AC BC

AC =(ar-HtJi)2+ r2, BC = (.c + jji — 1)2-4- y2. Ces équations admettent une intégrale

el un invariant intégral

J =; / iIjc dy c/x' dy' .

M. Bohlin, dans le Tome 10 des Acta Mathenialica, a généralisé le résultat

de M. lliU, en montrant que si la constante K a une valeur convenable (ce que

nous supposerons) et si les valeurs initiales de x el de j sont assez petites, ces

quantités x el y resteront limitées.

Je me propose maintenant de montrei' que l'intégrale J étendue à tous les

systèmes de valeurs tels que

est finie; d'où nous pourrons conclure, comme nous l'avons fait plus haut, que la stabilité au sens de Poisson subsiste encore dans ce cas.

Si les constantes Ki et K;. sont convenablement choisies, le théorème de M. Bohlin montre que x et )• seront limités. Quant à x' et )' ils ne pourront devenir infinis ([ue si V devient infini, c'est-à-dire si AC s'annule, ou si BC s'annule.

Posons alors

l'intégrale J' étant étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

K,<F<K,, ÂC''>P6, Bg'>P5 (p°<^)' l'intégrale J" à tous les systèmes de valeurs tels que

K,<F<K2, Âc'<p2 (d'où BcVpi),

et l'intégrale J'" à tous les s^'stèmes do valeurs tels que

K,<F<K2, Bc'<pS (d'oùÂG'>p§).

Comme pour aucun des systèmes de valeurs auxquels l'intégrale J' est étendue, AC ou BC ne s'annule, cette intégrale J' est finie.

Examinons maintenant l'intégrale J". Je puis supposer que po ail été choisi assez petit pour que

po po

Dans ce cas ;-^ — peut varier entre les limites

I • — u u. 2 ,, I — u iJ. ;r- -(- r^ ,

L. = K, -t- -—f -)- ^ -H -— — , el K2-H -r-^ + -57; H r^ = '-->

A G BG x--^y- AG BG 2

car la plus petite de ces deux limites est positive.

Posons alors comme plus haut :

/ — , / — • ,. . x'--h ■)■'- X = v^arcosif, y = \/2r sinç, d ou r = ■ — ;

l'intégrale deviendra

J " = / (ix dy dr f/o ,

et l'on devra intégrer par rapport à cp entre les limites zéro et 2 7r et par rapport à r entre les limites L| et Lo ; il viendra donc

J"= 2Jr(K2— Kl) jdxdy.

L'intégrale double / dx <1y devra être étendue à tous les systèmes de valeurs

tels que AG < p^ ; elle est donc égale à tt.-.J ; de sorte qu'il vient

J"= i-^ù%{K,— Kl).

J" est donc fini, et il en est de même de J" et de J. c. q. f. d.

Nous devons donc conclure que (si les conditions initiales du mouvement ne sont pas exceptionnelles au sens donné à ce mot dans le corollaire du théorème l) le troisième corps C repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale.

Dans le cas général du problème des trois corps, on ne peut plus affirmer qu'il en sera encore de même.

Théorème II. — Si n =z 3 et que Xi, x.^, x,., représentent les coordonnées d'un point dans Vespace ordinaire, et s'il y a invariant positifs il ne peut pas y avoir de surface fermée sans contact.

Soit, en efl'el,

J = / M dxi dxi, dxn,

un invariant intégral positif. Supposons qu'il existe une surface S fermée et sans contact, avant pour équation

F(a;i, Xi, X3) =: o.

Soit V le volume limité par cette surface; nous étendrons l'invariant J à ce volume tout entier.

La surface S étant sans contact, l'expression

dF ^. dF ^, dF ^.

-;— X,-+--7— Xo-H -7— Xa dxi dx-i dxi

ne pourra s'annuler el par conséquent changer de signe; nous la supposerons positive |>our fixer les idées.

Soit rfeo un élément de la surface S; menons la normale à cet élément du côté des F croissants; prenons sur celte normale un segment infiniment petit dn.

Soit -y- dn la valeur de F à l'extrémité de ce segment. On aura an °

dF ^

J étant un invariant, on devrait avoir

di

dt^""-

Mais nous trouvons

dt J

d¥ dn

L'intégrale du second membre, étendue à toute la surface S, est positive, puisque

la fonction sous le signe / est toujours positive.

Nous arrivons donc à deuï résultats contradictoires et nous devons conclure qu'il ne peut exister de surface fermée sans contact.

