angle c + anTr; nous pou\ons encore nous donner arbitrairement le nombre entier n, après quoi la solution jiarticulière sera parfaitement définie.
SUR CERTAINES SOLUTIONS PARTICULIERES DU PROBrlME DES TROIS CORPS
Hutlcllii aslronoiiùque, t. I, p. 60-74 (février 1884 ).
But de ce travail.
La solulion générale du problème des trois corps est encore à trouver, et,
liien qu'on ait, dans ces derniers temps, donné des développements purement
trigonométriques des distances mutuelles, ces séries, qui peuvent rendre des
services dans la pratique, ne sont pas théoriquement satisfaisantes, parce que
la convergence n'en est rien moins que démontrée. Il y a cependant certaines
solutions particulières pour lesquelles ces diftîcultés relatives à la convergence
n'existent pas : ce sont celles où les distances mutuelles sont des fonctions
périodiques du temps et que l'on pourrait appeler solutions périodiques.
Je considère en effet trois masses, M, m et m', et je suppose. que les rapports
m m! • - • T 11 il
^ et irr soient très petits. Je suppose de plus que les deux petites masses m et
to' soient rapportées à la grande masse M, de sorte que, quand je parlerai de la position et de la vitesse des petites masses, j'entendrai leur position et leurs vitesses relatives par rapport à M.
Je dirai que les trois masses sont en conjonction symétrique si leurs vitesses sont perpendiculaires à leur plan. Dans le cas particulier où les inclinaisons sont nulles et où les trois masses restent constamment dans un même plan, je dirai qu'elles sont en conjonction symétrique si elles sont en ligne droite et de façon que leurs vitesses soient perpendiculaires à la droite qui les joint.
Supposons maiulenaiit qu'à l'époque f,, il v ail conjonction syrnélrique; les dislances muluelles des Irois masses seront alors les rncnies aux Lenips t^-j-hel t„ — h. Supposons qu'à ré|ioque f, il y ail encore conjonction symétrique; les dislances mutuelles reprendront les mêmes valeurs aux temps /i + h et t^ — /(. Ces dislances mutuelles seront donc des fonctions périodiques du temps avec la période 2(/i — ^i). Après une période, le système se retrouve dans la même situation relative; il a seulement tourné d'un certain angle dans l'espace. .le choisirai l'origine et l'unité du temps de telle façon que
et que la période soit 27r. Je prendrai pour plan des :ry un plan perpendiculaire à la fois au plan des trois corps aux deux époques zéro et u : ce sera évidemment le plan du maximum des aires. Je prendrai l'axe des x dans le plan des trois masses à l'époque zéro. 11 en résulte qu'à l'époque zéro les longitudes de
m el m' sont zéro, celles des périhélies zéro et celle des nœuds -• Dans le cas
des inclinaisons nulles, je prendrai pour plan des x}' le pian commun des orbites et pour axe des x la droite qui joint les trois masses à l'époque zéro.
Existe-t-il de pareilles solutions, au moins pour le cas dans lequel je me renfermerai et où deux des masses sont su|>posées très petites ? Je me propose de faire voir qu'il y en a de trois sortes ;
Première sorte : inclinaisons nulles, excentricités très petites; Deuxième sorte : inclinaisons nulles, excentricités finies; Troisième sorte : inclinaisons finies, excentricités très petites.
Je ferai voir ensuite quel parti on peut en tirer.
Formule de M. Kronecker.
M. KronecUer a donné, dans les Monalsberichte (18G9), une formule qui donne le nombre des solutions de n ('qualions à /; inconnues qui satisfont à des inégalités données. Nous ferons l'application suivante de celte formule :
Soient Xi, X-.,, ..., X„ n jonctions cnnlinues des n variables ,ri, a-.j, ..., x„. Supposons rjue X; soit, toujours positif pour Xi^= a, el toujours négatif pour Xi = — a,-. Il existera au moins un système de valeurs des x qui satisfera aux inégalités
et aux équations
Les équations (2) auront donc loujours une solution.
Pour faire comprendre comment on peut démontrer ce théorème, supposons que nous n'ayons que deux variables x^ et x-^, que nous regarderons comme les coordonnées d'un point dans un plan. Alors les inégalités (i) signifient que ce point est à l'intérieur d'un certain carré ABCD dont les côtés ont pour équations
Al!: .i:|=ai, CD: Xi = — ai, L!G : Xî=a2, DA : .0^2 = — «2-
La courbe X2:= o pari alors d'un point du côté AB pour aboutir à un point de CD; de même la courbe X4 = o, parlant d'un point de BC pour aboutira un point de DA, doit forcément rencontrer la première à l'intérieur du carré.
