CHAPITRE I
ÉTUDE DU CAS OU IL n'y A HUE DEUX DEGRÉS DE LUiERTÉ.
15. — Représentations géométriques diverses. Reprenons les équations (i) du paragraphe 11 ;
dx, dV
d.r. dV
dl " dy,'
dt ~ dy.^
dr, dV
dt ~ dj:,'
lit dXn
Nous nous bornerons au cas le plus simple qui est celui où il n'y a que deux degrés de liberté; je n'ai pas à m'occuper en efl'et de celui où il n'y a qu'un degré de liberté, car les équations de la Dynamique s'intégrent alors aisément / par de simples quadratures.
Nous supposerons donc que la fimction F ne dépend que de quatre vaiiables X{, a"-.., 1), j'j. Nous supposerons de plus que cette fonction est uniforme par rapport à ces quatre variables et périodique de période 2tu par rapport à Ki elàj-,.
La situation du sysiéiBe est donc déiîuie par les quatre quantités Xi, x-,, fi, y^, mais cette situation ne change pas quand Vi ou y-2 augmente de 27î ou d'un multiple de 27r. En d'autres termes, et pour reprendre le langage.du Chapitre I, Xi et x-2 sont des variables linéaires, pendant que yx et Vu sont des variables angulaires.
Nous connaissons une intégrale des équations (2) qui est la suivante ;
G désignant la constante des forces vives. Si cette constante est regardée comme une des données de la question, les quatre quantités x ot y ne sont plus indépendantes ; elles sont liées par la relation (2). Il suffira donc, pour déterminer la situation du système, de se donner arbitrairement trois de ces quatre quan-
lilés. Il devient possihliv |)ar cousét|uenl , de rejiii'scnlL'r l:i siuialion du svslènic par la position d'uu poiut P dans l'espace.
11 pourra arriver on outre pour dos raisons diverses que les quatre variables X el y soient soumises, non seulement à l'égaliti'' (2), mais à une ou plusieurs inégalités :
(3) i|(,f,, .ro, ri, J-2)>'>! 92(.ri, .i-«, /i, J-2)>o-
Supposons par exemple pour fixer les idées que les inégalités (3) s'écrivent
a>xi> b,
et que l'égalité (2) soit telle que lorsque .r, satisfait à ces inégalités, on puisse tirer de la relation (2) la quatrième variable J". en fonction uniforme des trois autres x,, j', et jo.
Nous pouvons alors représenter la situation du svslème par un point dont les coordonnées rectangulaires seront
X = cosj'i[i -+- cosj;!(c.ci+ d)]. Y = siii ) i[i -h cos)->(c.ri-i- d)], Z = siu)«(c.ri-t- d),
c et d étant deux nou\eiles constantes positives telles que
Il est clair en effet qu'à toute situation du système, c'est-à-dire à tout système de valeurs de Xi, y\ et jo satisfaisant aux conditions
correspond un point de l'espace et un seul, compris entre les deux tores
( ( I - \'\-' + Y= Y -+- 7J = ( ta -H df.
El réciproquement, à tout point de l'espace compris entre ces deux tores corres))ond un système de valeurs de Xi, ri ety^ et un seul, satisfaisant aux inégalités précédentes.
Il peut se faire que les inégalités (3) ne s'écrivent plus « > jti > i ; mais que cependant ces inégalités, jointes à la relation (a) entraînent comme conséquence
Si de plus X-, est encore fonction uniforme des trois autres variables, le même mode de représeuliitioii géoinétriijiie est encore applicable.
Nous pouvons nous placer dans un cas plus général encore :
Supposons que l'on puisse trouver une variable auxiliaire i;, jouissant de la
propriété suivante. Si Xi, x-,^ y, et )--2 satisfont à la fois à l'égalité (2) et aux
inégalités (3), on pourra exprimer a;, et x-^ en fonctions uniformes de ^, de yi
et dfi ) ■). De plus, en verUi des inégalités (3), 'E, ne peut devenir infinie et reste
comprise entre certaines limites de telle façon que l'on a comme conséquence
de (2) et de (3) :
Nous pourrons alors définir cumplcteinent la situation du système en nous donnant les trois variables ;, yi cl y 2, et la représenter par un point P dont les coordonnées rectangulaires seront
X = cos yi[i -h cosj'.2(c? -I- r/ )l, Y = sin )-| [i ■+- cosj-^Ctç -t- '/)], Z = sinj'2(c? -1- d) avec les conditions
c ^ o, co-+-<y<i, ch-i-d'^o.
On voit alors, comme dans le cas précédent, qu'à toute situation du système correspond un point de l'espace et un seul compris entre les deux tores (4), et réciproquement, qu'à tout point compris entre ces deux tores ne peut correspondre plus d'une situation du système.
Il peut se faire que pour aPi = a, (ou plus généralement pour ^ ^ a), la situation du système reste la même quelle que soit la valeur attribuée à r-j. Nous en verrons dans la suite des exemples. C'est ainsi qu'en coordonnées polaires, il faut en général pour définir la position d'un point se donner les deux coordonnées p et (o, mais que si l'on suppose p = o, on retrouve toujours le même point, à savoir le pôle, quel que soit u.