Extension du théorème II. — Il est facile d'étendre ce théorème au cas de rt> 3; il suffit pour cela, puisque la représentation géométrique n'est plus possible, de la traduire dans le langage analytique el de dire :

S'il Y a un invariant intégral positifs il ne peut pas exister une fonction uniforme F(ari, .r^, • • -, x,,) qui soit positive, qui devienne infinie toutes les fois que l'un des x cesse d'être fini et qui soit telle que

dF dF ^, ^F ^ dF ^

-jT = -Y- A 1 -H -7— A. + ... -I- -, — .X„ lit ft.i\ dxi dx,i

soit toujours de même signe quand F est nul.

Pour faire comprendre l'importance de ce théorème, je me bornerai à faire observer que c'est une généralisation de celui dont je me suis servi pour démontrer la légitimité de la belle méthode de M. Lindstedl.

Je préfère toutefois, au point de vue des applications ultérieures, lui donner une forme un peu différente en v introduisant une notion nouvelle, celle des courbes invariantes.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3'i5^

Nous avons à la fin du paragraphe précédent envisagé une portion de surface S, définie par l'équation

B(x,, xo, a-j) = o et telle que l'on ait pour tous les points de S :

axi nxi rlx-i

de telle sorte que S soit une portion de surface sans contact.

Nous avons défini ensuite ce qu'on doit entendre par le n'"""' conséquent d'un point de S ou par la /i'»"'^' conséquente d'une courbe ou d'une aire appartenant à S. J'entends maintenant cl j'entendrai désormais le mot conséquent, dans le sens du paragraphe précédent, et non dans le sens employé plus haut dans la démonstration du théorème 1.

Nous avons vu que s'il existe un invariant positif /// Wdxi ilx-, dx.i, il existe

également une autre intégrale / IMH c?w que l'on doit étendre à tous les éléments rfco d'une aire appartenant à S et qui jouit des propriétés suivantes :

i" La quantité sous le signe / ) MH est toujours posisive.

2° L'intégrale a la même valeur pour une aire quelconque appartenant à S et pour toutes celles de ses conséquentes qui existent.

Gela posé; j'appellerai courbe invariante du n'*""' ordre, toute courbe tracée sur S et qui coïncidera avec sa w'*"" conséquente.

Dans la plupart des questions de Dynamique il entre certains paramétres très petits, de sorte qu'on est naturellement conduit à développer les solutions suivant les puissances croissantes de ces paramètres. Telles sont les masses en Mécanique céleste.

Nous imaginerons donc que nos équations différentielles

dx\ dxi , dx^ ^

~dt ~ '' ~dt ~~ ' -' Tir ~ '

dépendent d'un paramètre p. Nous supposerons que X,, Xo, X;, sont des fonctions données de x^, Xn, x^ et jjl, susceptibles d'être développées selon les puissances croissantes de p., et que p. est très petit.

Considérons alors une fonction quelconque de p^; je suppose que cette fonction tende vers zéro quand p tend vers zéro, de telle façon que le rapport

3i6 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

de celle fouclioii à p." lenilo vers une limile finie. Je dirai cjue celle fonclioa de /i. est une quanlilé 1res pclile du «''""' ordre.

Il importe de rem;uquer qu'il n'est pas nécessaire que cette fonction de p. soit susceptible d'être développée suivant les puissances de p..

Cela posé, soient A,, et B,, deux points d'une surface sans contact S, et soient A) et Bi leurs conséquents. Si la position de Aq et Bo dépend de p. suivant une loi quelconque il eu sera de même de la position de Ai etB(. Jeme propose de démontrer les lemmes suivants :

Lem.me I. — ^i l'on envisage une portion de surface sans contact S, passant par le point aa, bo, f o ", ■« ^», .To ^d -^o"' '^•^ coordonnées d'un point de S et SI x^, Vi, Zi sont les coordonnées de son conséquent, on pourra développer Xi, ji, zi suivant les puissances de Xo — a.f,, y„ — bn, z^ — c„ et p pourvu que ces quantités soient suffisamment petites.

Je puis toujours prendre pour origine le point a,,, 65, C(, de telle façon que

«0= 60= Co= o.

Si alors

est l'équation de la surface S, celle surface passera par l'origine O et l'on aura

Je supposerai de plus qu'en tous les points de la |3orlion de surface S envisagée la fonction '^{x, y) est holomorphe. Par l'origine O passe une trajectoire; imaginons que quand p = o celle trajectoire vienne au temps t = z recouper la surface S en un point P dont les coordonnées seront :

D'après la terminologie que nous avons adoptée, le point P sera quand on suppose p =^ o le conséquent du point O.

Soil maintenant x», y^, -s„ un point A très voisin de O et appartenant à la surface S. Si l'on fait passer par ce point A une trajectoire, si l'on suppose que p cesse d'être nul, niais resie très petit, on verra que celle trajectoire viendra, à une époque t très peu diliércnte de z, couper la surface S en un point B très voisin de P.

