Notations et définitions

Considérons un système d'équations dilTérentielles :

OÙ t représente la variable indépendanie que nous appellerons le temps, .ri, .r-j, ..., Xn les fonctions inconnues, où enfin Xi, X^, ..., X„ sont des fondions données de x^, x-i, ..., x„. Nous supposons en général que les fonctions Xi, Xo, . . . , X„ sont analytiques et uniformes pour toutes les valeurs réelles Ae X{, x.^, . . ., x„.

Si Ion savait intégrer les équations (i), on pourrait mettre le résultat de l'intégration sous deux formes différentes; on pourrait écrire

a;i = ç,(^ Cl, C,, ..., C„), ;ro= cp2(<, C, Cî, ..., C„), ...,

( -î'/i = ?«(', t'i, Co, . . ., C„)

C|, Cj, . . . , C, désignant les constantes d'intégration.

On pourrait écrire encore, en résolvant par rapport à ces constantes :

ICi = Fi {t, Xi, Xi, . . ., Xn), Gi = F2(t, xi, X., ..., x„), ) C,, = Fn(t, X,, Xi, .. ., Xn)-

Pour éviter toute confusion, nous dirons que les équations (2) représentent la solution générale des équations (i) si les constantes C j restent arbitraires et qu'elles représentent une solufion particulière si l'on y donne aux C des valeurs numériques. Nous dirons d'autre part que dans les équations (3), Fi, F2, ..., F/i sont n intégrales particulières des équations (1). Le sens des mots solution et intégrale se trouve ainsi entièrement fixé.

Supposons que l'on connaisse une solution particulière des équations (i) qui s'écrira (4) a:, = !>,(<), :r2=cp2(0, ■■•, :e„=9„(0-

On peut se proposer d'étudier les solutions particulières de (i) qui diilcrent peu de la solution (4). Pour cela posons

^i=?iH-?i, .^,= 90+^2, ..., .;:•„= Ç„-H|n,

et prenons pour nouvelles fonctions inconnues Çi, ^2, • • •> in- Si la solution que l'on veut étudier diffère peu de la solution (4), les Ç sont très petits et nous en pouvons négliger les carrés. Les équations (i) deviennent alors, en négligeant les puissances supérieures des i :

Dans les dérivées -j-^^ les quantités Xi, 3:2, ■ . ., Xn doivent être remplacées

par cpi(î), 92(^), • • -, <p«(')) de sorte que ces dérivées peuvenL être regardées comme des fonctions connues du temps.

Les équations (5) s'appelleront les équations aux variations des équations (i). On voit que les équations aux variations sont linéaires.

Les équations (i) sont dites canoniques lorsque les variables x sont en nombre pair n = 2yP, se répartissant en deux séries Xi, Xo, . . . , Xp, Vi, y^, . . ., Yp^ et que les équations (i) peuvent s'écrire

dXi r/F dvi d¥ , .

-dI = 7i^C iiT=-dI, (^ = ., 2, ...,/>).

Elles ont alors la forme des équations de la Dynamique et nous dirons, à l'exemple des Anglais, que le système d'équations (6) comporte p degrés de liberté.

On sait que ce système (6) admet une intégrale dite des forces vives : F^const. et que si l'on en connaît /> — i autres, on peut considérer les équations canoniques comme complètement intégrées.

Considérons en particulier le cas de « ^ 3 ; nous pourrons alors regarder a", , x-i et Xa comme les coordonnées d'un point V dans l'espace. Les équations

dx^ dx. dx-,

définissent alors la vitesse de ce point P en fonction de ses coordonnées. Considérons une solution particulière des équations (i)

Lorsque nous ferons varier le temps /, le point [' décrira une certaine courbe dans l'espace; nous l'appellerons une trajectoire. A chaque solution particulière des équations (i) correspond donc une trajectoire et réciproquement.

Si les fonctions Xi, X2 et X3 sont uniformes, par chaque point de l'espace passe une trajectoire et une seule. Il n'y a d'exception que si l'une de ces trois fonctions devient infinie ou si elles s'annulent toutes les trois. Les points où ces cas d'exception se présenteraient s'appelleraient /JOtrt^i singuliers.

Considérons une courbe gauche quelconque. Par chacun des points de cette courbe passe une trajectoire; l'ensemble de ces trajectoires constitue une surface que j'appellerai surface-trajectoire.

Comme deux trajectoires ne peuvent se couper sinon en un point singulier, une surface-trajectoire qui ne passe en aucun point singulier ne peut être coupée par aucune trajectoire.