Méthode générale.
On voit immédiatement l'avantage que peut présenter l'application de ce théorème. Pour démontrer rigoureusement que certaines équations peuvent être satisfaites, il suffit d'étudier le signe de certaines fonctions. Or, si les masses sont très petites, les signes de ces fonctions seront les mêmes que quand ces masses sont nulles, c'est-à-dire dans le cas du mouvement keplérien.
J'ai supposé qu'au temps zéro les longitudes des masses et des périhélies
sont nulles et celles des nœuds — • Il reste comme éléments initiaux arbitraires
les moyens mouvements n et «', les excentricités e et e', les inclinaisons i et i' . Soient maintenant X, Y, Z, ... un certain nombre de fonctions des coordonnées et des vitesses de m et de m' au temps tt. Nous prendrons trois fonctions seulement pour fixer les idées; ce seront des fonctions des éléments initiaux et des masses. Si les masses sont assez petites, on démontre aisément que ces fonctions peuvent être développées en séries suivant les puissances croissantes des masses, de sorte qu'on a, par exemple,
X„ désignant l'ensemble des termes d'ordre /; par rapport aux masses.
Considérons trois des éléments initiaux comme constants et faisons varier
les trois autres, .le suppose que l'on puisse choisir ces derniers éléments de telle façon que
Xo= Vn= /o= f>,
et que le délcrmiaaul fonctionuel de X,,, '^u, 'f^a l^nr rapport aux trois éléments
variables ne soit pas nul. je dis qu'où pourra choisir ces mêmes élémenls de
façon que
l'.n clli'l, si le déleruiinanl lonclionnrl eu question n'est pas nul, on pourra, en donnant aux éléments initiaux des valeurs voisines de celles qui annulent X„, Y„ et Z„. obtenir pour ces trois fonctions tous les systèmes de valeurs satisfaisant aux inégalités
X5<rtî, y5<«|, Zl-Cnl,
si «1. rtj et rt;, sont assez petits. On |)ourra alors considérer X, Y el Z, comuie des fonctions de X„, Y,, el Z„, et il est clair que, si les masses sont assez petites par rapport à ai, a^, et:,, ou aura
X>o pour Xo = «I ; X<o jiour Xo = — 0|,
et de uiêuie pour Y el pour Z. C'est dire qu'où pourra appliquer le théorème de M. Kronecker et que les élémenls initiaux pourront être choisis de telle façon que
Ce théorème ne s'appliquerait pas si Xo était identiquement nul, parce qu'alors le déterminant fonctionnel serait nul; mais dans ce cas il suffirait de remplacer Xq par X,, qui donne alors son signe à X quand les masses sont assez petites. Nous en verrons plus loin des exemples.
Solutions de la première sorte.
Supposons i et i' nuls, e et e' très petits. Soient maintenant X la différence de longitude de m et de m' au temps tt; Y et Z les dérivées, par rapport au temps, des rayons vecteurs de m et de m! ù cette même époque rr. Si l'on a
e = e' = o, /( — /(= I , on a
Xo = I 0 = ^0 =^ o,
et 11 est aisé de voir que le déterminant fonctionnel n'est pas nul. On a donc, pour des valeurs très petites de e et de e',
Ces équations signifient qu'au temps tî les trois masses se retrouvent en conjonction symétrique : il j a donc des solutions périodiques de la première sorte; il y en a même une quadruple infinité. En effet, renonçons momentanément au choix d'unités et d'axes que nous avons fait plus haut et supposons des unités et des axes quelconques. Nous pouvons alors choisir arbitrairement les époques ^o et /, de la première et de la seconde conjonction symétrique, et les longitudes «o et «i de w à ces deux époques. On doit cependant exclure tout choix tel que aj — a,, soit multiple de tt, parce qu'alors notre déterminant fonctionnel ne serait plus nul ; il ne faut même pas que la différence entre otj — d-i, et un multiple de tt soit de même ordre (jue les masses.
Il en résulte que les distances mutuelles des trois corps peuvent se développer en séries ordonnées suivant les cosinus des multiples de t. Quant aux coefficients de cospt, ils peuvent eux-mêmes être développés en séries ordonnées suivant les puissances croissantes des masses, et convergentes pourvu que ces masses soient assez petites.
