l' u dVa d

conclut que — j— » — — — > — -j-^ qui ne dépendent que de J",, x-i et x-i. sont

aussi des constantes que nous appellerons j)our abréger n,, n^ et /i, et qui sont compléteuient définies quand on se donne les valeurs constantes dexi,a^.> etX:,. Il vient alors

j'i = /i] ^ -^ rai, j'o = «2^ -I- rao, j)-;, = /i;, / -H ru:;,

HTi, nj., et m-i étant de nouvelles constantes d'intégration.

Quelle esl la condition pour que la solution ainsi trouvée soit périodique et de période T.' Il faut que si l'on change < en < -I- T, y,, y., et y-i augmentent d'un multiple de 2 71, c'est-à-dire que «|T, «oT et /ijT soient des multiples de 27:.

Ainsi pour que la solution que nous venons de trouver soit périodique, il faut et il suffit que les trois nombres «i, «2 et n^ soient commensurables entre eux, du moins à un même facteur prés.

Nous exclurons, au moins provisoirement de nos recherclies, le cas où les

. ■ <• ,• l'/Fo rfPo . rfFo . j' 1. i> jii. c-

trois lonclions -; — 1 —, — et —, — ne sont pas indépendantes 1 une de 1 autre, bi on dxi dx-i dxz ' '

laisse ce cas de côté, on peut toujours choisir Xi, a", et x., de telle façon que n, ,

n-j et n.t aient telles valeurs que l'on veut, au moins dans un certain domaine.

Il y aura donc uue infinité do choix possibles pour les trois constantes x^, x-j

et X;; qui conduiront à des solutions périodiques.

Je me propose de rechercher s'il existe encore des solutions périodiques de période T lorsijue p. n'est plus égal à zéro.

Pour le prouver je vais employer un raisonnement analogue à celui du paragraphe 'J.

Supposons que ;/ cesse d'êlre nul, el imaginons que, dans une cerlaiae solution, les valeurs des x et des y pour < = o soient respectivement :

Xl = CLi -f- S«|, cT» = «2 -H SMo, X:; = a-, -¥- 3«a,

ri = îû| -1- Scî|, 1 2 = Tn-j -I- Scî; , Vs = ra:;+ 3tî!3.

Supposons que. dans cette même solution, les valeurs des x et des y

pour < = T soieni

xi = «) ^ 8«| -i-A«i,

a;o=e/2-+- Bw» -h Aa.,,

^3 — "3-1- Swj -H A«:i,

rj = cTi -+- /i| T + Snji -I- Aîiîi,

)o = roo-h n-iT -h Sin.j -H Aro-i,

J-3 = 1x73 -f- «3 T -*- ÛCTj -I- AnJ:,.

La condition pour f|ue cette solution soit périodique de période T est que l'on ait

(■.'.) Aff 1 = A«o = \a-^ = Arai = Acj.i ^ Ara- = o.

Les six équations (2) ne sont pas distinctes. En effet, comme F = const. est une intégrale des équations (i), et que d'ailleurs F est périodique par rapport aux ->', on a

V {a^-y- ouj, ra,-f- Sra/) = F(o,-<- S'/,-t- A«,, ra,-H n/ï ■+- ora, H- Ara,) = F(c(,-i- ort;-i- Aa,-, ra,-i- ora, -h Ara,).

Il nous suffira donc de satisfaire à cinq des équations (2). Je supposerai de plus

rai = ûrai =^ o,

ce qui revient à prendre pour origine du temps l'époque où ji est nul. 11 est aisé de voir que les An, et les Aro, sont des fonctions holomorphes des p., desort, el des ÔM,- s'annulant quand toutes ces variables s'annulent.

11 s'agit donc du démontrer que l'on peut tirer des cinq dernières équations (2) ôa,, da'2. Sa,,, ôw-. et 0W3 en fonctions de p..

Remarquons que quand p est nul, on a

A'/i = Artî = A«:i = o.

Par conséquent A«i, A«-, et Acr,, développés suivant les puissances de p., des ô«, et des ocj,, contiennent p en facteur. Nous supprimerons cefacteur p., et nous écrirons par conséquent les cinq équations (2) que nous avons à résoudre sous la forme

(i) = = Arai = Ara» = Ara, = o.

