II
Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (li)
Je dis que nous devrons trouver r;,^ fonction dcveloj)pée suivant les puissances de \i e*'', Ao e*'', ..., A„ e*"' dont les coeffici(!nls sont des fonctions périodiques de t.
Nous pouvons écrire alois
(4') ^;=ri'-f--n,- + .--+-n?-t----,
Y)J' représentant l'ensemble des termes do /), qui sont de degré p par rapport aux A.
Nous reuiplaceruns les v), par leurs valeurs dans llf et nous trouverons II/- = \vi-''-+- W'i''^ ' -1 ... + I !';■•/ -+-...,
II'''' désignant l'ensemble des termes (jui sont de degni q par rapport aux A. Nous trouverons alors
Ces éf[uatious permettront du calculer successivement par récurrence rj,", t)'; , . . . , Y)/, .... I^n effet K, ne dépend que des rj' , r/-, . . . , r//^'. Si nous supposou-> que ces quantités aient élé [>r(''alnblement calculées, nous pourrons écrire K,y sous la forme suivante :
K, = ï a';*' A'^' . ..Kl" e'^5;,fi,+3<.,(5,+...+«„fi„i^,
les [3 étant des entiers positifs dont la somme est lyel^ une fonction périodique.
On peut écrire encore :
C (Uanl un coefficient généralement imagiajiire et •■ un entier pusiiifou négnlif. Nous écrirons pour abréger :
Af''A^=...A3..= Av, a,;b, + «o3«-)-...H-a„[i„=S»'l, et il viendra
^ -à/Ti'{= iCA'/e'fï *'='+-«?).
Or on peut s;)tisfaire à celle équation en faisant
11 y aurait exception dans le cas où l'on aurait
auquel cas il s'introduirait dans les formules des termes en t. Nous réserverons ce cas qui ne se présente pas en général.
Nous devons maintenant traiter la question de la convergence de ces séries. La seule difliculté [)rovieut d'ailleurs comme on va le voir des diviseurs
Cette convergence est une conséquence immédiate des résultats obtenus dans le paragraphe! 3, mais je préfère en donner une démonstration directe. Remplaçons les équations (a') par les suivantes :
(2") Ti,= iA,e^i'+n?-t-H/-t-...~HlIf-4-....
Définissons Hf . On voit sans peine que Hf est de la forme suivante :
G est une constante quelconque, les (3 sont des entiers positifs dont la somme esl p, Y est un entier positif ou négatif. Nous prendrons alors
H^=i:iC|r,?-r,P....r,g".
Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les séiies trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques dont dépendent les H convergent absolument et uniformément; or cela aura toujours lieu parce que ces fonctions périodiques sont analytiques. Quant à s, c'est une constante positive.
Ou [Ji'iil lirer ilrs t^qiialions (2") les r) sous la forme suivante : ( 4-) -ri, = 2 M =-i:,ï .\P' A^' . . . A|^eli:=>P '.
Plusieurs termes pourront d'ailleurs correspondre aux mêmes exposants (3. Si l'on compare avec les scories tirées de (2') qui s'écrivent
A?•A^...A^ r, „ ,-^, "Il '
voici ce qu'on observe :
1 " M est réel positif et plus grand que | N |.
2" II désigne le produit des diviseurs (5) ('/ < — P)-
Si donc la série ( /j ') converge et si aucun des diviseurs (5) n'est plus petit que £, la série (4') convergera également. Voici donc comment on peut énoncer la condilion de convergence.
La série converge si l'expression
ne peut pas devenir plus petite que toute quantité donnée £ pour des valeurs entières et positives des [3 et entières (positives ou négatives) de y; c'est-à-dire si aucun des deux polygones convexes qui enveloppe, le premier le» a et -j- \' — 1, le second les « et — y — 1, ne contient l'origine; ou si toutes les quantités a ont leurs parties réelles de même signe et si aucune d'elles n'a sa partie réelle nulle.
Que ferons-nous alors s'il n'en est pas ainsi?
Supposons par exemple que k des quantités a aient leur partie réelle positive, et que n — k aient leur partie réelle négative ou nulle. Il arrivera alors que la série (4') restera convergente si l'on y annule les constantes A qui correspondent à un X dont la partie réelle est négative ou nulle, de sorte que ces séries ne nous dcjnneront plus la solution générale des équations proposées, mais une solution contenant seulement k constantes arbitraires.
Si on suppose que les équations données rentrent dans les équations de la Dynamique, nous avons vu que n est pair et fpie les a sont deux à deux égaux et de signe contraire.
Alors si A^ d'entre eux ont leur partie réelle positive, A' auront leur partie réelle négative et n — 2 A auront leur [)arlic réelle nulle. En prenant d'abord les cr. qui ont leur partie réelle positive, on obtiendra une solution particulière
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. SyS
conlenanl /: constantes arbitraires; on en obtiendra une seconde en prenant les X qui ont leur partie réelle négative.
