Exposants caractéristiques
Reprenons les équations
et imaginons qu'elles admettent une solution périodique
Formons les équations aux variations (voir Chap. l) des équations (i) en posant
et négligeant les carrés des ?.
Ces équations aux variations s'écriront
Ces équations sont linéaires par rapport aux c, et leurs coofficienls -y—' [quand
on y a remplacé x; par cp/(0] sont des fonctions périodiques de t. Nous avons donc à intégrer des équations linéaires à coefficients périodiques.
On sait (juelle est en général la forme des solutions de ces équations; on obtient n solutions particulières de la forme suivante :
,- ) ?, = e'VS,2, f.,= e»-.'S,, E„=e=<.'S„.>,
les a étant des constantes et les .S,/, des fonctions périodiques de t de même période que les (fi{l)-
Les constantes a s'apiielU-nt les exposants caracti'-iislifjues de la siilmion périodique.
Si « est purement imaginaire de fa<;ou que son carré soit négatif, le module de e*' est constant et égal à i. Si au contraire a. est réel, ou si a. est complexe de telle façon que son carré ne soit pas réel, le module e*' tend vers l'infini
pour t^ + 'JD OU pour t = — <x>. Si donc tous les y. ont leurs carrés réels et négatifs, les quantités Çi, 'î^.,, . . . , ï^n resteront finies; je dirai alors que la solution périodique Xi= (i>i{t) est stable; dans le cas contraire, je dirai que cette solution est instable.
Un cas particulier intéressant est celui où deux ou plusieurs des exposants caractéristiques a sont égaux entre eux. Dans ce cas les solutions des équations (2) ne peuvent plus se mettre sous la forme (3). Si par exemple ai = «o, les équations (2) admettraient deux solutions particulières qui s'écriraient
|,-=e='.'S,., et f,= <e='''S;.i-i-e^.'S,-.2,
les Sj.i et les S,,2 étant des fonctions périodiques de t.
Si trois des exposants caractéristiques étaient égaux entre eux, on verrait apparaître, non seulement t, mais encore t- en dehors des signes trigonomctriques et exponentiels.
Supposons que le temps/ n'entre pas explicitement dans les équations (i) de telle sorte (jue les fonctions X, ne dépendent pas de cette variable; supposons de plus que ces équations (i) admettent une intégrale
Il est aisé de voir que dans ce cas doux des exposants caractéristiques sont nuls.
On se trouve donc alors dans le cas d'exception que nous venons de signaler; mais il n'en résulte pas de difficulté; il est aisé en efl'el à l'aide de l'intégrale (4), d'abaisser d'une unité l'ordre des équations (i). Il n'y a plus alors que n — I exposants caractéristiques et il n'y en a plus qu'un qui soit nul.
Nous allons maintenant envisager un cas particulier qui est celui où les
équations (t) ont la forme des équations de la Dynamique. Ecrivons-les donc
sous la forme
, ,, dxi dF dyi dF ,.
('^ rfr = Â^.' -dr=-d^^ (. = 1,2, ....n),
F étant une fonction <|uelconque de x,, .r,, . . ., Xn, Vi, J'n, ■ • -, JK« • nous pourrons supposer, soit que F est indépendant de t; soit que F dépend non seulement des x et des j', mais encore de /, et que par rapport à cette dernière variable, c'est une fonction périodique de période 271.
Supposons que les équations (i') admettent une solution périodique de période 271 :
•^i=?i(0, .yi='T'i{t),
o.lo SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
el formons les équations aux variations eu posant
Nous avons vu dans le Chapitre II que l'intégrale double
(/.Vi (/]■, -t- <iX2 f/l'î-
-h (/xn dy„ )
est un invariant intégral, ou (ce qui revient au même) que si Ç,, m et Ç,', rjj sont deux solutions particulières ([uelconques des équations aux variations, on a
2(?/^;— Shi) = const.
Je dis qu'il en résulte que les exposants caractéristiques sont deux à deux égaux et de signe contraire.
Soient en efTet ^ et rj" les valeurs initiales de £; et de rj; pour t = o dans une des équations aux variations; soient ^,' et ■/)■ les valeurs correspondantes de Ç, et de rti pour < := 271. Il est clair que les ^' et les rj,' seront des fonctions linéaires des t^" et des rj" de telle sorte que la substitution
rt-2
«2/,,! a-in.i • . • "2//.-J/1
le tableau des coefficients de cette substitution linéaire. Formons l'équation en 1
sera une substitution linéaire.
Soit
Les 2n racines de celte équation seront ce qu'on appelle les 2/i multiplicateurs de la substitution linéaire T. Mais cette substitution linéaire T ne peut pas être quelconque. Il fiiul qu'elle n'altère pas la forme bilinéaire 2(£/V},' — E;v),). Pour cela, l'équation en 1 doit être réciproque. Si donc on pose X =:e"^"', les quantités a devront être deux à deux égales et de signe contraire.
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 34l
Il y aura donc en général n quantités '/.'- distinctes. Nous les appellerons les coejjficients de stabilité do la solution périodique considérée.
Si ces n coefficients sont tous réels et négatifs, la solution périodique sera stable, car les quantités ç; et rj,- resteront inférieures à une limite donnée.
Il ne faut pas toutefois entendre ce mot de stabilité au sens absolu. En effet, nous avons négligé les carrés des ^ et des v) et rien ne prouve qu'en tenant compte de ces carrés, le résultat ne serait pas changé. Mais nous pouvons dire au moins que les ^ et r;, s'ils sont originairement très petits, resteront très petits pendant très longtemps. Nous pouvons exprimer ce fait en disant que la solution périodique jouit, sinon de la stabilité séculaire, du moins de la stabilité temporaire.