Il lions faut (léU'rmiucr Wj ot tH; de luUe tni'ou que ces iM|u;ilioiis soient satisfaites pour

(4) [-i = Sra..> = Sro:! = 0((| = o»; = or(;| = o.

Voyous ce que clevieuiieni les pieinicrs nieinljirs îles équations (3) quand on y fait fi -- o.

Il vient

/i,T H- Ara, = -(- / -^//t=^ clt = ~\ ; i/t.

il' OÙ

Ara I = — T ( -r-^ -+- ii

et de même

Ara-, = — T -; h/i. , Ara:, = — T -; h n.,).

\ '/.'■» /• \dx,. !

Il importe d'observer que dans F,, il faut remplacer ari, x-^ cl x,; par «i + oai, o-i-\- oa.,, a;i+ oa-i', en effet pour /j. ;= o, F se réduit à F,, et Xi, x^;, x-j à des constantes qui restent constamment égales à leurs valeurs initiales rti + ôai,

rto-f-Ôrt.j, «;,-!- oa:t.

Il vient d'autre part

Art» I r '' r/.i-., , i r'^ dF ,

— ^ = / -r^d(= - i -^dt V- \'- ..' ''' V- J dVi

ou puisque Fg ne dépend pas de Ta ou, pour p.=z o :

Il l.

Supposons que /j., les ors et les ort soient nuls à la fois; il faudra alors faire dans F, :

F, deviouJra alors une fonction périodique de l de période T. et une fonction périodique de cjo et de bj;, de période 27:.

Soit <i^ la valeur moyenne de Fj considérée comme fonction périodique de t.

Il viendra

A«, /-' '/!•, ,, „, '/•!/ = / - — dl = I - — ,

et de inènie

Nous (luvous (Jonc rlioisir ro^ cl nr,; de façon à satisfaire aux é(|uations

Cela est toujours possible; en effet la fonction 'i est périodique enro^et en cj^ et elle est finie; donc elle a au moins un maximum et un minimum, pour lesquels ses deux dérivées doivent s'annuler. Quand on aura choisi de la sorte cr^ et ro:i, on verra que les équations (3) sont satisfaites quand on y fait à la fois

Nous pourrons donc tirer des équations (3) les cinq inconnues ôa,- et dm, sous la forme de fonctions holomorphes de jj-, s'annulanl avec ^. 11 n'v aurait d'exception que si le déterminant fonctionnel

) ) arji, Aro-i. AiTT.;

à(ùa,, 8f(.>, 5a«, Snio, Sxn-j)

était nul. Mais pour |jl = o, Aroi, Aetj et Aot;, sont indépendants de ou;-, et de ôtn,, de sorte que ce déterminant fonctionnel est Je produit de deux autres

.■^(Attti, Ara», Ara:i) eL ^ "

Si l'on supprime les facteurs T- et — T', le premier de ces déterminants est égal au hessien de ij; par rapport à ro^ et thi et le second au hessien de F,, par rapport à x",, x'!, et .r".

Si donc aucun de ces deux Jiessiens n'est nul, il sera possible de satisfaire aux cinq équations (3) et par conséquent pour des valeurs suffisamment petites de y-, il existera une solution périodique de T. c. q. f. n.

Nous allons maintenant chercher à déterminer, non plus seulement les solutions périodiques de période T, mais les solutions de période peu différente de T. Nous avons pris pour point de départ Jes trois nombres rti, n-,, «., ; nous aurions pu tout aussi Ijien choisir trois autres nombres 7i\. n'„, n\, pourvu qu'ils soient commensurables entre eux, et nous serions arrivés à une autre solution périodique dont la période T aurait été le plus petit commun

, . , , 27: 2K 'ITZ

multiple de — r ) — r > — T •

Si nous prenons en particulier

n\ — fl, (l-r- s), «'„ = «.(l-T-S), /(', = «3(1 + e),

les trois nombres n\, n'.,, li. seront comniensurables entre eux, puisqu'ils sont proportionnels aux trois nombres «1, «^ et «3.

Il nous conduiront donc à uue solution périodique de période

de telle façon que nous aurons

(0) .r,= Oi{t,'x,i), r,= 9^(/, [a, £),

les o; elles 9I étant des fonctions développablcs suivant les puissances de p. et de £, et périodiques en t, mais de façon que la période dépende de t.