Dans le cas où aucun des x n'a sa partie réelle nulle el en particulier si tous les a sont réels, on a d'ailleurs
Nous allons nous placer inainlenanl dans un cas 1res particulier. Supposons d'abord n = 2, de telle façon que les équations (i) se réduisent à
Supposons de plus que
La situation du syslènie dépend alors des trois quantités j, , x.^ el t ; on peut donc la représenter par la position d'un point dans l'espace; voici quel mode de représentation on peut adopter pour fixer les idées :
Les coordonnées rectangulaires du point représentatif seront e'' cos/, e'' sin^ et x-i. De cette façon :
i" à tout sjsléine de valeurs des trois quantités ari, x-i et t correspondra un point de l'espace ;
2" à tout point de l'espace correspondra un seul système de valeurs des quantités a7i, x^, cos^, sin/, et par conséquent une seule situali(]ii du svsiènie si l'on ne considère pas comme distinctes deux situations qui ne dillerent que parce que l a augmenté d'un certain nombre de périodes 27r;
3" si l'on fait varier /, (ai et x-^ restant constants) le point représentatif décrit une circonférence;
4" à la condition .ri = a^j i= o correspond le cercle ; =; o, x--^y-^ 1 ;
5" à la condition .i-, = — 00 correspond l'axe des ;.
A. toute solution des équations (i) correspondra une courbe décrite par le point représentatif. Si la solution est périodique, cette courbe est fermée.
Considérons donc une courbe fermée C correspondant à une solution périodique.
Formons les équations (2), (3), (2') et (3') relatives à cette solution périodique et imaginons que l'on calcule les quantités oc correspondantes.
Ces quantités sont au nombre de deux, et en vertu de la relation (6) elles sont égales et de signe contraire.
Doux cas peuvent se jn'ésenler : ou bien leur carré est négatif eL la soluliiin périodique esl stable; ou bien leur carré est positii et la solution est instable.
Plaçons-nous dans ce dernier cas et appelons + a et — a les deux valeurs de l'exposant a; nous pourrons supposer alors que a est réel positif.
Cela posé, les séries (4') seront développées suivant les puissances croissantes de Ae°" et de Be~*'; mais elles ne seront pas convergentes si A et B y entrent à la fois; elles le deviendront au contraire, si l'on y fait soit A = o, soit B = o.
Faisons d'abord A :=: o; alors les r; seront développés suivant les puissances de Be~°"; si donc / croît indéfiniment, tj, et rjo tendent simultanément vers zéro. Les solutions correspondantes peuvent s^appelev solulions asymptotiques; car pour f = -i- 00, les ri et par conséquent les P tendent vers zéro, ce qui veut dire que la solution asymptotique se rapproche asympiotiquement de la solution périodique considérée.
Si 1 on fait de même B = o, les rj sont développés suivant les puissances de Ae""; ils tendent donc vers zéro quand l tend vers — oo. Ce sont donc encore des solutions asymploliques.
Il y a donc deux séries de solutions asymptotiques, la première correspondant à f = + 00, la seconde à t^ — oo. Chacune d'elles contient une constante arbitraire, la première B, la seconde A.
A chacune de ces séries de solutions asymptotiques correspondra une série de courbes se rapprochant asymptotiquement de la courbe fermée C et qu'on pourra appeler courbes asymptotiques. L'ensemble de ces courbes asymptotiques formera une surface asymptotique. 11 y aura deux surfaces asymptotiques, la première correspondant à < = -f-oo, la seconde à < = — oo. Ces deux surfaces iront passer par la courbe fermée C.
Supposons que dans les équations (i) les X dépendent d'un paramètre \x et que les fonctions X soient développables suivant les puissances de ce paramètre.
Imaginons que pour fx:=o, les exposants caractéristiques a soient tous distincts de telle façon (jue ces exposants, étant définis par l'équation G(o!, fx) = o du paragraphe précédent, soient eux-mêmes développables suivant les puissances de {J-.
Supposons enfin qu'un ait, ainsi qu(! nous venons de le dire, annulé toutes les constantes A qui correspondent à un a dont la partie réelle est négative ou nulle.
Les séries (4') qui définissent les quantités rj,- dépendent alors de [j.. .le me
propose d'établir que ces séries peuvent être développées, non seulement suivant les puissances des A,- e^'', mais encore suivant les puissances de fx.
Considérons l'inverse de l'un des diviseurs (j) : (y y/ — i + — a,3 — ai)~'- Je dis que celte expression peut être développée suivant les puissances de [j..
Soient y.i, a,. . . . , a/, les k exposants caractéristiques dont la partie réelle est positive et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d'eux est développable suivant les puissances de y.. Soit se" la valeur tle a, pour p. =; o; nous pourrons prendre /j.,, assez petit pour que a,- diffère aussi peu que nous voudrons de a° quand j p- 1 < y-o- Soit alors k une quantité positive plus petite que la plus petite des parties réelles des k quantités a", a?, ...,«".; nous pourrons prendre ;j.o assez petit pour que, quand | fJ^ | < p-o) les k exposants a, , a.j, .... «/,. aient leur partie réelle plus grande que h.
La partie réelle de yy/ — i-^1x^i — a, sera a! irs plus grande que; k (si pi^" o), de sorte qu'on aura
I yv' — 1 -h Sap — Xj • h.
Ainsi si \[j-\ <,u,j, la fonction ( y y/ — i -\- ia(3 — a,)^' reste uniforme, continue,
finie et plus petite en valeur absolue que . •
Nous en conclurons d'après un théorème bien connu que cette fonction est développable suivant les puissances de p. et que les coefficients du développement
sont plus petits en valeur absolue que ceux du développement de ^-
11 est à remarquer que les nombres h et p.,, sont indépendants des entiers (3 et y.
11 y aurait exception dans le cas où ,3, serait nul. La partie réelle du diviseur (5) pourrait alors être plus petite que h et même être négative. Elle est égale en effet à la partie réelle de -3((3 qui est positive, moins la partie réelle de a,- qui est également positive et qui peut être plus grande que celle de 2a(3 si (3, est nul.
