Calcul des limites
L'une des plus belles découvertes de Cauchy {C. R. Acad. Se, I-4, p. 1020), quoiqu'elle ait été peut-être peu remarquée de son temps, est celle qu'il a appelée le calcul des limites et à laquelle nous conserverons ce nom, quelque mal justifié qu'il puisse être.
Considérons un système d'équations difTérenlielles
Si /i et /^ peuvent être développés suivant les puissances croissantes de x, y et :;, ces équations admettront une solution de la forme suivante :
çi et 92 étant des séries développées suivant les puissances croissantes de x et s'annulant avec x.
l^our le démontrer, Cauchy remplace les deux fonctions J\ et /'o par une expression de la forme
en choisissant M, a, ,3, y de façon que cliaque terme de/' ait un plus grand coefficient (en valeur absolue) que le terme correspondant de yi el de f.,. En remplaçant ainsi fi et f-, [)ar y, on augmente les coefficients de cpj et de cf^ et comme ces deux séries sont convergentes après ce changement, elles devaient l'être également avant ce changement.
Tel est le principe fondamental du calcul des limites dont Cauchy a fait d'ailleurs beaucoup d'autres applications et que plusieurs géomètres ont notablement perfectionné depuis.
Le plus grand de ces perfectionnements est dû à M. Weierstrass qui a remplacé la fonctiony'(a?, y, z) de Cauchy par une autre plus simple qui peut jouer le même rôle.
• Écrivons les équations (i) sous la forme
Remplaçons-y ensuite/", fi e\. f-< par la fonction de M. Weierslrass :
f'{3:,y, z) = s deviendront
I — Ol.{X -H J- -t- ^)'
elles deviendront
dx dy dz M
dt dt dt I — a ( x -i- }• -I- - )
Les équations (i') sont satisfaites formellement par des séries
développées suivant les puissances croissantes de l et s'annulant avec t. De même les équations (2') seront satisfaites par des séries
développées suivant les puissances croissantes de t et s'annulant avec t. [On voit facilement d'ailleurs que o'(') ^ o', {t) =^ tp'^ (<).]
Si M et a sont convenablement choisis, les coefficients des séries 9' sont plus grands que ceux des séries o; or les séries cp' convergent; donc les séries cp convergent également. c. q. f. d.
Je n'insiste pas sur ces démonstrations qui sont devenues tout à fait classiques et qui se trouvent développées dans tous les traités un peu complets d'Analyse, par exemple dans le Cours d' Analyse de M. Jordan (t. 3, p. 87).
Mais on peut aller plus loin.
Théorème I. — Imaginons que les fonctions f, et f., dépendent, non seulement de x, )', et 3, mais d'un certain paramètre arbitraire p. et qu'elles puissent se développer suivant les /missances croissantes de x, y, z et [L. Ecrivons alors les équations (i) sous la forme
dx dy dz , , ^
On peut trouver trois séries
^ = fit, ,'■'1 ^0, Xo, Zo) = t -i-Xo, y = ?i(/, [^, a;o, ^'o, =0), z = ?o(;, ^i, Xa, .ro, s»)
qui satisfassent formellement aux équations (i"), qui soient développées suivant les puissances croissantes de t, de n et de trois constantes d'inté-
gration Xa, jj'o, ^o et qui enfin se réduisent respectivement à Xo, yo et z-o pour t^= o.
Je dis que ces séries convergent jtourvu que t, p., Xa, J'o et Za soient suffisamment petits.
En eflet remplaçons/, J\ elf-i par la fonction
(1 — |i,a)[l — x{x-hy-hz)}
Celle fonction/' peut être développée suivant les puissances de x, y, z et |j.. On peut prendre M, a et 3 assez grands pour que chaque terme de/' soit plus grand que le terme correspondant de/, de/i et de/a.