Si daus F nous remplaçons les xi et les ->-,- par leurs valeurs (4), F doit devenir une constante indépendante du temps [puisque F = const. est une des intégrales des équation (1)]. Mais cette constante qui est dite constante des forces vives, dépendra de [j. et de £ et pourra être développée suivant les puissances croissantes de ces variables,

Si la constante des forces vives B est une donnée de la question, l'équation F(fi, e) = B peut être regardée comme une relation qui lie £ à f/. Si donc nous nous donnons arbitrairement B, il existera toujours une solution périodique quelle que soit la valeur choisie pour cette constante, mais la période dépendra de £ et par conséquent de p..

Un cas plus particulier que celui que nous venons de traiter en détail est celui où il n'y a que deux degrés de liberté. F ne dépend alors que de quatre variables x^, ),, x-,, j'^ et la fonction d/ ne dépend plus que d'une seule variable njj. Les relations (5) se réduisent alors à

et le hessien de <h se réduit à -r-v- D'où cette conclusion :

' f/ro 5

A chacune des racines simples de l'équation [j) correspond une solution périodique des équations (i), (jui existe pour toutes les valeurs de p. suffisamment petites.

Je pourrais même ajouter qu'il en est encore de même pour chacune des racines d'ordre impair ainsi que nous l'avons vu au paragraphe 9, et que celte équation admet toujours de pareilles racines, puisque la fonction iL a au

moins un maximum qui ne peut correspondre qu'aux racines impaires de l'équation (7).

Revenons au cas où l'on à trois degrés de liberté, et où la période est constante et égale à T.

Je dis que x,, Xj, X;, . yi, );>, y^ peuvent se développer suivant les puissances croissantes de p.. En effet, en vertu du théorème IH (§ 2), les x et les j' peuvent être développés suivant les puissances de fjt, et de ô«i, dun, oci:;. ôjso elèrn-i. Mais imaginons que l'on ait déterminé les oa et les ôro de façon que la solution soit périodique de période T. On tirera alors les ôa et les ôcj des équations (3) sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de p., de sorte que les X et les y seront finalement ordonnées suivant les puissances de p..

La solution devant être périodique de période T quel que soit p., les coeffificients des diverses puissances de p. seront des fonctions périodiques de t.

Remarquons de plus que l'on peut toujours supposer que l'origine du temps ait été choisie de telle sorte quej»'i s'annule avec t, et que cela ait lieu quel que soit p. Alors pour t = o on aura

L'existence et la convergence de ces séries étant ainsi établie, je vais déterminer les coefficients.

Pour cela, je vais chercher ù satisfaire nux équations (i) en faisant (')

Xi = .l'î -I- [ixl + ,u.--r; -!-...,

x-y = :cS -f- }J.j;l -h jx-x3 -f-. . . ,

, X3 = j-"! -+- i±x\ -h u.-xl -H. . . , (S) , j ..... r ..

y-- = .!■? -+- -^yl -+- !i- ji -H . . . ,

Dans ces formules r", x'I, x", désignent les valeurs constantes que j'avais été conduit plus haut à attribuer à Xi, x^ et x^ quand je supposais p = o et qui sont telles que

^Fo(x;, xt, xl! )=-«,, ;5^ F„(-cï, xi, xl)=-

-^^Y,{x\,x\,xl^

(') Les chiffres placés eu liaut des lettres x et y dans les équations (!S) sont des indices et non des exposants.

35o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

On a de plus ( ' )

Enfin les xj , les v,', les .r,", lesyf, elc. sont des l'unclions du temps qu'il s'agira de délenniuer et i[ui devront être périodiques de période T.

Dans F, à la place des x et des y, substituons leurs valeurs (8), puis développons F suivant les puissances croissantes de p. de telle sorte (juc l'on ait

F = (1>„ + ;jhI> , + [^2 <I>o !

11 est clair que

ne dépend que des a" ; que

ne dépend que des x" , àv.s, y" (;t des x] ; cpic tl>2 ne dépend ipie des x^ , des j'", des x] , des }-,' et des r,% etc.

Plus généralement, je puis écrire

i/x" lix" dxl

OÙ 0/, dépend seulement des ;rj, des a,', ... et desrf ', des j", des j-,' . ... et desjf-.

Je puiï ajouter ipie par rapport à y\i y'I-, y'I la fonction Q/^ est une fonction périodique de période an. L'équation (9) montre ipie 0) := Fj.