Ce point B dont j'appellerai les coordonnées Xi, }'i, Zji sera d'après notre terminologie le conséquent du point A.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. Sîy

Ce que je me propose de démontrer, c'est que Xi, j'i, -i peuvent se développer suivant les puissances croissantes de x^,, j',,, r,, et p..

•En effet, d'après le théorème III (§ 2), si x. y, : sont les coordonnées au temps < du point mobile qui décrit la trajectoire issue du point A, si de plus a?,,, y„, 3(1, p. et < — T sont suffisamment petits, on aura

!x = iii(t — z, 11, Xo, yo, Zo), y= <)>2(« — T, II, Xo, ya, ^o), z = 'ii^{t — -, IX, x„, jo, 3o),

i];i, <]^2 ettj;, étant des séries ordonnées suivant les puissances de t — t, p, x^, Ces séries se réduiront respectivement à a, 6, c pour

/ — -c = ;Ji = a:,i = >o = ;o = o.

Comme cf{x, y) est développable suivant les puissances àc. x — aetj'- — b, si x — a et j' — b sont assez petits, nous aurons également

<!}{x, y) = ■i/i(^ — x, [X, Xo, Va, -So),

ij/4 étant une série de même forme que i|i, <\i-^ et ip:!-

Écrivons que le point x, y, z se trouve sur la surface S, nous aurons

La relation (5) peut être regardée comme une équation entre t — t, p, Xo, ^'o et 2o c'' l'on peut chercher à la résoudre par rapport à < — t. Pour

t — - = [ji = jTo = y M = ;o = o,

celte relation est satisfaite, car on a

D'après un théorème de Cauchy, que nous avons démontré dans un des paragraphes qui précèdent, ou pourra tirer de la relation (5) t — t sous la forme suivante :

(6) < — - = e(,a, .co, j-o, So),

9 étant une série ordonnée suivant les puissances de p, a",,, i'„ et z„. Il n'y aurait d'esception que si pour

t — T = ij. = Xo = .Vo = ;o = o,' on avait

~di " ~dt'

3i8 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Or celte équation exprime (jue la li'njecloire issue du point O pour j7. :^ o va toucher la surface S an point P.

Mais il n'en sera pas ainsi, parce que nous supposerons lonjours que S est une surface ou une portion de surface sans contact.

Dans les équations (4) remplaçons t — t par 0 et x, >', :; par Xi, l'i, ;i ; il viendra

Xi= e,(n, Xt,, .lo, =o), J'i = ^■l{\>-, ^0, J'o, So), -1= 63(H, ^0, .)'o, So),

0i, 02 et 0;, étant des séries développées selon les puissances de p., x„, Yg et ;„. c. y. F. D.

Lemme II. — Si In distance de deux points A„ et B„ appartenant à la portion de surface sans contact S est une quantité très petite d'ordre n, il en sera de même de la distance de leurs conséquents A) et Bj.

Soient en eflfet ai, a,, as les coordonnées d'un point (iie Po de S très voisin de Ao et de B,,; a',, a',, a, les coordonnées de son conséquent P(.

Soient xi, Xi, x^; x\, x'.,, x',', yi, y^, y3\ y\, y'^, y', les coordonnées deA(,, Aj, B„ et Bi.

D'après le lemme I, x\ — a\, x', — a',, x\ — a', peuvent se développer selon les puissances croissantes de Xs — a^., x<x — a^, x,y — a-i et p..

L'expression de ij — a';, y', — a'j, y\^ — d. en fonctions de j)', — ai, y-, — ao, j)'3 ^ a-i et fjt. sera évidemment la même que celle de x\ — a',, x„ — a',, x\ — a\ en fonctions de x^ — a, , x<, — «o, x^ — a^ et \j..

On déduit de là que l'on peut écrire

1 ^\ —y\ = (*•! — „'i) Fi -^ {x-i — yi) F2 + (3:3— j'3) F,,

(7) \ x\—y\ = (,Xi—yi)Y\-\-{x. — y.)V\-^(x:, — y-i)Y\,

( 00',- y\ = (Ti- V-,) F'; + (x.-y.,) FI + (.rj-.)',) F'i,

les F étant des séries développées suivant les puissances de

jji, x^— a^, X2 — «2, X:i—a3, Vi — «i, y->— a^, y-j— a,.

Les quantités F), Fo, etc. sont finies; si donc Xi — y,, x-^ — j'o et x^ — y-^ sont des quantités très petites d'ordre n, il en sera de même de x\ — }', , x, — y\, X, — >■,. c. Q. F. D.

Théorème IIL — Soit AjAMBjB une courbe im'ariante, de telle façon que A, et Bi soient les conséquents de A et B.