Supposons que la partie réelle de a,- reste plus petite qu'un certain nombre Ai tant que | p] < po- Alors si
la partie réelle de (5) est certainement plus grande que h; il ne peut donc y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels l'inégalité (7) n'a pas lieu.
H. p. - VII. 48
Supposons lu.iinlfuanl que la pailio imaginaire des quanlilés a,, a.j, . . . , ocf^ reste coiislanimenl plus pelile en valeur absolue (pi'un certain nombre positif /( 2 : si ri>n a alors
la partie imaginaire de (5) el j)ar conséquent son module sera encore plus grand que /i ; de telle sorte qu'il ne peut y avoir de difficnlt(j que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune des inégalités (7) et (8) u'a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont à aucune de ces inégalités sont en nombre fini .
D'après une hypothèse que nous avons faite plus haut, aucun deux ne s'annule pour les valeurs de [J- ([ue nous considérons; nous pouvons donc prendre /( et p.,, assez [letits pour cpie la valeur absolue de l'un quelconque d'entre eux reste plus grande que li quand ] p. | reste plus petit que p.,i-
Alors l'inverse d'un diviseur (5) quelconque est développable suivant les puissances de [j. el les coefficients du développement sont plus petits en valeur
absolue que ceux de Nous avons écrit plus haut :
ii^=i;Cvi?'Yi?'...-fiP"erV^.
D'après nos hypothèses, C peut être développé suivani les puissanres de jj. de telle sorte (]ue je puis poser
C = S E [Ji', 11/; = s E-x'-r,!?' r,'^= . . . Ti^" eT't'^ ■
Reprenons maintenant les équations (2") en y faisant
Les seconds membres des équations (i") seront alors des séries convergentes ordonnées selon kts puissances de p., de r/i, ri-,. ... et rj„.
On en tirera les r,, sous la forme de séries {[\") convergentes et ordonnées suivant les puissances de p., Ai e"'' , Aj e"-', .... A/, e*''.
Des équations (2') nous tirerions d'autre part les Y); sous la forme de séries (4') ordonnées suivant les puissances de /j., Ai e^'', A2 e*''. .... A< e"''. e'*'"', e~'''~'. Chacun des termes de (4') est plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4") et comme les séries (4") convergent, il en sera de même des séries (4)-
14. -^ Solutions asymptotiques des équations de la Dynamique. Reprenons les équations (i) du paragia|)li(' I I :
dXi ilV ,lv, r/F
et les hjpolhèses faites à leur sujet au début de ce paragraphe I I .
Nous avons vu dans ce paragraphe I I que ces équations admettent des solutions périodiques et nous pouvons en conclure que pourvu que l'un des exposants caractéristiques a correspondants soit réel, ces équations admettront aussi des solutions asymptotiques.
A la fin du paragraphe précédent, nous avons envisagé le cas où dans les équations (^i) dudit paragraphe 13, les seconds membres X; sont développables suivant les puissances de p., mais où les exposants caractéristiques restent distincts les uns des autres pour p. = o.
Dans le cas des équations (pii vont maintenant nous occuper, c'est-à-dire des équations (i) des paragraphes I I et 14, les seconds membres sont encore développables selon les puissances de p.; mais tous les exposants caractéristiques sont nuls pour p. 1= o.
Il en résulte un grand nombre de dilléreuces importantes.
En premier lieu les exposants caractéristiques a ne sont pas développables suivant les puissances de p, mais suivant celles de \ ;-t (c/. 5; 12). De même les fonctions que j'ai appelées <p,./( au début du paragraphe 13 (et c|ui, dans le cas particulier des équations de la Dynamique qui nous occup(; ici, ne sont autres que les fonctions S,; et T, du paragraphe 12) sont développables, non suivant les puissances de /j., mais suivant les puissances de y \i..
Alors dans les équations (2') du paragraphe 13 :
le second membre H, est développé suivant les puissances des v), de e'*~', e~'*^~' et de y/fjt. (et non pas de \x).
On en tirera les r;, sous la forme des séries obtenues au paragraphe précédent
et N et n seront développés suivant les puissances de \l \i..
38o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Un certain noiiihri" ilo ([ueslions su posent alors naiurelleiiienl :
1° Nous savons que N el H sont iléveloppubles suivant les puissances de y/fï;
N en esl-il de même du quotient '?
•r" S'il en est ainsi, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de \/jJ., des A/ 6°"'', de e'* ' et de e~"'''~' qui salisfoni formellement aux équations proposées; ces séries sont-elles convergentes?
3" Si elles ne sont pas convergentes, quel parti ])cul-on en tirer pour le calcul des solutions asjmptotiques ?
Je me propose de démontrer que l'on peut développer suivant les puissances de y/.p. et que par conséquent il existe des séries ordonnées suivant les puissances de y/;^., des A, e'^'', de e'* ' et de e"'* ' qui satisfont formellement aux équations (i). On pourrait en douter; en effet II est le produit d'un certain nombre des diviseurs (5) du paragraphe précédent. Tous ces diviseurs sont développables suivant les puissances de y'/ji; mais quelques-uns d'entre eux, ceux pour lesquels y est nul, s'annulent avec \/,a. Il peut donc arriver que II
s'annule avec y. et contienne en facteur une certaine puissance de y p.. Si alors
N N ne contenait pas celte môme puissance en facteur, le quotient ~ se développerait encore selon les puissances croissantes de \/(j., mais le développement
commencerait par des puissances négatives.
Je dis qu'il n'en est pas ainsi et que le développement de : ne contient que
des puissances positives de y/ p..