Gela posé les équations difTérentiolles peuvent s'écrire, en égalant les puissances de même nom de ,a :

rit 7ît ~ ~dt ~ "' ~dï "~ "'' ~7it ~ "-' dl " "'■

On trouve ensuite

>ir\ 'IV^ flf\ ,r?^ Hx\ </Fi

^'°^ lit ~ Ttyi' ,11 ~r/jll' dt ^ dyl

(") -^n---^Tzr^

d\ \ ___fl^ 'jA ^ ^ly}. 'j^

dt ~ ^ r/.r" ' dt ~~ d^,' 'dt ~~ dë^.

f'j In changement convenalWe de varinbles permcl ( .)/élhod/-s imin-e//es, t. I, S i'i) des rendre nuls n, et Wj et de simplifier diluai la détermination eUeclive des coefficients des série

et plus généralement

<Kf ' rl<^k 'A-l/, ; '/-Fo ,. rf-Fo

, ^/-^Fo

<" ^ r/< ~ r/.,° ~ f/x-" "^ ' ,/^-» r/a-" •^'dx'idxf

•"'rfxfirfj.»

3ôi

Intégrons d'abord les équations (lo). Dans F, nous remplacerons rî, J'", J'° par leurs valeurs

Puisque y1 doit s'annuler avec t, usi sera nul. Alors les seconds membres des équations (lo) sont des fonctions périodiques de t de période T; ces seconds membres peuvent donc être développés en séries procédant suivant les

sinus et les cosinus des multiples de -TTr-- Pour que les valeurs de x\, xl el xi

tirées des équations (lo) soient des fonctions périodiques de t, il faut et il suffit que ces séries ne contiennent pas de termes tous connus. ■le puis écrire en elTet :

F, = 1 A siii ( nt,^ " -+- rn-^y'i ■+- /":;,)" -+- A ),

OÙ m,, m,, m3 sont des entiers positifs ou négatifs et où A et /< sont des fonctions de xi, xl, xl. J'écrirai pour abréger :

F| = S A sin (o

en posant

(0 = Toi ij + Ttiiy", + nii,y\ -t- /(.

.le trouverai alors

—r-r, = i.A//!i cosu), —r-r, = lA«i. cosc), , „ = lAwiiCOSto

to = /( 1)1 \ «I T- TO2/?2 -H TO:-n,i) + h + »!2T!T2H- «ijCTn.

Parmi les termes de ces séries, je distinguerai ceux pour lesquels

m , ni-\- m, «.> -H m~ n-,-. = o

et qui sont indépendants de t. Ces termes existent puisque nous avons supposé que les trois nombres rii, n-, et «;, sont commensurables entre eux. .le poserai alors

'i = V A sin cj ( «)i «1 — in-in :-T- m^iii^^ o, to = /(-)- iiiim, ~ m^cja),

la soiniiinlion roprosenU'e par le sigue ^ s'élendanl à tous les tenues de Fi pour lesquels le coelTicienl de t est nul. Nous aurons alors

-7-^ = X A "'î L'osto, -H- = X A m-i co,«(o.

Si donc on a

il viendra

(i3) X A /«l costo = o. X A '"2 costo = o, X A "(3 OOSC) = o.

La première des équations (11) est en effet une conséquence des deux autres, puisque en vertu de la relation riions + /«j «2+ «tu /(:, =0, on a identiquement

«1 X A '"1 COS 10 -)- «2 X A "!■> COSO) + «3 X A//!;; COS (0 = O.

Si donc les relations (12) sont satisfaites, les séries iA/?î, cosw ne contiendront pas de terme tout connu, et les équations (10) nous donneront

, v^ A»(i sin to ^, , ^^ ,\/«isin(0 ,

.r = 7 1- C , x\ = > h CJ ,

■^ Anir. sinw

I III t iii-î- m« rin-v- m?. 11,',

Ci,

C,', Cj, Cl étant trois nouvelles constantes d'intégration.

Il me reste à démontrer que l'on peut choisir les constantes cto et îH;, de façon à satisfaire aux relations (10). La fonction ^ est une fonction périodique de ro-j et de 57;, (|ui ne change pas quand l'une de ces deux variables augmente de 2.n. De plus, elle est finie, elle aura donc au moins un maximum et un minimum. Il y a donc au moins deux manières de choisir m., et sî;, de façon à satisfaire aux relations (12).