La difficulté était de démontrer rigoureusement l'existence de la solution périodique et d'écarter ainsi à l'avance tous les embarras que pourraient nous causer les questions de convergence. On peut ensuite calculer les coefficients par des approximations successives. Donnons ici la première approximation, en négligeant les carrés des masses. Si les masses étaient nulles, on aurait la solution du problème en donnant à a et a', n et n' des valeurs convenables, et avec des excentricités nulles et des longitudes zéro au temps zéro, on aur n — 7t' = I .
Posons
R = ^ eosl = SAy cosy7 (j = — =<=••■ — i, o, i, . . . , x)
y''a-+ a'- — 2aa cosl "
et
' da ' ' da
On trouvera, pour les coordonnées polaires de la première petite masse,
a-n ^,, [ i I \ cos/i
H '\n-i-j n~jj 2
V = nt -\ > ; B, ; -t- r sin// H > -4- sin it.
' l'-^mi-' ' \n -+-y n —j) ^ u. ^U J ■' '
/A étant un coefficient dépendant des masses, et de même pour la seconde petite masse.
Ces formules ne s'appliquent pas au cas où n est un nombre entier.
Solutions de la deuxième sorte.
Supposons encore les inclinaisons nulles, mais ne supposons plus les excentricités très petites. Soient /, /', tn et xjs' les longitudes des deux masses m et m' et celles de leurs périhélies au temps tt. Soient
X ^ HT — ct', y = / — w, Z ^ /' — Tn'.
Ici Xq est identiquement nul; pour de petites valeurs des masses, c'est donc Xi qui donne son signe à X. Il faut donc démontrer que l'on peut choisir les éléments initiaux de telle façon que
On peut évidemment choisir les moyens mouvements n et n' de telle façon que Yq et Zo soient nuls. Il s'agit maintenant de faire voir que, n et n' étant désormais regardés comme déterminés, on peut choisir e et e' de telle façon que
Or cette équation peut s'écrire
m'ûim = //i S| tn', en posant
a/n/i — e2 r"^ dK , ^ , a' n' s/ 1 -e- f'^ d^'
»l 0 1 cj = —
■ r ûfR j . , r//iVi-e- r"dK ,
■ I —r- at, m 0, m = -, / —r-r ai
de sorte qu'on peut écrire
/n'e OiCT = A -l- Me -h Ce' -+■... , me' Oi ra' = A' -f- B' e -i- C e' -H . . . ,
les seconds membres étant des séries ordonnées suivant les puissances de e et de e' et convergentes pour les petites valeurs de ces quantités. Nous supposerons d'abord que ces excentricités sont assez petites pour qu'il y ait convergence. Cela nous suffira pour montrer la possibilité de satisfaire à l'équation (3). Si n n'est pas multiple de n — n', A et A' sont nuls. Si n n'est pas
multiple de > B, C, B', C se réduisent aux termes dits séculaires. Nous
supposerons que ces conditions sont remplies, puisque notre but est seulement d'établir la possibilité de satisfaire à l'équation (3).
L'équation (3) peut alors s'écrire
0= 1,0 e--i- ee'[(o, i) — (i)0)] — e'- 0,1
cp se composant de termes d'ordre plus grand que deux par rapport aux excentricités. Si l'on considère e et e' comme les coordonnées d'un point dans un plan, l'équation (3) représente une courbe présentant un point double à l'origine. Nous nous proposons de démontrer que cette courbe est réelle, et, pour cela, il nous suffit de taire voir que les tangentes au point double sont réelles; or ces tangentes sont données par l'équation
Mais on a
ee'[(o,i) — (1,0)] — e"-
ni Ja m J"
Donc l'équation (4) a ses coefficients extrêmes de signe contraire; donc elle a des racines réelles. Donc par l'origine passent deux branches réelles de courbe que l'on pourra suivre jusqu'à une distance finie de l'origine. Donc l'équation (3) peut être satisfaite par des valeurs finies des excentricités. En répétant le raisonnement fait plus haut, on conclurait de là qu'on peut donner aux éléments initiaux des valeurs qui annulent à la fois X, Y et Z, ce qui démontre l'existence des solutions périodiques de la deuxième sorte.
Le raisonnement serait en défaut si les excentricités étaient infiniment petites de l'ordre des masses.
Solutions de la troisième sorte.