Voyons par quel mécanisme ces puissances négatives de y/p. disparaissent. Posons
et considérons les x et les y comme des fonctions des variables t el te.
Il importe avant d'aller plus loin de faire la remarque suivante : parmi les 2/1 exposants caractéristiques a, deux sont nuls el les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous ne conserverons que n — i au plus de ces exposants en convenant de regarder comme nuls les coefficients A, et les variables iv,- qui correspondent aux n + i exposants rejetés. Nous ne conserverons que ceux de ces exposants dont la partie réelle est positive.
Cela posé, les équations (i) deviennent
rixi ■^ dx, f/F
, . dXi x^ dx, <tV
dt ^ f/(r< dxi
Cherclions, en parlant de ces équations, à développer les x, et les j', — n, < suivant les puissances croissantes de y p. et des w de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de l. Nous pouvons écrire
a<- = «i \JV- + ctlix-h. ..= :£.y4iJ.-,
car nous avons vu au paragraphe 12 comment on peut développer les exposants caractéristiques suivant les puissances de y/p.. Ecrivons d'autre part :
Xi = x" -H .r' y ,a -+-...= Zxl ix- ,
/j j,— nit=y«-i-rl v/;--- -+-■••= Sr/;,a%
les x" et les y'/ étant des fonctions de / et des w, périodiques par rapport à t et dévoloppables suivant les puissances de w.
Si dans les équations (2) et (3) nous substituons ces valeurs à la place dea^, des Xi et des yi. les deux membres de ces équations seront développés suivani les puissances de \'p.
Egalons dans les deux membres des équations (2) les coefficients de p " , el
r dans les deux membres des équations (3) les coefficients de p.', nous obtiendrons les équations suivantes :
\ dt ^ 1' '^ ,/w^ ' j^ dyf dyl - *
dwk '' ^dxfdx% "'
où Zf et Tf ne dépendent que de x°, x] . .... .rf ' , i", i/, ..., r'I"' ■
Convenons, comme nous l'avons fait plus haut, de représenter par [U] la valeur moyenne de U, si U est une fonction périodique de t.
Desi^qualions [.]) nous pourrons ;ilors dôduirc les suivantes :
Supposons mainlenanl qu'un calcul préalable nous ail fait conuaitre :
.Vf, xj. ..., xi'r\ xi;-[.c'i\ et .)•;', y}, ..., y''r\ y"r'~lrr']-
Les équations (5) vont nous permellre de calculer [-yf] et [,>/'] <^l par conséquent :rf et .rf ' . Les équations (4) nous permettront ensuite de déterminer x''*^ — [^f*] ^^ y'i — [jf]' ^^ sorte que ce procédé nou« fournira par récurrence tous les coefficients des développements de .f, et de^),-.
La seule difficulté est la détermination de [^,''] et [j','"' ] par les équations (5).
Les fondions [^-f] et [j'f'^' ] sont développées suivant les puissances croissantes des \v et nous allons calculer les divers tenues do ces développements en commençant par les termes du degré le moins élevé.
Pour cela nous allons reprendre les notations du paragraphe 12, c'est-à-dire que nous allons poser
dxf dx%
(pour les valeurs nulles de w).
Si alors nous appelons ?, et -n, les coefficients de w'"'w".!' . . . iv"!:'f' dans [.ïf ] et [j'f~' ]. nous aurons pour déterminer ces coefficients les équations suivantes :
(6) y^ba r./, - S ?,• = À,-, V C", U - S r,, = p.;.
Dans ces éfiualions ((i) À, et |j., sont des (jiiantitcs connues, parce qu'elles ne dépendent que de
xf, ./■; X';-'. x';—[xi;] et y',\ .)/, .... ri-'-, .ir' — l.ir'J-
ou des termes de |''') et [j'' '] dont le degré par rapport aux n' est plus petit que
De plus nous avons posé pour aliré^cr
S = //) , ■/. 1 -f- /H2 xl -I- . . . -I- w„-i 2,', I . Nous avons doue pour le calcul des coefficients ^, et r), un système d'équations
linéaires. Il ne pourrait y avoir de ditlicullé que si le délerminaiit de ces équations était nul; or ce déterminant est 0£;al à
SnS^-(al)^][S^-(a;)^l...[S=-(a^,p]-
Il ne pourrait s annuler que pour
c est-à-dire pour
/n I -I- m- ---...-{- iH„—i = o ou I .
On ne pourrait donc renconlier de difficulté que dans le calcul des termes du degré zéro ou i par rapport aux n'.
Mais nous n'avons pas à revenir sur le calcul de ces termes; en effet nous avons appris à calculer les termes indépendants des w dans le paragraphe 1 1 et les coefficients de ivi, u'j, . . ., iv„-) dans le paragraphe 12.
Les ternies indépendants des w ne sont en effet antre chose que les séries (8) du paragrapiic II et les coeflicients de H|, (To. .... iVn-i ne sont autre chose que les séries S, et T, du paragraphe 12.
II me reste à dire un mot des premières approximations.
Nous donnerons aux xf des valeurs constantes qui ne sont autres que celles que nous avons désignées ainsi au paragraphe 1 1.
Nous aurons alors les équations suivantes :
'fr!' 'Ix} >/y} v' I dvf v" '^'- F»
Dans F„ qui ne dépend que des X/, ces quantités doivent cire remplacées par x" . Dans F, les x/ sont remplacés par x^ et les r, par /;,/. F, devient alors une fonction périodique de / dont la période est T. Nous désignerons par i} comme dans les paragraphes II cl 12 la valeur moyenne de cette fonction périodique Fi ; <li est alors une fonction périodique et de période 2n par rapport aux j'".