Je pourrais même ajouter (pi'il y en a au moins quatre, sans pouvoir toutefois affirmer (ju'il en est encore de même quand le nombre de degrés de liberté est supérieur à trois.

Je vais maintenant chercher à déterminer à l'aide des équations (11) les trois 'onctions y,' et les trois constantes C,' .

Nous pouvons regarder comme connus les x" et les y" ; les a-/ sont connus également aux constantes prés C,' . Je puis donc écrire les équations (i 1) sous la forme suivante :

dt ' 'dx'idxl' 'dxldjo'l " dxl dx'l '

OÙ les H, représentent des fonctions entièrement connues développées en séries suivant les sinus et cosinus des multiples de -7f-- Les coefficients de Cî, CJ et CJ sont des constantes que l'on peut regarder comme connues.

Pour que la valeur de yj tirée de cette équation soit une fonction périodique de t, il faut et il suffit que dans le second membre le terme tout connu soit nul. Si donc H° désigne le terme tout connu de la série Irigonométrique Hj, je devrai avoir

^'^' •-'' cU-'l dx» ^ ^' dxl dxl ^ ^= dxl dx^ ~ "■ ■

Les trois équations linéaires (i 5) déterminent les trois constantes G) , Çj\ et Cl.

Il n'y aurait d'exception que si le déterminant de ces trois équations était nul; c'est-à-dire si le hessien de Po par rapport à .r°, x\ et x\ était nul; nous exclurons ce cas

Les équations (i4) me donneront donc

y\ = -^\ + k\, yl=r,\ + k\, y\, = r,\ + k\,

les -fil étant des fonctions périodiques de L entièrement connues s'annulant avec t, et les kl étant trois nouvelles constantes d'intégration.

Venons maintenant aux équations (lo') en y faisant A-=2et«'=i, 2,3 et cherchons à déterminer à l'aide des trois équations ainsi obtenues, les trois fonctions xj et les trois constantes k].

Il est aisé de voir que nous avons

^ ^ , rfF, , d¥, , «'F,

où iîs dépend seulement des x% des )•," et des xl et où l'on a, comme plus haut

-r-H" = S A m; COS (0.

Les équations ( lo') s'écrivent alors

dxf dù^ ■yi , d--Vi ~dt ~ dff '^2j^'k dyl dyf

dx- (i6) —7-^ = H; — k\ Z Xmimi sinu — k\ 2 A ^2»!, sin o) — A' S Ams/??; sinio,

HJ étant une fonction périodique de t, que l'on peut regarder comme entiére- H. P. — Vit. 45

menl connue. Pour que l'on puisse lirer de celte àqualion x"i sous la forme d'une fonction p(W'iodique, ri faut et il suffit que les seconds membres des équalions (16"), développés en séries irigonomélriques, ne possèdent pas de termes tout connus. Nous devons donc disposer des quantités !(] de manière à annuler ces termes tout connus. Nous serions ainsi conduits à trois équations linéaires entre les trois quantités A/ ; mais comme le déterminant de ces trois équations est nul, il y a une petite difficulté et je suis forcé d'entrer dans quelques détails.

Comme yj s'annule avec t, on doit avoir A| = o; nous n'aurons plus alors que deux inconnues k\ et k\ et trois équations à satisfaire; mais ces trois équations ne sont pas distinctes comme nous allons le voir.

Appelons en effet E,- le terme tout connu de H| , ces trois équations s'écriront

El = X J V A ni: m 1 sin to -+- Ai V A ni; m 1 sin eu, (17 ) } E, = A J C A m l sin w + AJ C A ;

Ej = A:J V A in-i ni:; sin oj + ki V

. /«:i nli SUl (iJ,

A ml sin oj,

en conservant au signe de sommation v le même sens que plus haut. Je ne considérerai d'abord que les deux dernières des équations (17) que j'écrirai

De ces deux équalions on peut tirer AJ et AJ, à moins que le hessien de '^ par rapport à w^ et thii ne soit nul. Si l'on donne aux A, les valeurs ainsi obtenues, les deux dernières équalions (16) nous donneront x; et ar, sous la forme suivante :

les E,' étant des fonctions périodiques de l entièrement connues et les Cf étant de nouvelles constantes d'intégration.