Nous obtiendrons ainsi les équations
, f/x dy dz M
^^ ' ~dt~'~dt~di~ (\ — \^\>.)[\ — a{x + y ^ z)\
On peut trouver trois séries
^ = ?'('> !-'! ^0, >'o, So), y = o', (^ ;i, a:o, Jt'o, ^o), ; = ?2(?, |^, Xo, Vo, s»)
développées suivant les puissances de <, p., jTo, jKo, -qi satisfaisant aux équations (2") et se réduisant respectivement à x», j'u, ^0 pour < = o.
En raisonnant comme le faisait Cauchj, on démontrerait que chaque terme des séries '^' est plus grand que le terme correspondant des séries cp. Or les séries ta' convergent, si t, p., j;„, y,, et z„ sont assez petits. Donc les séries © convergent également. c. q. f. n.
On peut tirer de là diverses conséquences.
Théorème II. — Nous venons dé voir que x, y et z peuvent être développés suivant les puissances de t, pi, x^ ya et z» pourvu que ces cinq variables, y compris l, soient suffisamment petites.
Je dis que x, y et z pourront encore être développées suivant les puissances des quatre variables p., x„, ya, et Za quelque grand que soit t pourvu que les quatre variables p., Xo, y a, et z^ soient assez petites (*).
11 y a toutefois un cas d'exception sur lequel je reviendrai.
En effet nous trouvons d'abord trois séries
^ = ?(', H. ^0, 70, -0), y = zi{t, [X, Xa, y„, zo), z = ^^{t, \i., Xo, yo, s^) {') Voir aux Notes, Séries.
qui définissent ar, }' el z pour les valeurs suffisamment petites de p., Xa, Vu, ^n, et quand j < | < p, p étant le rayon de convergence de ces séries. Si donc (, est un point intérieur au cercle de convergence et si x,, y, et Zi sont les valeurs dex, 7 et G pour t = <i, on voit que Jîi, j'i et Cl sont des fonctions holomorphes de [x, Xo, J'u et z„, c'est-à-dire développables suivant les puissances de ces variables si elles sont assez petites.
Soient ensuite j;% y" et z" les valeurs de x, , j', et Zi pour
iji = Xo = J'o = Zo= o.
Cela posé, on aura dans le voisinage du point t ^ tf
i a; = ?'(« — ^, ,u, xi— xj, 7,— /?, =1— ^î),
(3) I .x = ç',(<-<i> K, -^i-^î. ri-rî. -i-3Ï)>
( - = 'r'-i(( — 'i> 1^1 ^1 — •'^î> Xi— y^i, -zi— =?)•
Les séries cp', cp', el cp'„, tout à fait analogues aux séries (y, 91 et cp^, sont définies comme il suit.
Elles satisfont aux équations différentielles; elles sont développées suivant les puissances de t — tt, p., Xi — x% y, — y" el z, — c" ; elles se réduisent àx\, y\ et Zi pour t ^= ti.
Elles convergeront si fi, Xi — xi, y, — yl, z, — 5° sont assez petits et si \ t — <i I < pi, p( étant le raj'on du nouveau cercle de convergence Ci.
Si t est un point intérieur à ce nouveau cercle de convergence C), on voit que x, y el z seront fonctions holomorphes de ft, x^ — ^',', JKi — y" et 5, — s°. Mais Xi — x'', )i — yl, s, — z'I sont déjà fonctions holomorphes de p., Xu, j'o, ~o- Donc, pour tout point t intérieur au cercle Ci, les trois quantités x, y el z sont des fonctions holomorphes de p, Xg, jKo ^0 développables selon les puissances de ces variables si elles sont assez petites.
Supposons maintenant que le point C soit extérieur au cercle Ci, le théorème sera encore vrai; il est clair en effet qu'il suffit pour le démontrer pour une valeur quelconque de t, de répéter le raisonnement précédent un nombre suffisant de fois, pourvu que les rayons pi, p;,, . . . des cercles de convergence envisagés successivement restent supérieurs à une quantité donnée.
Cette convergence sera d'ailleurs uniforme pour toute valeur de t inférieure à ta, quelque grand que soit <o-
On ne serait arrêté que dans un cas.