Les deux premières équations (7) montrent que les y" et les x' ne dépendent que des iw En égalant dans les deux dernières équations (7) les valeurs moyennes des deux membres, il vient
dv" dx^ ilh
(i,) ^=<*-*;Mr, = -C.*-*. "'i^'^'d^, = djrr
Ces équations (8) doivent servir à délerniiiier les i ," el les ./,' en fonctions dos n'. Peut-on satisteiire à ces équations en substituant à la place des r° et des j-v' des séries développées suivant les puissances des w ?
Pour nous en rendre compte envisageons les équations différentielles suivantes :
Ces équations diUérentielles où les fonctions inconnues sont les y" et les x^ admettront une solulion périodique
xj = o, r" = ra/,
CT, étant la quantité désignée ainsi au paragraphe 1 1.
Les exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont précisément les quantités -xl- Parmi ces quantités nous sommes convenus de ne conserver que celles dont la partie réelle est positive. Les équations (9) admettent un système de solutions asjmptoliques et il est aisé de voir que ces solutions se présentent sous la forme de séries développées suivant les puissances des w. Ces séries satisferont alors aux équations (8). Ces équations peuvent donc être résolues.
Les x- et les y^ étant ainsi déterminés, le reste du calcul ne présente plus comme nous l'avons vu aucune difficulté. Il existe donc des séries ordonnées suivant les puissances de y//, des ir el de e-'*' ' et qui satisfont formellement aux équations ( 1 ).
Cela prouve que le développement de ne débute jamais par une puissance
négative de \/p..
Malheureusement les séries ainsi obtenues ne sont pas convergentes.
Soil en effet ^ Si y n'est pas nul, cette expression est déve-
loppable suivant les puissances de \/p-; mais le ravon de convergence de la
série ainsi obtenue tend vers zéro quand ^'7, tend vers zéro.
Si ilonc on développe les diverses quantités . suivant les puissances de y/j.
on pourra toujours, parmi ces quantités, en trouver une infinité pour lesquelles le rayon de convergence du dévelop|)cment est aussi petit qu'on le veut.
On pourrait encore espérer, quelque invraisemblable que cela puisse paraître, qu'il n'en est pas de même pour les développements des diverses
quantités r ; mais nous verrons dans la suite d'une façon rigoureuse qu'il n'en
est pas ainsi en général; il faut donc renoncer à ce faible espoir et conclure que les séries que nous venons de former soni divergentes.
Mais quoiqu'elles soient divergentes ne peut-on en tirer quelque parti?
Considérons d'abord la série suivante qui est plus simple que celle que nous avons en vue :
Celle série converge uniformémeul c[uand jx reste positif et que w reste plus petit en valeur absolue qu'un certain nombre positif i\'„ plus petit que i. De
même la série
I r-f/'V(iv, p.) -^ nP-^w" p\ i/[xl' ~~ Z^ (i -t- n;i)/'
converge uniformément.
Si maintenant l'on cherche à développer F((V', /-».) suivant les puissances de p., la série à laquelle on est conduit
(lo) s (V ( — rt )/' ;ji/'
ne converge pas. Si dans cette série on néglige tous les termes où l'exposant
de p. est supérieur à/>, on obtient une certaine fonction 4>^,(tv, p.). Il est aisé de
,, . F(u', , ut) — <!>/,(' »■, [j.) , j . 1
voir que 1 expression p-' — tend vers zéro quand fj. tenu vers zcro
par valeurs positives, de sorte que la série (lo) représente asyinptoliquement la fonction F((V', '[x) pour les petites valeurs de ix de la même manière que la série de Stirling représente asymploliquement la fonction eulérienne pour les grandes valeurs de x.
Les séries divergentes que nous avons appris à former dans le présent paragraphe sont tout à fait analogues à la série (lo).
Considérons en effet l'une des séries
(lo') 2g«'P,'«'l!>...w|'-eT'v'=î = F(v/tJi, it^i, »■'., ..., »'*, t)
et
ces séries sont uniforméiiiunt convergentes puur\u que les ce restent inférieurs
en valeur absolue à certaines limites et que y,'/ji. reste réel.
Si l'on développe suivanl les puissances de \/,a. les séries (lo') sonl divergentes ainsi que nous l'avons dit. Supposons qu'on néglige dans le doveloppenienl les leruies où l'exposant de \ [j. est supérieur à y*, on obtiendra nnc certaine fcuiciion 4>/,(\/fi, »•(, ii-j, . . ., nv,, t) qui sera développable suivant les puissances des iv, e^' ' et qui sera un polynôme de degré/; en y p..
On voit alors que l'expression tend vers zéro ipiaud [j. lend vers zéro
par valeurs positives, et cela quelque grand que soily;.
En ellel si l'on désigne par 11^, l'ensemble des termes du développement
de où l'exposant de \ ij. est au plus égal à p, on a
^(;;-ii.)-i'.4.....'^^«T'v'-
et la série du second membre est uniforincrneni convergente et tous ses termes tendent vers zéro quand [x tend vers zéro.
On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans le présent paragraphe 14 représentent les solutions asjmptoliques pour les petites valeurs de [I- de la même manière que la série de Stirling représente les fonctions eulériennes.