Pour trouver x] nous pouvons, au lieu d'employer la première des équations ( 16), nous servir des considérations suivantes :

Les équations (i) admettent une intégrale F = B, B étant \ine constante d'intégration qu(! je supposerai développée suivant les puissances de p en écrivant

B = B„+ iJtB,-i-ix2Ho-4-...,

de sorle que l'on a

Bd, Bi, B2, etc.. L'iant auliinl de conslantes dirtéientes.

Le premier membre de l'équalion <I)2=B2 dépend des :r°, des if, desx/, des )-?, de xl et de xi qui sont des fondions connues de t et de ^i, lequel nous n'avons pas encore calculé. De celte équation, nous pourrons donc tirer xj sous la forme suivante :

l] sera une fonction périodique de t entièrement déterminée et C; est une constante qui dépend de Bo, de C!; et de G'^.

Nous pouvons conclure de là que la première des équations (17) doit être satisfaite et par conséquent que ces trois équations (17) ne sont pas distinctes.

Prenons maintenant les équations ( i i') et faisons-y /,• = 2 ; nous obtiendrons trois équations qui nous permettront de déterminer les conslantes C|, C^ et G', et d'où l'on tirera en outre les r/ sous la forme

J ï = -n ; -H /,•; , yl = ï,i -f- Ai , j^ = -r); H- A-j ,

les Y) étant des fonctions périodiques de t entièrement connues et les kf étant trois nouvelles constantes d'intégration.

Reprenons ensuite les équations ( 10') en y faisant A- = 3; si nous supposons A*, =: o, nous pourrons tirer des trois équations ainsi obtenues, d'abord les deux constantes A^ et A3, puis les x' sous la forme

les f étant des fonctions périodiques connues de t et les G,' étant trois nouvelles constantes d'intégration.

Et ainsi de suite.

Voilà un procédé pour trouver des séries ordonnées suivant les puissances de fx, périodiques de période T par rapport au temps et satisfaisant aux équations ( I ). Ce procédé ne serait en défaut que si le hessien de Fopar rapport aux x" était nul ou si le hessien de ']> par rapport à m-;, et cj:, était nul.

Ge que nous venons de dire s'applique en particulier à une équation que l'on rencontre quelquefois en Mécanique céleste et dont plusieurs géomètres se sont déjà occupés. Gette équation est la suivante :

(18) ■^+/i=p-hmp'=fzR(p, 0-

d? dF

dt ~ da '

dt " '

,/ri

n et m sont des constantes, f^ est un paramètre très petit et R est unefonction de p et de t, développée suivant les puissances croissantes de p et périodique par rapport à t.

Pour bien nous en rendre compte, il faut d'abord ramener l'équation ( i8) à la forme canonique des équations de la Dynamique. Cela se fera en posant

; et /) étant deux nouvelles variables auxiliaires et l'intégrale / R(p, ^) c?p étant calculée en regardant Ç comme une constante. On trouve alors

auxquelles nous pourrons adjoindre (iq étant restée jusqu'ici complètement

arbitraire) l'équation suivante :

, ,, rfïi dF

qui complète un système canonique.

Quand [j. —0 l'intégrale générale de l'équation ( 1 8) s'écrit

(2o) p = A sn(^^ -h tît), a = hg cn{g-t + m)àn(gt + Tn),

OÙ o- et 57 sont deux constantes d'intégration et où /«, ainsi que le module du sinus amplitude, sont deux fonctions de g faciles à déterminer.

Nous allons changer de variables; nous prendrons au lieu de ^, y), p et cr, quatre variables x^, y,, x^, y^, définies comme il suit. Nous aurons d'abord

Des équations (20) qui donnent p et o- en fonction de g ei de gt -+- xs pour jjL ^ o, on peut tirer g el gt-\-Ts en fonctions de p et de a. Il vient

é' = 7.i(p, î), ^; + ra = 7,(o, a).

Nous prendrons alors pour x, une certaine fonction de Xi (p> 0) et pourj', :

k désignant la période réelle de sn(,c).

Si alors Xi a été convenablement choisi en fonction de iit ^es équations conserveront leur forme canonique

dy,

dy, d.F

dx 1

dx.

dx\

dt ~ dx.i

dy,'

dt ~

dy..

Il est clair d'ailleurs que pour ;jl =: o, F ne dépend que de Xi el de x^ et, non de j't et de j'o.

Nous nous trouvons donc bien dans les conditions énoncées au début de ce paragraphe.