Le théorème de Cauchy cesse d'être vrai si les fonctions/, el/3 ne sont plus H. P. — VII. 35
holomorphes en x, y, -; par exemple si elles deviennent infinies, ou cessent d'être uniformes.
Si l'on ne peut pas développer les fonctions/,/! et/^ suivant les puissances croissantes de fx, de x — x",, r — yl, s — s", il n'existera pas en général trois séries cp', (f\ et cp!, de la forme (3) satisfaisant aux équations différentielles.
On dit alors que le point
est un point singulier.
Si donc, en faisant variera, on voyait le point mobile (x. y, z) passer par un point singulier, notre théorème serait en défaut. Si t variant depuis t = o jusqu'à t := t„, le point mobile {x, y, z) ne passe par aucun point singulier, le rayon de convergence de la série de Cauchy ne pourra s'annuler et l'on pourra lui assigner une limite inférieure, de sorte que les trois fonctions a", y, z seront développables suivant les puissances de /ji, x„, y^, z„ pour toute valeur de t inférieure à ^o- Mais si pour t = to, le point (x, y, z) se confond avec un point singulier, le théorème cessera d'être vrai pour les valeurs de t supérieures à ^i,.
Notre théorème comporte donc un cas d'exception. Mais ce cas ne se présentera pas dans le problème des trois corps et nous n'avons pas à nous en inquiéter. Soient en effet {x,, y^, z., ), {x^, y.,, Zo), {x,,, y,,, 5;,) les coordonnées des trois corps, /••.:!, /'m, /'io leurs distances mutuelles, rtii, m., et m^ leurs masses. Les équations du problème seront de la forme suivante :
dt- ~ rï', r~{.
Le second membre de cette équation ne pourrait cesser d'être holomorphe en Xi, yi, Si, Xi, y-i, Sa, x.,, j:,, Zn, que si l'une des trois distances T;;,, /'i^, ru venait à s'annuler, c'est-à-dire si deux corps venaient à se choquer. Or nous n'appliquerons jamais notre théorème que quand on sera certain qu'un pareil choc ne peut se produire.
Le même résultat peut encore être établi d'une autre manière. Reprenons les équations
dx j., , dv , dz . .
Les fonctions /, /i, [2 pourront en général être développées suivant les puissances croissantes Ae x — x,,, j — jo, 3—3,,, f-t — po pour les valeurs de x, y, z et (A suffisamment voisines de :ro, y^, z» et /jl,,- S'il existe un système de
valeurs de Xo, y», Zo, i-i-i, pour lequel cela n'ail pas lieu, je dirai que ce système de valeurs est un des points singuliers de nos équations différentielles.
Cela posé, ces équations admettront une solution telle que x, y et z s'annulent avec t; et cette solution dépendra manifestement de fi. boit
cette solution. Il résulte de la définition même de cette solution que l'on a,
quel que soit ^j. :
to,(o, ix) = (02(0, n) = 0)3(0, ji) = o.
Dans la plupart des applications, on pourra effectuer l'intégration pour fx ^ o, de telle sorte que les fonctions oj,(;, o), r^y^it, o), ^^^{t, o) seront connues. Je suppose que, pour aucune des valeurs de t comprises entre zéro et Ci, le système de valeurs c.)i(^, o), wa(<, o), ('>j{t, o), o ne soit un point singulier de nos équations différentielles.
Pour employer un langage incorrect, mais commode, je dirai que la solution particulière
ne passe par aucun point singulier.
Si cela n'avait pas lieu, nous nous trouverions dans le cas d'exception dont j'ai parlé plus haut.
Si au contraire, cela a lieu, ce que je supposerai, je dis que les expressions wi('i, (J-), W2('i, i^), W;i(<i, f) sont des fonctions de p. développables suivant les puissances croissantes de cette variable.
Posons en effet
X = ^ ~i- Uii(t, o), y = 7) -t- W2(<, o), 3 = Ç -H W3(/, o),
les équations différentielles deviendront
(4) ^ = 9(5. -i, î, <, |i), -^ = ?i(l, ■'•il ç, <, 1^), -^] = 9'-(^, -n, l, t, II).