On s'en rendra d'ailleurs mieux compte de la manière suivante; supposons deux degrés de liberté seulement ])our fixer les idées; alors nous ne conserverons plus qu'une seule des quantités w et nous pourrons écrire nos équations sous la forme suivante :
>l.r, (Ixi dV ilvi fh-i dF . '
i/t dw dyi dl dw dxi
en supprimant les indices d(i a et de ir devenus inutiles.
Nous savons que a est développable suivanl les puissances impaires de \j [j. cl par conséquent a- suivanl les puissances de /j. ; inversement \i. est développable suivant les puissances de a- ; nous pouvons remplacer // par ce développement de sorte que F sera dévelo|)pé suivant les puissances de «-. l'our a = o, F se réduit à Fp qui ne dépend que de a^i el de x-,.
Soit
la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au
paragraphe 12 :
a:/= 9,(0-4-5., yi=\i{.<-)-^-f\h
nos équations deviendront
(l 0 —, h xii' -r- = — /, — ; cmv — — = H,-.
^ ' dt dw ' dt dw
Z-i et H,- sont développés suivant les puissances des H,, des r;, et de a-'; et les coefficients sont des fonctions périodiques de t.
Pour « = G, -j — et par conséquent Z,- s'annulent; donc Z, est divisible parot-
dyi
et je puis poser
x'-X, représentant l'ensemble des termes du premier degré par rapport aux ; et aux r), et y.-'K.[ représentant l'ensemble des termes de degré supérieur.
De même, quand a est nul, -y-^ et par conséquent H, ne dépendent plus que des Ci et non des ru.
Je puis donc poser
Il,= V,-H Y;+a'Q;+a^Q;,
Y,+ :z'-Q, représentant l'ensemlde des termes du premier degré par rapport aux Ç et ri, pendant que Y,' + a-Q,' représente l'ensemble des termes de degré supérieur au premier. Je suppose en outre que Y, et Y) ne dépendent que de Ç, et de £2.
Posons
Y, deviendra divisible par a et Y- par y.'-, de sorte que je pourrai poser Y; + a- Q; = :ili, y; + a- QJ = -x- Z\
et que nos équations deviendront
, , dX,i d'C^i d-r\i d-r\i
(12) -; han'-T— = a^i+a^-,, — — -+-aiv-r— = y.Z,-t-a-Z,.
dt dw dt dw
Considérons les équations
(i3) rfT^"^" -dl^''^'-
Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues Ç, et r;,. Elles ne différent pas des équations (2) du paragraphe 12, sinon parce que ^, et £2 y sont remplacés par aÇi et aÇ,. D'après ce que nous avons vu au paragraphe 12, l'équation qui définit les exposants caractéristiques admet <juatre racines, l'une égale à + a, l'autre à — « et les deux autres à zéro.
A la première racine, c'esl-ii-dirc à la racine -|- a, correspondra une solution des équations (2) du paragraphe 12 que nous avons appris à former dans ce paragraphe 12 et que nous avons écrite ainsi :
?, = e*'S;, •ri,= e»'T,.
.le rappelle que S," est nul et par consiiqueut (juo S, est divisible par c.
A la Seconde racine — a correspondra de même une autre solution des équations (2) et nous l'écrirons
?,= e-^'S;, ru=e-=<'T;.
Enfin aux deux racines zéro, correspondront deux solutions des équations (2) que nous écrirons
li=S"'-^-a.fi"i, ïii=T"'-+-=(/T;.
T; , TJ, T;', S- , S", S" sont des fonctions périodiques de ^, comme S, et T,. De plus S- , S", S-' seront comme S,- divisibles par a. Posons alors
a;i=s,Oi-+- s'iOî-i- s"|03+ s';'6v,
Ai= s.. 61-f- S', 6, -4- S"0,,-i- S'ÔOi,
■0, = T, e, -h t; 0, -+- t; Oj + t';' o.,,
7)., = To Oi .-+- T', 0, + T'; O3 + Tî Ou
Les fonctions 0, ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des fonctions rjj du paragraphe 13. Les équations (12) deviennent alors
— T- -^ 3.W —r— = X U', -+- aO;, — ; 1- 2(1'—; — = aO',.
r/l dw ' (Il dw
01, ©-j, 0;, et ©i sont des fonctions développées suivant les puissances de Oj, On, 5j, Oj et a dont tous les termes sont du deuxième degré au moins par rapport aux 0, et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de t. De plus les 0 doivent être des fonctions périodiques de t et les termes du premier degré en w dans Oi, 0.^, 0., et 9,, doivent se réduire à \v, o, o et o.
Ces équations (i4) sont analogues aux équations (a') du paragraphe 13.
Gela posé, soit <I> une fonction (jui, de même qui' ©i, ©•., ©:i et ©,■, , soit développée suivant les puissances de 0,, 0-.,, 0;., 0,,, de a, e"'~' et e^" ' et qui soit telle que chacun de s(!S coefficients soit réel positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient du terme correspondant dans ©,, ©o, ©3 et ©, ; tous
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. SSg
les termes de 4» seront d'ailleurs, comme ceux des 0,, du second degré au moins par rapport aux 0.
Observons que le nombre — - \- p (où « est entier positif, négatif ou nul, et
où p est entier positif et au moins égal à i) est toujours plus grand en valeur absolue que i, quels que soient d'ailleurs «, p et a. Formons alors les équations
(i5) fi, = w + 'i>, Oj = <[>, o, = Oi+ci), ei = 'P
qui sont analogues aux équations (2") du paragraphe 13.