On peut se rendre compte de cette stabilité en se reportantaux valeurs des \i\ on trouve en effet, pour la solution générale des équations aux variations,
les A/v étant des coefficients constants et les S,/, des séries trigonométriques. Or si cf-i est réel négatif, on trouve
6="!' = cosi y/ — o;| -I- ( sin t \j — tz| ,
de sorte que ^, s'exprime trigonométriquement.
Au contraire si un ou plusieurs des coefficients de stabilité devient réel positif ou imaginaire, la solution périodique considérée ne jouit plus de la stabilité temporaire.
On voit aisément en ertet que ;, est alors représenté par une série dont le terme général est do la forme A e''" cos(/.< + int + /), où {h-\- ik)' est un des coefficients de stabilité, où rn est un entier et / et A des constantes quelconques. Le défaut de stabilité se trouve ainsi mis en évidence.
Si deux des coefficients de stabilité deviennent égaux entre eux, ou si l'un d'eux devient nul, on trouvera en général dans la série qui représente ^,- des termes de la forme
Xt e''' cos{fcl -h /lit -i- /) ou Xt cos(mt -h /).
En résumé, ^j peut dans tous les cas être représenté par une série toujours convergente. Dans cette série le temps peut entrer sous le signe sinus ou cosinus, ou par l'exponentielle e'", ou enfin en dehors des signes trigonométriques ou exponentiels.
Si tous les coefficients de stabilité sont réels, négatifs et distincts, le temps
ii'npparaîtra qiio sous les signes sinus et cosiiuis el il y aura sUiLililé lem- |)oi'aire.
Si l'un des coetlîcieuls esl posililou iriiai;inaiie, le lenips apparaîtra sous un signe exponentiel; si deux des coeflicienls soûl égaux ou (|ue l'un d'eux soil nul, le lenips apparaît en dehors de tout signe Irigonoméliique ou exponentiel.
Si donc tous les coeflicienls ne sont pas réels, négatifs et distincts, il n'y a pas en général de stabilité temporaire.
Toutes les fois que F ne dépend pas du temps I, l'un des n coeflicienls de stabilité est nul; car d'une part le temps n'enlre pas explicitement dans les équations ditlérenlielles; d'autre part ces équations admettent une intégrale
F(xi, j-,..
Xn-, y\, ,}'■>, .... J'«) = const.
Nous nous trouvons donc dans le cas dont nous avons parlé plus haut el où deux des exposants caractéristiques sont nuls. Mais, comme nous l'avons dit, cela ne peut créer une difficulté parce que l'on peut, à l'aide de l'intégrale connue, abaisser à 2/1 — i l'ordre des équations (i'). Il n'y a plus alors que 2n — 1 exposants caractéristiques ; l'un d'eux est nul et les 211 — 2 autres, aux carrés desquels on peut conserver le nom de coefficients de stabilité, sont deux à deux égaux el de signe contraire.
Reprenons le déleruiinant que nous avons eu à envisager dans le paragraphe précédent.
Nous avons dans ce paragraphe envisagé d'abord le cas où les équations (i) dépendent du temps t et d'un paramètre [x, et admetleul pour jj. :=; o une solution périodique et une seule. Nous avons vu que si le déterminant fonctionnel
àil
les équations admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de p..
Ce déterminant peut s'écrire
dy,
d'il
fl-t„
Or les exposants caractéristiques y. sont donnés par l'équation
dr. , dp.
Dire que A est nul, c'est donc dire que l'un des exposants caracli-risliques est nul, de sorte que nous pouvons énoncer de la façon suivante 1(; premier des théorèmes démontrés au paragraphe précédent.
Si les équations (i) (jui dépendent d'un paramètre ^ admettent pour p. = o une solution périodique dont aucun des exposants caractéristiques ne soit nul, elles admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de [j..
Solutions périodiques des équations de la Dynamique.
dx,
dt
dF
dx-: dF dt " dy.^
dx:: dF dt ~ dy3
dy, dt
dxi
dy. d¥ dt ~ dx.'
dy-, dF dt dx-.
Je prendrai, pour fixer les idées, les équations de la Dynamique avec trois degrés de liberté, mais ce que je vais dire s'appliquerait évidemment au cas général. J'écrirai donc mes équations sous la forme
F étant une fonction uniforme quelconque des x et des y, indépendante de t.
Je supposerai ensuite que Xi, x-2 et x-, sont des variables linéaires, mais que Vi, Vi et y, sont des variables angulaires, c'est-à-dire que F est une fonction périodique de y,, Y2 etjKa avec la période arr, de telle façon que la situalion du système ne change pas quand une ou plusieurs des trois quantités y augmente d'un multiple de arr. (Cf. Cliap. I.)
Je supposerai de plus que F dépend d'un paramètre arbitraire p. et peut se développer suivant les puissances croissantes de ce paramètre de telle sorte que l'on ail
F = Fo-+- jjiri-Hii=Ft!-i-(x3F3H-
Je supposerai enlin ijuc l'\i ne dépend que des x et esl indépendani des j' de
telle sorte que
d¥„ d\\, c/Fu
dyx ~ r/r; dy.: ~
Rien n'est plus simple alors que d'intégrer les ('quations (i) quand ii.=io; elles s'écrivent en efl'el
dt dt dt
dy, dt
dV„
dy, dV„ dl dx. '
dt
f/F„ dx%
Ces équations montrent d'abord que x\, x-. et x-^, sont des constantes. On en