Il résulte de l'hypothèse que nous avons faite que pour toutes les valeurs
de t comprises entre zéro et t, , les fonctions 9, cp, et cp^ peuvent être développées
suivant les puissances de ^, 0, Ç et jn, les coefficients du développement étant
des fonctions du temps.
J'observe de plus que pour |j. = o, les équations différentielles doivent être satisfaites pour
es qui veut dire que 9, 91 el 92 s'annuleul quand |j:, 5- 'n, K s'aanulenl à la fois. On pourra alors trouver deux nombres positifs M et a tels que, pour toutes les valeurs dut comprises entre zi^ro ct^i, chaque coefficient du développement de o, 9i ou 93 suivant les puissances croissantes de f, v, K et p. soit plus petit en valeur absolue que le coefficient correspondant du développement
, M(E -4-T, -I- ^ + u) /• , • ■ 1 cr ■ . j . j
de ^77 y , ou a jorttori que le cuetlicient correspondant du
I 3t(Ç-l-T, -I-Q-I-IX) •' 1 ^
développemcut de
Comparons donc les équations (4) aux suivantes :
La solution des équations (4). qui est telle que 4; 'n el K. s'annulent à la fois pour f := G, s'écrit
5 = (0,(/, u ) — (.),(/, o), 7) = w, (?, u) — iM-i(t, o), ; = 0)3(Z, (Jl) — ^^H{t, o).
Dun autre côte les équations (à) admettent une solution
telle que ;, /), t, s'annulent avec t.
En raisonnant comme l'a fait Gauchj, on verrait que si (•)'(/, p) est développable suivant les puissances croissantes de p, il doit en être de même de
(i),(<. p.) — wi (^, o), ti)2 (<, /J-) — f^-i{t-, o), '■-.),,(<, p.) — &>:;(<, o), et que chaque coefficient du développement de ces trois dernières fonctions est plus petit en valeur absolue que le coefficient correspondant de w'(f, p.), au moins pour toutes les valeurs de t telles que o< < <C 'i- Or les équations (5) sont faciles à intégrer et l'on vérifie aisément que tij'(z, p) peut se développer suivant les puissances de p. Donc |, 0 et Ç sont également développables suivant les puissances de p. pourvu que o < ^ < '<• c. q. f. d.
TiiÉORiiME III. — Cela posé, so/t
X = M,{t, ;x, Xo, y,„ z„), y = '<>^(t, }!, Xo, j'o, Zo,) s = "'ait, 1^, ^0, J'o, -so) celle des solutions île nos équat/nns différentielles, ijui est telle que
X = xo, y==yo! z = zi)
/lour t = o.
Considérons les fonctions
(Oi(Zi-f- -, [X, Xa, fo, So), (i>«(ti-i-T, [X, Xo, fo, So), 0J:,(<i-4- T. ix, x„, ) „, ^0 )•
Je dis gabelles sont développables suivant les jniissances de p., x^,, Vo, -o s' '^ pounni que ces quantités soient suffisamment petites.
Posons en effet
X = X -\- Xa, |- = >• -H j'o, z = z -^ za, t = t —,
Nos équations deviendront
^ = M + ^J /(j'-l-.ro,.)'-+-Jo, z' -{-Zi,, \x),
ctx
lu
f 1+ M.ACj'-I-^o, /' + Jo, ^'+-0, J^).