Des équations (i4) on peut tirer les 0 sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de w et de e-'*^' et qui sont analogues aux séries (4') du paragraphe 13. Des équations (iS) on peut tirer les 0 sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des mêmes variables et analogues aux séries (4") du paragraphe 13. Chacun des termes de ces dernières séries est positif et plus grand en valeur absolue que le terme correspondant des premières séries; si donc elles convergent, il en est de même des séries tirées des équations (i4)-
Or il est aisé de voir que l'on peut trouver un nombre it'„ indépendant de a, tel que si | iv | <;n'o, les séries tirées de (i5) corivergent.
Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances de iv et tirées de(i4) convergent uniformément quelque petit que soit a et par conséquent quelque petit que soit ,'j., ainsi que je l'ai annoncé plus haut.
Nous possédons maintenant les 0 sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de (v et de e-" ' ; les coofficienis sont des fonctions connues de y.. Si l'on développe chacun de ces coefficients suivant les puissances de a, on obtiendra les 0 développés suivant les puissances de a. Les séries ainsi obtenues sont divergentes, comme nous l'avons vu plus haut; soit néanmoins
a2e?-i-...-i- -ji/'Hi; -h...
ces séries.
Posons
= e, -ne,, n.,= (
Posons
(),= 6,!i-i-af),i
-O2. 113= e.-i-Oi, II, = e,.
z^ 6? -I- ... -H xl' 6/' -h 2/' ui
en égalant 0, aux p ■+- 1 premiers termes de la série (16) plus un terme complémentaire aPu,-.
Sgo SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Si dans II,- ou remplace les 0, par leurs (lovel()|)penients (17), les II, peuvent se développer suivant les puissances de a et l'on peut écrire
11,= e," -1- X tv -4- x-; e;' -I- ... -I- a/'-> e^- ' + «/' u,,
les 0* étant indépendants de a pendant que U, est développable suivant les puissances de x.
On aura alors les équations
{ dl r/iv
dt +"
dw; doi;-'^ d> -^"' d.v
et ensuite
, . dui dm d^
(19) -37+°'"'-; h an'-j— = aU,-.
^ ^' dt dw div
Voici quelle est la forme de la fonction U, ; les quantités Of peuvent être regardées comme des fonctions connues de t et de w, définies par les équations (18) et par l'équation (20) que j'écrirai plus loin; pendant que les u; restent les fonctions inconnues. Alors U, est une fonction développée suivant les puissances de iv, de e-'* ', de a et des m,-. De plus tout terme du ^y'"'"' degré par rapport aux M; est au moins du degré /?(<jr — 1) par rapport à a. Soit U° ce que devieni U, quand on y annule a et les k, ; on aura
.le puis ensuite, en posant
puis
V, = U',-f/,. V,= U',-t-(<,, V,= IJ',-M,, V»=U'4,
mettre les équations (ly) sous la forme
!dus du\ ., dui duo .,
—, — t-xw— ; aUi = ocVi, —r -^ aw —, l-«(/2=0(V2,
dt dw dt dw
du^ du^, ,, du; du,, ,,
—, h X tv -; a Mi = a Vj, —, h et iv -;— = a V4.
dt dw ' dt dw
On voit alors que les V,- ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins par rapport à w et aux ?/,,•.
En edet les 0, sont divisibles par w et se réduisent à w ou à zéro quand on j
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. Sgi
supprime les lermes de deijré supérieur' :iii premier en »'. Il en résulte d'iiboid que Of est divisible par w'-. D'autre part le second membre de Féqualion (i^) ne contiendra que des terme-, du premier degré au moins par rapport à tv et a,. Donc 0, ne contient que des termes du deuxième degré au moins par rapport à w et aux w,. Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui peuvent subsister dans U|, Uo, Un et LJ-, se réduisent respectivement à «,, — U2, II:, et zéro.
D'ailleurs tv-r-^est divisible par ir- : donc les V, ne contieuneni (lue des termes du deuxième degré au moins. c. q. f. d.
Des équations (21) on peut tirer les Uj sous la forme de séries dévelofqjées suivant les puissances de ir et dee~" '. En appliquant à ces équations le même raisonnement qu'aux équations (i4) on peut démontrer que ces séries convergent quand | (v | < n',, et que la convergence reste uniforme quelque petit que soit a.
n. j , 1 . • • . diii el-ui
en est de même pour les séries qui représentent — ;— ) — ; — j etc. ' ' ' div aw-
II résulte de là qu'on peut assigner une limile supérieure indépendante de a,
. thii '1- "i II
a Ui, a -7— j — ; — ) etc., pourvu que n' < t^'natf (/w- ' 111^
Mais je veux démontrer maintenant que cela a encore lieu |)our toutes les
valeurs positives de w.
Reprenons les équations
diij r/ui ,,,
U; peut être regardée comme une série développée suivant les puissances de y. et des M,- et dont les coefficients sont des fonctions de t et de iv. ,Ie dis que cette série reste con\ergen[e quels que soient / el (\pour\u que a et les «,- soient assez petits. En effet elle ne pourrait cesser de converger que si la fonction F(a7i, a?2, J)'i, /■.') cessait d'êlre développable suivant les puissances de v-, des c, et des v\ quand on y remplace Xi par
xf -¥■ xx} -i- ix^xf-h. . .-h xP+ix'/-*-^ ■+■ aP+iVi et j'i par
nit-hyj' -f- «j/ -)- a-yf-\-. . .+ aP y'! ■+■ aP v'i,
ou, ce qui revient au mémo, si la fonction F pour une valeur quelconque de t ou de w (c'est-à-dire pour un système quelconque de valeurs de t, de rj et
Sgs SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
de r°) cessait d'être développable suivant les puissances de x, — x" , et de Yi — f^it — .>■"■ O'" '' *^^^ manifeste qu'il n'en est pas ainsi.
