Existence des solutions périodiques
Considérons un système d'équations différentielles (') -^ =X,- <i= I, 2, ..., n)
où les X sont des fonctions des x el d'un paranièlre [j-. Les X pourront aussi dépendre de ^, mais ce seront alors des fonctions périodiques de cette variable et la période sera 271.
Supposons que pour la valeur zéro du paramétre p., ces équations admettent une solution périodique, de telle sorte que
cp,- étant une fonction périodique du temps dont la période sera par exemple au. Posons
Xt= 3/-I- |(
et cherchons pour les valeurs très petites de fx à trouver les valeurs des Ç que nous supposerons également très petites, il viendra
r/t aïk ^U axk
Dans les dérivées partielles des X lesx, sont remplacés par les fonctions périodiques cp/. Les 1, sont ainsi déterminés par des équations linéaires à second membre dont les coefficients sont des fonctions périodiques. Deux cas peuvent se présenter.
i" Les équations sans second membre :
^ ' dt --"'«'.^7
n'admettent pas de solution périodique de période in.
Dans ce cas les équations à second membre en admettent une que j'écrirai
4^ étant une fonction périodique de période 271.
2" Les équations sans second membre admetteul une solulion de période 27r.
Alors les équations à second membre peuvent ne pas avoir de sohition périodique, de (elle façon qu'en t^éni'rul nous trouverons une solution de la forme suivante :
^ci=}U'\,,j(t)-hix'laj{t),
les 'Il tant toujours des fonctions périodiques, ou même dans certains cas
Plaçons-nous dans le premier cas et voyons la chose de plus près. Cherchons à former une solution périodique et à la développer suivant les puissances de |jl; posons par conséquent :
.r,-= 3,-+ iJ-^i.i-h ;J.-<?2.i-l-
Quand on substituera à la place des ^,- ces valeurs dans les X,, on trouvera
X;= Xo.,--+- JJlXi.(+ ÎJ.-X2.i+. . ..
Il est clair que les Xq.,- ne dépendent que des cp/, les Xi.,- des cp,- et des 91.,, les Xo.,- des (pi ,■ et descpo.,-, etc. De plus si les cp„.,- sont des fonctions périodiques de t de période 27;, il en sera de même des Xn.i- Nous avons de plus
^''•' =2.^ =?"•*+ ^"■'■■ Dans le second membre, dans les dérivées -^t on doit substituer les m,- à la
place des Xi ainsi que nous l'avons fait plus haut. De plus Y„ , ne dépendra que des o,-, des 91.,-, des cpj.,, ..., des 9n i.,; mais ne dépendra plus des Çn./- Cela posé on est conduit aux équations suivantes :
Supposons qu'on ait déterminé les quantités 91,,-, ©2.1! • ■ • ■> 9n) / à l'aide des équations précédentes sous forme de fonctions périodiques de l; on pourra ensuite à l'aide des équations (3) déterminer les cp,,.,-.
Ces équations (3) sont des équations linéaires à second membre et les coefficients sont périodiques.
Par hypothèse les équations sans second membre
qui ne sonl autres que les équations (2), n'ont pas de solution périodique; donc les équations (3) en admettent une. Il résulte de là qu'il existe des séries
dont les coefficients sont périodiques et qui satisfont formellement aux équations ( I ).
Il resterait à démontrer la convergence de ces séries. Nul doute que celte démonstration ne puisse se faire directement; je ne le ferai pas toutefois, car je vais, en reprenant la question à un point de vue dilTérent, démontrer rigoureusement l'existence des solutions périodiques, ce qui entraîne la convergence de nos séries. Nous n'aurons en ellet qu'à nous appuyer sur les principes les plus connus du « calcul dos limites ».
Soit cp,(o) -^- (3,- la valeur de xt pour t^o. Soit cp,(o)-l-Y, '^ valeur de Xi pour f = 271. Les y,- dépendront évidemment de p. et des valeurs initiales des variables et elles s'annuleront avec elles.
Gela me permet d'écrire
les rt, les b et les [?/t, p^, p.,, . • ■ , pn\ étant des coefficients constants.