Ces équations contiennent cinq paramétres arbitraires, à savoir p., x„,}\fi z„, z. Considérons donc la soUuion de ces équations qui est telle que -c', y', z' s'annulent avec t' ; soit
x' = i-'i'iU' , \x, x„, yt,, Zu,x), y = m',{1' , [x, x„, yo, z„,-z), z'=m'-(1', ji, Xo, yo, ^o, t), Il résulte de ce que nous venons do voir c|uo si l'on fait ?'= ti les expressions
to',(/,, u, Xo, .)o, z„, t), lo'-ii'i, IX, Xo, fo, Zo, -), oi'r.i'ij l^> -^'oi ,)o> ~'>i ~)
sont développables suivant les puissances de p., Xa, y„, Zo et t. Mais il est manifeste que l'on a
( "-"'iCb !-') "«^o, .) u, =0, -) = tO|(<, -t-T, ;J., Xo, J'c, ^o)- (6) l o)o(<i, fi, Xo, Jo, :;o, -) = w.,(?i-(--, jx, j;o, Jo, =0),
|J., Xo, ,) 0, ;o, ") = w.-i('] + t, IJ., -ro, Jo, -o)-
Donc les seconds membres des équations (6) sont également développables suivant les puissances de p, Xo, j'o, ^o fl "• c. q. f. d.
Théorème IV. — Caucliy a tiré du calcul des limites un autre théorème d'une extrême importance.
Voici quel est ce théorème :
Si l'on a n -{- p quantités yi, y-i; • • • , J'«, Xi, x->, . . . , Xp entre lesquelles ont lieu n relations
i /'(fu }'■!, ••■: .Vn, 3:,, Xi, ..., Xf,) = 0, , , ) /^(/l, y2, . ■■, Xn, ^h X-i, ..., X,,) = O,
/nifi) fit • • • ! J'ni -^Ii ^2, • ■ • j Xy,) = o;
s/ les f sont déi'eloppables siiivanl les puissances des x cl des y et s'annulent avec ces n + p variables;
si enfin le déterminant fonctionnel des / j>ar rapport aux y n'est pas nul quand les x et les y s'annulent à la fois;
on pourra tirer des équations (7) les n inconnues y sous la forme de séries développées suivant les puissances croissantes de Xi, x^, ■ ■ ■ , Xjj.
Considérons en effet ^j comme la seule variable indépendanle, x-xtX.^, •■■iXp comme des paramètres arbitraires, nous pourrons remplacer les équations (7) par les n équations différentielles :
(8) -T^ -i ^ i^ -, ^•••-^ 77^ TT^ + 77^ =0 (J = i, 2, ..., n).
rt>i dx^ avi tixi dy„ dx\ dxi
Nous sommes ainsi ramené au cas dont nous venons de nous occuper.
En particulier si f{y, Xi, Xn, . . ., x,,) est une fonction développable suivant les puissances de y, Xi, x^, . . . , x„ ; si quand les x et y s'annulent à la fois, on a
si enfin )- est défini par l'égalité f=o, y sera développable suivant les puissances de x.
Il nous resterait à examiner ce qui se passe quand le déterminant fonctionnel des / par rapport aux y est nul. Cette question a fait l'objet de recherches nombreuses sur lesquelles je ne puis insister ici, mais au premier rang desquelles il convient de citer les travaux de M. Puiseux sur les racines des équations algébriques. J'ai eu moi-même l'occasion de m'occuper de recherches analogues dans la première partie de ma Thèse inaugurale (Paris, Gauthier-Villars, 1879) ('). Je me bornerai donc à énoncer les théorèmes suivants, en me bornant à renvoyer pour les démonstrations, soit aux traités classiques, soit à ma thèse.
Théorème V. — Soit y une fonction de x définie par V équation
(9) /(,ri-») = o,
oii f est développable suivant les puissances de x et de y. (') Œuvres de II. Poincaré, t. I, p. n..
df d- f rf™— 1 f
Je suppose que pour x =y ^ o, /s'annule ainsi que --,- > -r^i • • • > , ^,i
dm f
mais que -r^ ne s'annule pas.
Il existera m. séries de la forme suivante :
(10) y = aix" -\- anx" -h a^x" -^- . . .
(où n est un entier positif et où O), «o ... sont des coefficients constants) qui satisferont à l'équation (g).
Corollaire I. — Si la série (lo) satisfait il l'équation (g) il en est de même de la série
y = a^ax" ■+■ an^-x" ■+- ar^a^x" -h. . .,
OÙ a est une racine n^'"'" de l'unité.