Nous aurons fréquemment dans la suite à uoiis occupci- de la ([ueslion de la stabilité. Il y aura stabilité si les trois quantités j,, Xo, a'^ restent inférieures à certaines limites quand le temps t varie depuis — oo jusqu'à +00; ou en d'autres termes, si la trajectoire du point P reste tout entière dans une région limitée de l'espace.

Supposons (|u'il existe une sui'face-lrajectoire fermée S; cette surface partagera l'espace en deux régions, l'une intérieure, l'autre extérieure, et aucune trajectoire ne pourra passer d'une de ces régions dans l'autre. Si donc la position initiale du point P est dans la région intérieure, ce point y restera éternellement; sa trajectoire sera tout entière à l'intérieur de S. 11 y aura donc stabilité.

Ainsi la question de stabilité se ramène à la recherche des surfaces Irajecloires fermées.

On peut varier ce mode de représentation géométrique; supposons par exemple que l'on pose

.Ti = '\ii(z,, :,, zs), a;2= ij<2(-i, -2, =.i)i ■2-3= '^3(21, -2, ^3),

les 4' étant des fonctions de z (jui sout uniformes pour toutes les vale\irs réelles des z. Nous pourrons considérer non plus Xi, x.^, X;t, mais z^ , s,, ^3 comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Quand on connaîtra la position de ce point, on connaîtra z,, z^, z-,^ et par conséquent Xt, x-,, x,^. Tout ce que nous avons dit plus haut reste exact.

Il suffit même (jue les trois fonctions 4' restent uniformes dans un certain domaine, pourvu (|u'on ne sorte pas de ce domaine.

Si n > 3, ce mode de représentation ne peut plus être employé en général, à moins qu'on ne se résigne k envisager l'espace à plus de trois dimensions. Il est pourtant un cas où la difficulté peut être tournée.

Supposons par exemple que « = 4 et qu'on connaisse une des intégrales des équations (i). Soit (7) V{x^, Xo, Xs, Xi) = G

cette intégrale. Nous regarderons la constante d'intégration C comme une donnée de la question. Nous pourrons alors tirer de l'équation (7) une des quatre quantités Xi, x^, x.^, x,, en fonction des trois autres, ou bien encore trouver trois variables auxiliaires Zi, z^, z-^, telles qu'en faisant

X, = tJ-iCai, 32, -3), ■'■:i= ^-iizu -s, 33),

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. ïClJ

on satisfasse à l'(^quallon ('7) quelles que .soient les valeurs de -i, -o, .:•,. Il arrivera souvent qu'on pourra choisir ces variables auxiliaires z de façon que les quatre fonctions ']/ soient uniformes, sinon pour toutes les valeurs rebelles des s, au moins dans un domaine d'où on n'aura pas à sortir.

On pourra alors représenter la situation du système par un point dont les coordonnc^'es dans l'espace seront 5i, z^ et ^;,.

Supposons par exemple que l'on ail des équations canoniques avec deux degrés de liberté :

rit ~ 7/77' TTT "~ rtV7'

clt <lx\ dl fixi

Nous aurons quatre variables xi, ajoi J'i) .,)•.>> mais ces variables seront liées par l'équation des forces vives : P^ = G, de sorte que si nous regardons la constante des forces vives G comme connue, il n'y aura plus que trois variables indépendantes et que la représentation géométrique sera possible.

Nous distinguerons parmi les variables X\^, x«, . . ., x„, les variables linéaires et les variables angulaires. Il pourra arriver que les fonctions Xi, X», ..., X„ soient toutes périodiques par rapport à l'uue des variables ar,- et ne changent pas quand celle variable augmente de 2-1:. La variable xi el celles qui jouissent de la même propriété seront alors angulaires; les autres seront linéaires.

Je dirai que la situation du système n'a pas changé si toutes les variables angulaires ont augmenté d'un multiple de 27r, et si toutes les variables linéaires ont repris leurs valeurs primitives.

Nous adopterons alors un mode de représentation ici que le point représentatif P revienne au mcnio point de l'espace quand une ou plusieurs des variables angulaires aura augmenté de 27t. Nous en verrons des exemples dans la suite.

l'armi les solutions particulières des équations (1), nous distinguerons les solutions périodiques. Soit

une solution particulière des équations (i). Supposons qu'il existe une quantité /* telle que

quand Xi est une variable linéaire el

^i{t -h h) = 'Si{t ) -i- 2 kx: (A-élanl entier)

quand jr,- est une variable angulaire. Nous dirons alors que la solution considérée est périodique et que h est la période.

Si l'on ado[)le un mode de représentation géométrique tel que le point représentatif reste le même quand une dos variables angulaires augmente de 271, toute solution périodique sera représentée par une trajectoire fermée.