Je suppose que les arcs AXi et 1515) soient très petits (c'est-à-dire tendent vers zéro avec p.) mais que leur courbure soit finie.

Je suppose que cette courbe invariante et la position des points A e/ B dépendent de ij. suivant une loi quelconque. Je suppose qu'il existe un invariant intégral positif. Si la distance AB est très petite du «"■""■ ordre et que la distance AA, ne soit pas très petite du n'^"'" ordre, l'arc AA, coupe l'arc BB,.

Je puis toujours joindre les points A et B par un arc de courbe AB situé tout entier sur la portion de surface sans contact S et dont la longueur totale soit du même ordre de grandeur que la dislance AB, c'est-à-dire une quantité très petite du n""° ordre. Soit Ai B( un are de courbe qui soit le conséquent de AB, il sera aussi très petit du n'*""^ ordre d'après le Icmme II.

Fis. I. Fig. 2.

Voici maintenant les diverses hypothèses que l'on peut concevoir :

Première hypothèse. — Les deux arcs AA| et BBi se coupent. Je me propose d'établir que c'est cette hypothèse qui est réalisée.

Deuxième hypothèse. — Le quadrilatère curviligne AA, B, B est tel que les quatre arcs qui lui servent de côtés n'ont d'autre point commun que les quatre sommets A, A| B et B, . C'est le cas de la figure i .

Troisième hypothèse. — Les deux arcs AB et AiBi se coupent en un point D. C'est le cas de la figure 2.

Quatrième hypothèse. — L'un des arcs AB ou Ai B, coupe l'un des arcs AAi ou BBi ; mais les arcs AAi et BB) ne se coupent pas, non plus que les deux arcs AB et AiBi.

S'il y a un invariant positif, il existera d'après le paragraphe précédent une

certaine intégrale / MH c?oj dont tous les éléments seront positifs et qui devra

avoir la même valeur pour l'aire ABBiMA et pour sa conséquente AA,B,MA. Cette intégrale étendue à l'aire

ABAiB,= AA,B,MA — ABB.MA H. P. — VII. 4a

33o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

iloit donc èlrfi uiiUe cl comme tous les éléments do l'iulégrale son! positifs, la disposition ne peut lMpc celle de la figure i où l'aire AlL\iBi est convexe.

La seconde hypothèse doit donc être lejetée.

La disposition ne peut non plus être celle de la figure a.

En effet, dans le triangle ADAi, les distances AD et A|D sont très petites du «'*""■ ordre car elles sont plus petites que les arcs AD et Aj D, lesquels sont plus petits que les arcs AB et A,Bi qui sont du n'"""" ordre. De plus on a

AAi< AD-t- A,D.

La distance AAi devrait donc être une quantité très petite du /i'*""" ordre, ce qui est contraire à l'énoncé du théorème.

La troisième hypothèse doit donc être rejetée.

Je dis que la quatrième hypothèse ne peut non plus être acceptée. Supposons en eflct par exemple que l'arc AB coupe l'arc AAj en un point A'. Soit ANAi la portion de l'arc AB qui va de A en A'; soit APA' la portion de l'arc AAj qui va de A en A'.

Je dis qu'on pourra remplacer l'arc ANA'B par l'arc APA'B; et que le nouvel arc APA'B sera comme l'arc primitif ANA'B une quantité très petite du «''"^ ordre.

En effet l'arc ANA' est plus petit que AB, il est donc du /i'*"" ordre; la dislance AA.' est donc elle-même du n""" ordre; l'arc APA' est plus petit que AA, qui est très petit, c'est-à-dire qui tend vers zéro avec jji; l'arc APA' est donc très petit et sa courbure est finie; on peut donc assigner une limite au rapport de l'arc APA' à sa corde AA'; ce rapport est fini et AA' est du n'*""^ ordre ; donc APA' est du 7i"'"" ordre. c. q. f. d.

D'ailleurs le nouvel arc APA'B ne coupe plus l'arc AA,, il a seulement avec lui une partie commune APA'.

On retombe donc sur la deuxième hypothèse qui a déjà été rejetée.

La première hypothèse est donc seule acceptable et le théorème est démontré.

Remarque. — Nous avons supposé dans l'énoncé du théorème que les arcs AAj et BBi sont très petits et que leur courbure est finie. En réalité nous ne nous sommes servis de cette hypothèse que pour montrer que si la corde AA' est très petite du n^""" ordre, il en est de même de l'arc APA'.

Le théorème sera donc encore vrai quand même l'arc AAi ne serait pas très petit et sa courbure finie, pourvu qu'on puisse assigner une limite supérieure au rapport d'un arc quelconque (faisant partie de iWi ou de BBi) à sa corde.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 33l