Corollaire II. — Le nombre des séries de la forme (lo) développées
suivant les puissances de x" (sans pouvoir être développées suivant les
puissances de a?'', p <C. n) est divisible par n.
Corollaire III. — ■ Si A\ni est le nombre des séries (lo) développables
suivant les puissances de a:"', si k^n., est le nombre des séries (lo) dévelop-
pables suivant les puissances de x"', .... si kj,np est le nombre des séries (lo)
développables suivant les puissances de x"p, on aura
A', /i I + A'» «2 -H . . . + kpHf, = m,
d'où l'on conclut que si m est impair, l'un au moins des nombres n^, n,. . . • np est aussi impair.
Théorème VI. — Si l'on a les équations
i/iiyuyi, ■■■■, yp- ^) = o, /--{y^yu ■■■,yp, x) = o, fp(ru.n, ■■■, yp, x) = o,
dont les premiers membres sont développables suivant les puissances des y et de X et s'annulent avec ces variables , on pourra toujours éliminer entre ces équations y^, y^, . . . , y^ et arriver à une équation unique fi^y^, a;) = o de même forme que l'équation (9) du théorème précédent.
28o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
11 n'y aiirail d'excej>tion que si les (^(jualions (i i) cessaient d'iHre dislincles.
CoROLLAlRK DES TIIÉOUÈMES V ET VI. — Lc iflCOVCUle IV s'upplujUe tOUteS
les fois que le déterminant fonctionnel des f n'est pas nul, c'est-à-dire toutes les fois que quand les x s'annulent, les équations
admettent
Vi= r2 = . . . = j)'„ = o
comme une solution simple.
II résulte des théorèmes V et VI et de leurs corollaires énoncés plus haut que le théorème IV est encore vrai si cotte solution est multiple, pourvu que l'ordre de inultiplicilé soit impair.
3. — Applications du calcul des limites aux équations aux dérivées partielles.
Cauchy avait déjà appliqué le procédé du calcul des limites aux équations aux dérivées partielles. M""' Kowalevski a considérablement simplifié la démonstration de Cauchj et a donné au théorème sa forme définitive.
Voici en quoi consiste le théorème de M""-' Kowalevski (^Journal de Crelle, t. 80).
Considérons un système d'équations aux dérivées partielles définissant n inconnues zi, Sn, . . . , 5„ en fonction de p variables indépendantes.
Supposons que ce système s'écrive
r/z, ' . I r/z, fizi ./;, \
dxi \ ax.2 dx:i '/■i'iij
riz. ( riz, rlzi ,lz, \
(l) < (Ixi \ fix-i rix) ilxp I
c1z„ l (Izi rlzi rizi
axt \ rlxi dx, rlx^,
f if fil ■ • -1 fn étant développés suivant les puissances de .r, , x-^, . . . , t,, el des
-j «,7, (< prend les valeurs i , 2, ..., n\ k les valeurs 2.3, . . . , p\ enlin les a,/,
sont des constantes quelconques).
Soit maintenant
••}'l(«2, J^n, .. ., a^/,)) <}'2(-^2l ^3, . . ., ^Z-), ••■, ■i^niX^i, Xi, . .., Xp)
n fonctions données quelconques, développées suivant les pjiiissances croissantes de a?2, 373, . . . , Xp et telles que
-f— = i^ik pour Xi= X:i = . . .= Xp= o.
Il existe n fonctions
développables suivant les puissances de Xi, x-j, .... Xp, qui satisferont aux équations (i) et qui se réduiront respectivement à ili, ^2, •••) '^npour Xi= o.
J'ai moi-même cherché à étendre les résultats obtenus par M"" Kowalevski [Thèse inaugurale ('), Paris, Gauthier- Villars, 1879) el j'ai étudié en détail les cas que la savante mathématicienne avait laissés de côté.