On obtiendra les solutions pciiodiques de période 2 7r en cherchant les cas oùy/=(3,. On peut donc considérer y. comme une donnée de la question et chercher à résoudre par rapport aux ii inconnues (3 les équations
Nous savons que les 'j; sont des fonctions holomorphes de p. et des |3 s'annulant avec les variables. ( Voir théorème III, § 2.)
Si le déterminant fonctionnel des 'j' par rapport aux (3 (c'est-à-dire le déterminant des bik) n'est pas nul, on peut résoudre ces n équations et l'on trouve comme solution
les 0, étant, d'après un théorème bien connu, des fonctions holomorphes de \)s'annulant avec p.. {Voir théorème IV, § 2.)
C'est le cas que nous avons étudié plus haut et où les équations (2) n'ont pas de solution périodique.
On doit en conclure que pour les valeurs de p suffisamment petites, les équations (1) admettent une solution périodique.
Supposons mainteiianl ((iie lo diilcrmiiiani fouclioiiiiel des <\) soil nul; nous pourrons alors, en vertu du théorème VI (J; 2), éliminer entre les équations (4) (3|, |3o, . . . , (3„i ; nous arriverions ainsi à une équation unique «I> =^ o dont le premier membre sera développé suivant les puissances de fx et de [3,i.
11 n'y aurait d'exception que si les équations (4) n'étaient pas distinctes; mais dans ce cas nous leur adjoindrions une autre équation choisie arbitrairement.
Si l'on regarde /j. et '^n comme les coordonnées d'un point dans un plan, l'équation $ =: o représente une courbe passant par l'origine. A chacun des points de cette courbe correspondra une solution périodique, de sorte que pour étudier les solutions périodiques qui correspondent aux petites valeurs de p. et des p, il nous suffira de construire la partie de cette courbe qui avoisine l'origine.
Si le déterminant fonctionnel des ij; est nul. on aura (pour f;i ^ [3n = o) :
En d'autres termes, la courbe »l> = o sera tangente à l'origine à la droite p.=o, ou bien encore pour fx = o, l'équation <i> := o sera une équation en [3„ qui admettra zéro comme racine multiple; j'appelle m l'ordre de multiplicité de celte racine.
En vertu du théorème V (§ 2) on pourra trouver m séries développées suivant les puissances fractionnaires et positives de |j^, s'annulant avec p. et qui substituées à la place de (3„ satisfassent à l'équation <I> = o.
Considérons l'intersection de la courbe «I> ^ o ou plutôt de la portion de celle courbe qui avoisine l'origine avec deux droites p- ^ e, p= — £ très voisines de la droite p = o. On obtiendra les points d'intersection en faisant /ji = t, puis fx = — £ dans les m séries dont je viens de parler.
Soit m, le nombre des points d'intersection de <I> = o et /ji = 4-£ réels el voisins de l'origine. Soit m, le nombre des points d'intersection de O = o et p. = — £ réels et voisins de l'origine.
Les trois nombres m, /«i et m-2 seront de même parité.
Si donc m est impair, rni el rn-j seront au moins égaux à i. Donc il existera des solutions périodiques pour les petites valeurs de p, tant positives que négatives.
Gomment une solution périodique peut-elle disparaître quand on faitvarierp
d'une manière coniinue? Gomment peut-il se faire que le nombre des solutions pour p. ^ +£ soit plus petit que pour fi ^ — J, que rrii < m^ ?
J'observe d'abord qu'une solution périodique ne peut disparaître quand |j. passe de la valeur — e à la valeur + £ que si pour |jl = o, l'équation <I> = o admet une racine multiple; en d'autres termes uue solution périodique ne peut disparaître qu'après s'être confondue avec une autre solution périodiciue. De plus nii et ni.< étant de même parité, la difTérence m^ — nii est toujours paire.
Donc les solutions périodiques disparaissent par roupies ii la façon des racines réelles des équations algébriques. .
Un cas particulier intéressant est celui où pour p. = o, les équations dillerentielles (i) admettent une infinité de solutions périodiques que j'écrirai
a;i= Œ>,(<, /(), ar2=92(<, A), ..., Xn= ^n{t, It),
Il étant une constante arbitraire.