Supposons les inclinaisons finies et les excentricités très petites. Soient /, /', 0 et 0' les longitudes des deux masses et de leurs nœuds au temps 71. Posons
Soient maintenant T et U les dérivées des rayons vecteurs de m et de m' par rapport au temps, à l'époque 71. Ici encore Xo est identiquement nul, et c'est Xi qui donne son signe à X. Si l'on annule e et e' et si l'on choisit convenablement n et «', on aura
Yo = Zo = To = Uo = o.
abO SUR CERTAINES SOLUTIONS PARTICULIERES.
Il resle à montrer que e, e', n el ri' étant supposés désormais déterminés, on peut choisir i et i' de façon à satisfaire à réquation Xi = o. Cela est toujours possible, car celte équation signifie simplement que le plan des jcy est le plan invariable. On n'a qu'à répéter le raisonnement déjà fait plus haut pour voir que l'on peut choisir les éléments initiaux de telle sorte que
ce qui démontre l'existence d'une infinité de solutions périodiques de la troisième sorte.
Solutions de la quatrième sorte.
Il est passible qu'il existe des solutions de la quatrième sorte, où les excentricités et les inclinaisons sont finies à la fois ; mais je n'ai pu encore démontrer
leur existence que pour certaines valeurs du rapport —.•
Application des solutions périodiques. — Il semble au premier abord que ces s(jlntions périodiques ne puissent être d'aucune utilité pratique, puisqu'elles correspondent à des valeurs particulières des éléments initiaux, valeurs dont la probabilité est nulle. Mais, si les éléments initiaux sont très voisins de ceux qui correspondent à une solution périodique, on pourra rapporter les positions véritables des trois masses aux positions qu'elles occuperaient dans cette solution périodique et se servir, par conséquent, de cette solution comme d'une orbite intermédiaire. Appelons r, c, /', v' les coordonnées polaires de m et de m' sur cet orbite intermédiaire, r -{- p, t' + w, z, r' -j- p', i'' + w', s' les coordonnées semi-polaires de ces mêmes masses sur leur orbite réelle; les quantités p, (Mi, z, ... sont très petites au moins pendant un certain temps. Nous pourrons alors écrire les équations du mouvement sous la forme suivante :
Pi étant une série ordonnée suivant les puissances de p, w, z, p', w', z' et de
leurs dérivées du premier ordre et dont les coefficients dépendent de r. r' et
V — v', et sont par consé(]uent des fonctions périodiques du temps avec la
période 2r.. Il faut y ajouter cinq équations de même forme qui donnent les
valeurs de-^i -^-^j -y^i -7^7-' -7777" ^''^ pcu^ appliquer a ces équations les
méthodes de M. Lindstedt et d'antres encore qui conduisent à des résultats sur lesquels je reviendrai plus tard.
Aujourd'hui je supposerai que p, to, . . . , qui sont de l'ordre des excentricités et des inclinaisons, soient assez petits pour ([u'on puisse négliger leurs carres; les équations se réduiront à des équations linéaires (5) admettant pour coefficients des fonctions périodiques du temps avec la période 2 7r.
L'intégrale générale de l'équation (5) est do la forme
où F et <I» sont des séries irigonométriques. Le dernier terme est séculaire : mais on peut toujours choisir V orbite intermédiaire de façon que ce terme soit nul. Les différences p, u, ^, ... sont alors exprimables par des séries Irigonométriques.
Voici quelle me semble pouvoir être l'utilité de l'étude des équations (5). Dans le calcul des variations séculaires des excentricités, on est conduit à des équations qui sont linéaires comme les équations (5), mais où les coefficients sont des séries trigonométriques de plusieurs arguments (deux, dans le cas de trois corps). On supprime ensuite tous les termes périodiques pour ne conserver que les termes constants. Il n'est pas sûr qu'on ne commette pas ainsi une erreur considérable; car, si l'on faisait l'intégration en tenant compte des termes périodiques, les approximations successives introduiraient des termes à petit argument qui pourraient exercer une influence appréciable sur la valeur de la période des excentricités. Au contraire, en étudiant les équations (5), on ue rencontrera pas celte difficulté, puisque les coefficients ne dépendent que d'un seul argument. L'étude de cette équation permettra donc de se rendre compte de la grandeur de l'erreur commise par la méthode ordinaire.
Acta Mathematica, t. 13, p. 1-270 (28 avril 1890).
TABLE DES MATIERES
Piiges.
Introduction 263