Je me suis attaché en particulier à l'équation
(Iz dz dz
^ f/j-i dx« dj„
OÙ Xi, X2, . . . , X„ sont développés suivant les puissances de x^, x^, . . . , Xn', je suppose de plus que dans le développement de X(, Xo, . . ., X„, il n'y ait pas de terme tout connu el que les termes du premier degré se réduisent respectivement à liXi, l^x-x, .... y.nXn, de telle sorte que
Y, désif^nant une suite de termes du deuxième degré au moins par rapport à
J'ai démontré qu'à certaines conditions cette équation admet une intégrale holomorphe développable suivant les puissances de Xi, x-2, . . . , Xn-
Pour que celte intégrale existe, il suffit :
1° que le polygone convexe qui contient les n points li, 1-2. ..., )h ne contienne pas l'origine;
2° que l'on n'ait aucune relation de la forme
/««Xo-f-. . .-t- /«„X„= Xi, oii les m sont des entiers positifs dont la somme est plus grande que i (-').
(') Œuvres de If. Poincaré, t. I, p. 11.,
(-) Dans ma thèse, je n'énonce pas cette restriction et je ne suppose pas que la somme des ai soit plus grande que i. Il semblerait donc que le théorème est en défaut quand on a par H. P. — VII. 36
Je vais chercher à généraliser le résultat obtenu dnns ma thèse. Au lieu de l'équation (2) envisageons l'équation suivante :
fiz f^z dz dz
dt ' dx\ ' ' dx^ '"' " dx„
Nous avons encore
X(= '/.iX, — \i,
Y,- désignant une fonction développée suivant les puissances Xi, x^, . . . , x„ et ne comprenant que des termes du deuxième degré au moins par rapport à ces n variables. Mais Y,- ne dépendant pas seulement des j:, il dépend aussi do C, de sorte que les coefficients du développement de Y, suivant les puissances des X sont des fonctions de t. Nous supposerons que ce sont des fonctions périodiques de t de période 2 tt développées suivant les sinus et cosinus des multiples de t.
Je me propose de chercher dans quel cas l'équation (3) admettra une intégrale holomorphe développée suivant les puissances de a?,, x^, . . . , a;„ et telle que les coefficients du développement soient des fonctions périodiques de t.
Voyons d'abord quelle va être la forme de Y,-. Nous allons développer Y, suivant les puissances croissantes de Xi, x^, ..., x„; considérons le terme en wC^'Xj' . . . T^".
Le coefficient de ce terme étant une fonction périodique de t pourra se développer suivant les sinus et cosinus des multiples de t, ou ce qui revient au même suivant les puissances positives et négatives de e'^~'.
Nous pourrons donc écrire
Yi= S C-.p. ,,«„..«„ e?'\^'x'i'xf- . . . xl".
Les C sont des coefficients constants; (3 est un entier positif ou négatif; aj, Ko, ■ . ■ . <Xn sont des entiers positifs tels que
ai H- oo -I- . . . -I- «„ ^ 2.
exemple >.j= >.,. Il n'en est rien. Si l'on avait
ni,).,-H. . .-)- /»„).„= X, (m,-+- «13-1-. . .-t- »i„> 1)1
certains coefficients du dcveloppement prendraient la forme — et deviendraient infinis. C'est
pour celte raison que nous avons du supposer qu'une pareille relation n'a pas lieu. Si l'on avait
au contraire À, = À, certains coefficients prendraient la forme -•
J'écrirai aussi quelquefois en supprimant les indices
Y,= SCe3'»'^a:î'.rî'...:r^.
Posons maintenant
el envisageons l'équation suivante :
Dans cette équation -^ n'entre plus; nous pouvons donc regarder l comme un paramétre arbitraire et Xi, Xj, . . ., Xn comme les seules variables indépendantes. Si donc les quantités X',, A',, . . ., X'„ satisfont aux conditions que nous avons énoncées plus haut, l'équation (4) [cjui est de même forme que l'équation (2)] admettra une intégrale holomorphe.