Dans ce cas les équations (4) ne sont plus distinctes pour p. = o et 4> contient p. en facteur, de sorte que nous pouvons poser
<ti étant liolomorphe en p„ et p.; d'ailleurs «I», dépendra aussi de h. La courbe $ = o se décompose alors en deux autres, à savoir la droite p. =: o et la courbe $i := o; c'est cette dernière courbe qu'il convient d'étudier.
La courbe $^ o passe forcément par l'origine; il n'en est pas toujours de même de <I>i:=o; il faudra d'abord s'arranger pour l'y faire passer, en disposant convenablement de h. Une fois qu'on l'y aura fait passer, on l'étudiera comme on a fait de la courbe <I> = o.
Si pour p =1 p„ = o, -777- n'est pas nul (ou plus généralement si pour p. ^ o.
l'équation <I>i = o admet (3„==o comme raciue multiple d'ordre impair), il y aura encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de p..
Il arrivera souvent que, même avant l'élimination, quelques-unes des fonctions <]fi contiennent p en facteur. Dans ce cas on commencerait par diviser par p. les équations correspondantes.
Si les équations (i)'admctlent une intégrale uniforme
¥{xi, Xi, . . ., j;„) = const.
les équations (4) »e seront pas distinctes à moins que l'on n'ait à la fois
rfF ^ (IF
dxi dx-i ' ' ' t/x„
pour
a^i=?i(o), a-2=cf2(o), ..., x„=cp„(o).
En effet il viendra identiquement
F[ç,.(o)+p,+ ^,] = F[ç,(o) + [ii].
Si par exemple pour ir,- = cp,(o), -,-^ n'est pas nul; on pourra tirer de cette équation :
©2, O:,, ..., 0„ étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ,3,, (3,, . . ., (3,„ .I;,, .l;3, . . ., •]^„.
La première des équations (4) est donc alors une conséquence des n — i dernières. On la supprimera alors pour la remplacer par une autre équation choisie arbitrairement.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions Xi, Xj, . . ., X„ qui entrent dans les équations différentielles (i) dépendent du temps l. Les résultats seraient modifiés si le temps t n'entre pas dans ces équations.
Il V a d'abord entre les deux cas une différence qu'il est impossible de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède que les X, étaient des fonctions périodiques du temps et que la période était 2 tt; il en résultait que, si les équations admettaient une solution périodique, la période de cette solution devait être égale à 27: ou à un multiple de 271. Si au contraire les X, sont indépendants de t, la période d'une solution périodique peut être quelconque.
En second lieu, si les équations (i) admettent une solution périodique (et si les X ne dépendent pas de t), elles en admettent une infinité.
Si en effet
est une solution périodique des équations (1), il en sera de même (quelle que soit la constante h) de
Xi= Zi(t -h h), Xi=z Z,2{t -h h), ..., X„= -^nit -h /l).
Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d'abord et dans lequel pour p. = o, les équations (i) admettent une solution périodique et une seule, ne peut se présenter si les X ne dépendent pas de C.
ET LESj ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 33y
Plaçons-nous donc dans le cas où le temps t n'entre pas explicitement dans les équations (i) et supposons que pour ^u =; o, ces équations admettent une solution périodique de période T :
Soit Oi(o) + [3, la valeur de Xi pour t = o; soit 0,(0)+-;-, la valeur de Xj pour < = T + 7. Posons ensuite, comme nous Tavons fait plus haut,
Les '^, seront des fonctions holomorphes de p., de pi, (3.,, .... |3„ et de r s'annulant avec ces variables.
Nous avons donc à résoudre par rapport aux 11 ^- i inconnues |3,, (3,. . . ., [3„, z les n équations
Nous avons une inconnue de trop, nous pouvons donc poser arbitrairement
par exemple
Nous tirerons ensuite des équations (5), ^i, |3o, . . ., [3„, et z en fonctions holomorphes de ,u. s'annulant avec jjl. Cela est possible à moins que le déterminant
Mi
d\Ji,—\
• • dpn->
dl
dXn
difn
ne soit nul pour [j. = (3, = t = o.
Si ce déterminant était nul, au lieu de poser arbitrairement |3„ ::= o, on poserait par exemple |3;^ o, et la méthode ne serait en défaut que si tous les déterminants dans la matrice
dp\ dp-i
di) I dAi I 'âfn 'd^ dii-, d'il 1
(M/n d>h„ d'in dx