Dans ce cas on choisira les constantes c et c? de telle façon que
ca -H c/ = o.
Le second des deux tores (4) se réduit alors à un cercle
En chacun des points^de ce cercle Va est indclerminé; mais néanmoins, comme pouri;=a la situation du système ne dépend pas de >2, à chaque point du cercle correspond une situation du système et une seule.
On peut dire alors qu'à toute situation du système correspond un point de l'espace intérieur au premier des deux tores (4) et que, réciproquement, à un
SgS SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
poiiii inlorieiir ilo ce lore no pi'iil correspondre (ju'iine seule siiiialion du système.
.l'euvisagerai encore un autre cas.
Inutgiuons qu'en verlu des inéj^iilili^s (3), c puisse prendre loulcs les valeurs posiiivcs, de telle sorte que
Supposons que pour ;= o la situation du système ne dépende pas de jo et que pour ; = 30 , celle situation ne dépende pas de j'i .
Nous pourrons alors représenter la sliualion par un point dont les coordonnées reclangniaires seront
X = cosj'i eS^»*:!, V = siiij'i e^"""-'', Z = Ç sin j».
Pour ; = G il vient (quel que; soit t..,)
X = cos)'i, V = sinji, /. = o.
Le point représentatif se trouve sur le cercle
et sa position ne dépend pas de )■.; cela n'a pas d'inconvénient puisque par hypothèse la situation du système pour ^ = o ne dépend pas non plus dej'a. Pour ^ = 00, on trouve pourvu que cosj'^ soit négatif :
X = Y = o, /. = siri )■«.
Le point représentatif se trouve alors sur l'axe des Z et sa position ne dépend pas de^^i, mais pour £^oo, la situation du système ne dépend pas non plus de j,.
Le mode de représentation adopté est donc légitime.
Ce qui précède a besoin d'être appuyé de quelques exemples. Je n'en traiterai ici que trois.
Le premier de ces exemples est le plus important parce que c'est un cas particulier du problème des trois corps. Imaginons deux corps, le premier de grande masse, le second de niasse (inie, mais très petite, et supposons que ces deux corps décrivent autour de leur centre de gravité coinmun une circonférence d'nn mouvement uniforme. Considérons ensuite un troisième corps de masse inlinimenl petite, de façon que son mouvement soit trouble par l'attraction des deux j)remiers corps, mais (|u'il ne puisse pas troubler l'orbite de ces deux premiers corps. Bornons-nous de plus au cas où ce troisième corps se
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. Sgç
meui dans le plan des deux circonférences décrites par les deux premières masses.
Tel esL le cas d'une pelile planéle se niouvani sous l'influence du Soleil et de Jupiler quand on néglige l'excentricité de Jupiter et l'inclinaison des orbites.
Tel esL encore le cas de la Lune se mouvanl sous l'influence du Soleil et de la Terre quand on néglige l'excealricilé de l'orbite terrestre et l'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'écliptique.
Nous définirons la position du troisième corps par ses éléments osculaleurs à un instant donné et nous écrirons les équations du mouvement en adoptant les notations de M. Tisserand dans sa Mole des Comptes rendus du .;îi janvier 1887 :
\ ^ ^ dl' Tt ~~' dL'
^ ' "'G dix ,/^ __,m
~di ~ ^' 'di ~~ d&'
Je désigne par a, e et n le grand axe osculateur, l'excentricité et le moyen mouvement de la troisième uiasse ; j'a|ipelle l l'anomalie moyenne de cette troisième masse et g' la longitude de son périhélie.
Je pose ensuite
Je choisis les unités de telle façon que la constante de Gauss soit égaleà i , que le moyen uiouvement de la seconde masse soit égal à 1 et que la longitude de cette seconde masse soit égale à t.
Dans ces conditions, l'anglesous lequella distance des deux dernières masses est vue de la première ne diffère de l-'rg — t que par une fonction périodique de l de période 2 7r.
La fonction R est la fonction perlurbaliice ordinaire aueuieutée de — = — r-. ;
Cette fonction ne dépend que de L, de Ci, de / et de l-[-g — t; car la distance
de la seconde masse à la première est constante et la distance de la troisième à
la première ne dépend que de L, G et /. Cette fonction est d'ailleurs périodique
de période 27: tant par rapport à l que par rapport à 1 + g — t..
On conclut de là que l'on a
d\i d\K dt dg
et que les équations (5) admettent comme intégrale
K -I- t j = const.
4oo SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Nous allons cliercliL-r à ramener les équations (5) ù la forme des équations (i). Pour cela nous u'avon? qu'à poser
X, = G, j;., = L, j, = ^ — /, Xi = l, F(xi, ;£•«, y,, y-i) = R -f- G,
et les (^qualions (5) reprennent la forme
La fonction F dépend d'un paramétre très petit /j. qui est la masse du second
corps et nous pou\ons écrire
F = F„+iJiF,.
F est périodique par rapport à Vi et )o (jui sont des variables angulaires, tandis que Xi et x-, sont des variables linéaires. Si l'on fait p. ^ o, F se réduit à F,, et
Fo = 1- G = j'i H
la 2.Xr,
ne dépend [)lus que des variables linéaires.
Il résulte de la définition même de L et de ^G en fonctions de a et e que l'on doit avoir