Nous supposerons
Nous supposerons de plus \\ réel el positif. Cela posé, soit
(5) = = i:A;ia,,,..«„e?'>'=î./-î'.r?=...,r^
une série satisfaisant formellement à l'équation (3). Comment pourra-l-on calculer les coefficients A par récurrence ? En écrivant l'équation (3) sous la forme
dz . dz . dz , „ dz „ dz ., dz
-j- + Aia;i-j h. . .-+- K„x„-j A, 3 = Y, -; h \.- h. . .+ \,i-r~
ai dXi dx„ dx\ dxi dx„
et en identifiant les deux membres, on trouve
Ap. «,:<,. ..a„[p v'-^-t-'^ai-l- X,»., -I- ... -f- X„ «„—),, ] = P[C, A],
P[C, A] étant un polynôme entier à coefficients positifs par rapport aux C et aux coefficients A déjà calculés.
Soit maintenant
(6) ; = ï Ap.„,a,...<x„ e^-^?'x'',^xf. . . xl"
une série satisfaisant à l'équation (4). Pour calculer les coefficients A' nous écrirons l'équation (4) sous la forme
^ , dz , , dz , dz dz dz d^
X', a;, -=— + X'j rrs -5— -4- . . . -H X'„ x„ -j^ - X', : = Y', ^ -+- Y'„ -Ç^ + . . . -h Y' i^ . dxi dx^ " dx„ ' dxi - dx-,. " dx,,
■iS4 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
En ideatillanl les dou\ membres, nous trouverons
\'i.x,y^,...a„p-'<^'-+- À2 3ij + ----i->.;,x„— À', I = P[ ; ci, A'].
P[ C ,, A'] ne dili'ore de P[C, A] que parce que les C sont remplacés par leurs modules et les A par les A'.
Les V étant réels positifs ainsi que les coeflicients du poljnouie P, les A' seront ainsi réels et positifs.
Pour que Ion ait ensuite
I "^li.ct,tt,...x„ \ <! \p.a,o(....a,.j
11 suflit que Ion ait toujours
. .-I- X;,2„— X', < I p V'— I + XiOi-l- ),2a.2 4-. . .-h X„3(„— ),1 I
(ai — 1) + a» -»-... + «„
Si l'on a choisi >,', de façon à satisfaire à l'inégalité (7), on aura donc 1A|<A'.
Or la série (6) converge, donc il en sera de même de la série (5).
Ainsi donc pour que la série (5) converge, il suflit qu'on puisse trouver une quantité positive À', satisfaisant à l'inégalité {'j) pour toutes les valeurs entières et positives des «, et pour toutes les valeurs entières positives et négatives de (3.
Commençons par remarquer que le second membre de l'inégalité (7) est toujours plus grand que
IM + («i
i) -f- ao-
II suffira donc que }.', soit plus petit que l'expression (8). Or cette expression (8) est le module d'une certaine quantité imaginaire représentée par un certain point G. Or 11 est aisé de voir que ce point G n'est autre chose que le centre de gravité des n-\-2 niasses suivantes :
1° n masses égales respectivement à «i, a^, . . . , a,i et situées respectivement aux points )^i, ).2) • • • 1 ^-n ',
2° une masse égale à | (3 1 et située soit au point + v' — • soit au point
3° une masse égale à — i située au point It.
Toutes ces masses sont positives à l'exception de la dernière.
Il faut chercher la condition pour que la distance OG soit toujours supérieure à une certaine limite A',.
Composons d'abord les ii + i premières masses; nous obtiendrons une masse
située en un certain point G' et comme ces n -+- 1 premières masses sont positives, le point G' sera situé à l'intérieur de l'nn ou de l'autre des deux polygones convexes qui enveloppent, le premier les « + i points : /i,/2, ...,^./i et -\-^/ — I , et le second les n + i points : Xj, A,, . . . , 1„ el — y^ — ' •
Si aucun de ces polygones convexes ne contient l'origine, on pourra assigner à la distance OG' une limite inférieure p et écrire OG'>/jl.
Il reste à composer la masse M située en G' et la masse — i située en >.,. On obtiendra ainsi une masse M — i située en G. On aura évidemment