L'équation ( i8) a surtout été étudiée par les géomètres dans le cas où m^o; il semble au premier abord qu'elle est alors lieaucoup plus simple. Ce n'est qu'une illusion; en effet, si l'on suppose m = o, on se trouve dans le cas où le hession de Fo est nul et ce que nous avons dit dans ce paragraphe n'est plus applicable sans modification.

Ce n'est pas que les particularités que présente l'équation ( i8) dans le cas général ne soient encore vraies pour m=o, toutes les fois du moins que fx n'est pas nul. La seule différence, c'est qu'on ne peut les mettre en évidence par un développement suivant les puissances de fx. L'apparente simplification qu'a reçue ainsi l'équation ( i8) n'a fait qu'augmenter les difficultés. 11 est vrai qu'on est conduit quand m = o, à des séries beaucoup plus simples que dans le cas général, mais ces séries ne convergent pas comme nous le verrons dans la suite.

La méthode exposée dans ce paragraphe s'applique également à un cas particulier du problème des trois corps.

Supposons une masse nulle C attirée par deux masses mobiles A et B égales l'une à I — |J. et l'autre à fx et décrivant d'un mouvement uniforme deux circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun supposé fixe. Imaginons de plus que la masse C se meuve dans le plan de ces deux circonférences.

Nous verrons plus loin que dans ce cas les équations du mouvement peuvent se mettre sous la forme suivante :

On désigne par Xi la vitesse aréolaire du point C, par x-^ la racine carrée du grand axe de l'orbite de C, par yi la différence de la longitude du périhélie de C et de la longitude de B, par j'^ l'anomalie moyenne.

D'ailleurs F peut être développée suivant les puissances de pt et l'on a

Fo = a^i -H - — ; •

dxi dt ~

dy,'

dx^. d^

dt ~ dy.

dy,

dy. dF

dxt

dt dx.

dxi o'(F)oT dt " a>'(C)o'j,'

dyi dt

d r 9(F)] ~ dVi 9(C) '

dyi dt

Il esl aisé de voir que lt« hessien de Fq par rapport à x, et à x-, est nul. 11 semble donc d'abord que les mélliodes du présent paragraphe sont en défaut. Il n'en est rien et un artifice très simple permet de tourner la difficulté. Les équations ( i ) admettent comme intégrale F = C. Considérons la constante C comme une donnée de la question.

Si alors <p(F) est une fonction quelconque de F et C}''(F) sa dérivée, on aura

et les équations ( i ) pourront s'écrire

<s'(F)rfF ^\Ç.)dXi

dxj d r?(F)-| dy'i r/ [-^(F)-]

^^ ' ^''^ ~ <)-/L9(C)J' dt dxXo\Q.)\

En général, le hessien de ' ; ° ne sera pas nul. C'est ce qui arrive en particulier quand

Les solutions des équations ( i ) qui correspondent à la valeur particulière C de l'intégrale F appartiennent aussi aux équations ( i').

Considérons maintenant une solution des équations (i) qui soit telle que l'intégrale F soit égale à une constante Ci dilTérenle de C.

Je dis que cette solution appartiendra encore aux équations (i') pourvu

qu'on y change t en f ^ ^ ' • On a en effet

dxi dF^ (fZ! dF

dt dvi dt dxt''

si l'on change t en t ' ,, ', ; il viendra

dx, s'(Ci)t/F dyi s'(Ci)rfF

dt ~ ?'(C)a[r/' dt ~ ^'{C)dxi

ou puisque F = C| :

dxj o'(F)dP ^- 9'('P)dF

dt " (p'(C)6?r<' dt ~ !f'(C)dxt'

Des solutions de" ( i ) il est donc aisé de déduire celles de (i') et inversement.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. SSiJ

Les méthodes du pr(éseiit paragraphe sont donc, grâce à cet artifice, applicables à ce cas particulier du problème des trois corps.

Elles ne le seraient pas aussi aisément au cas général. Dans le ciis générai en efïet, non seulement le hessien de Fq est nul, mais celui de cp (Fq) est encore nul, quelle que soit la fonction cp.

De là certaines difficultés dont je ne parlerai pas ici; j'y reviendrai plus loin et je me bornerai pour le moment à renvoyer le lecteur à un travail que j'ai inséré dans le Bulletin Astronomique (t. J, p. 65) (•).