Je puis donc toujours trouver une fonction <I' développée suivant les puissances de X et des w,, mais dont les coeflicienls sont des constantes au lieu d'être fonctions de t et de w comme ceux de U- ; et de plus m'arranger de telle sorte que le coefficient d'un terme quelconque de «t soit réel positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant de U/(« = i , 2, 3, 4)) au moins pour les valeurs de t et de w que j'aurai à considérer.
J'iiioulerai que, d'après la forme particulière des fonctions U| , je puis trouver deux nombres réels positifs M et (3 tels que la fouclion <I> satisfasse à la condition que je viens d'énoncer si je prends
I — 'flot. — [j3.I' (l(i^- ll-i + U3 -I- tli )
Si je considère les valeurs de u' positives et inférieures à une certaine limite W, je devrai prendre, pour satisfaire là cette condition, des nombres M et (3 d'autant plus grands que W sera plus grand; mais tant que W sera fini, les nombres M et (3 seront eux-mêmes finis.
Soit maintenant ti'i une valeur positive de ir plus petite que n'„. D'après ce que nous avons vu plus haut, il est possible d'assigner pour ir = ivi une limite supérieure à W), ;<.., u^ et «., ; soit a„ cette limite, on aura donc
I Ui ! < «0 pour IV = ivi.
Soit maintenant u' une fonction définie par les conditions suivantes :
du' du' a M (.'!«' -F I )
— T- -hxw-j- = zr , , u = Hu pour »' = ii'i.
at (l\v I — pa — 4 JJ "■' w
On aura manifestement (') pour toutes les valeurs de t et de w :
I ui j < u (;■ = I, 2, 3, 4).
Or on trouve sans peine :
I — 3a -h fta/' , \-\- l,u 3 «'' , / X 1 w*
log •-—-{u — Ut,) — \o%--
et pour (z ;= o, on tiouve
ce qui montre que ««' reste fini quand a. tend vers zéro.
(') Cette propriété se trouve démontrée dans Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, § llô, p. 37.3 i 378. [J. L.].
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. SgS
Nous devons en conclure que les quantités «, restent également finies quand a lend vers zéro.
Il résulte de là que la série 0°+ aO,' + a-0; + . . . représente la fonction 0, asymptotiquement (c'est-à-dire à la façon de la série de Stirling) ou en
0,— 0,»— 7.6,' — -x'-tif-
tend vers zéro
d'autres termes que l'expression
avec a. En efTet cette expression est égale à a(9f-|- Uj) et nous venons de voii que Of + M, reste fini quand a tend vers zéro.
Mais ce n'est pas tout; je dis que -j-^ reste fini quand a tend vers zéro.
iVous avons en effet
/'/«,\ d ('^"i\ /"'"A v "'L'! (lin f.
'\dw ) dw\(/iv ) '\i/u-/~ ^ i/u/, iàv I
çl I dm
dt^
dw
-~ et -T-^ sont des fonctions de t. de (r, de a et des m,; mais d'après ce que duk dw ' r -1
nous venons de voir, nous pouvons assigner aux ui des limites supérieures ; nous
pourrons donc en assigner également aux -: — et aux -j-^ • bupposons par exemple que l'on ait
dui
ilVi'i
B pour II' < W,
A et B étant deux nombres positifs.
D'autre part, nous savons qu'on peut assigner une limite à -^' pour iv^iv Supposons par exemple que l'on ait
du i
dn
< ii'o
pour IV = ivi,
ii[, étant un nombre positif. Soit ensuite ii.' une fonction délinie comme il suit :
— ; 1- -xw—r- = a!< (4 A -h vV ) -I- 2 IJ,
dl dw ^ ' '
pour w = w,.
On aura manifestement
dui
dw
Or on voit sans peine que ;/' ne dépend que de w et satisfait à l'équation
(,.4^ =;<74A-{-\V) + li.
dw
3ç)4 SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS
Donc n' est Uni: ilonc -7—^ reste liiiit^ quaml x icnd vers z(^ro. Donc on a asymplotiijiwmenl (^en cnlimilanl ce mot an inùine sens que plus haut) :
Mi M," //(!,' (/()?
(.)n iJéuioulrerail de mcnie que l'on a asymptotiquenient :
lit ~~ tit dt dt- ■"'' ihv- " dw- dw"- dn- "^
Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :
Les séries
xf ■+■ \J \s. x] -I- xi..!-} + . . . . Hji -y- v," -¥- v/p^.K/ -t- \'-yl -I- . . .
définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte qu'on a asymptotiquenient :
,(•,■ = .r," -I- \j\}. x] + xxx'j -^ . . .. r,= /(,? -I- ) " -)- v';i r' -I- ;J..rV - . . .
De plus, si D est un signe quelconque de dillérentiation, c'est-à-dire si l'on |)Ose
*"*-^ "" dti«d^v'^d»^':r...,lw>,;' ou aura encore asYmptotiquement :
I ) y, = 1.) ( rti / + r," ) -t- \'\>. 1 17/ -(- ;j. lH-,° -I- . . . .
En ce <|ui concerce l'élude des séries analogues à celles de Stirling, je renverrai au paragraphe 1 d'un Mémoire que j'ai publié dans les Acta iMalheinatica (t.8, p. 295)(^).
(J^twres de II. f'oiiicuré, t. I, p. 390.
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. SgS
