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466 LES FONCTIONS FUCHSIENNES KT I.'aRITHMÉTIQIË.

L;i loniie quadratique F sera inaltérée ])ar certaines substitut um-. linéaires fie cléterniinaul i. que nous appellerons, pour employei' une expression consacrée par rusai;e, trar>sJi>rniatio/is semblables de F.

A toute transformation semblable de F correspondra une transformation semblable de <I>.

Si en effet S est une tr.mslormalion xiujjlable de <!•, T^' ST.sera une transformation siMublable de ¥.

Ainsi, ;i tout groupe discontinu de transformations semblables de F correspondra un i^roupe de transformations semblables de <I>, et par conséquent un groupe fuchsien; et réciproquement.

Supposons que F ait ses coefficients entiers; parmi les tnuisformations semblables de F nous distinguerons celles dont les coefficients sont entiers. Elles toruient un giou|)e disconliiui qui a (b'jà altir»' lattentioii de ncuidireuv aritlimiliciens désireux de parcourir la voie qua ouverte iM. Hermite.

A ce grotqie discontinu correspondia donc un i;rou|)e fuclisien et par consécjuent un système de fonction^ fuclisiennes. iJe pareilles fonctions lucb^iennes pourront s'appeler fonctions fuclisiennes arithmétiques [Cf. Comptes rendus des Sessions de l'Association française jiour l'Ava/uemc/it des Sciences, t. X, p. i32-i38, i(> avril iNSi. et Comptes rendus de l'Académie des Sciences, i\ole du ■>!) mars i88() ( ' j].

Le but du présent travail est l'étude de ces fonctions fuclisiennes aritbmétiques et de leurs applications à la tbéorie des nombres.

Je me propose en particulier d'établir que ces lonctions admettent un théorème qui |i(^ui ('irc regardé comme la généralisation du théorème d'a<ldili(iu des l(Uiilions (dliptiques, ce cpii ne parait pas a\iiii- lieu |Mim' les lonctions luchsiennes ordinaires.

Pour compléter le système de définitions qui me s('ront nécessaires dans la suite, je vais rappeler ce qu'cui doit entendre par indice d'un sous-groupe.

On |)eut lron\erdans le grou|)e principal un certain nondjre de substitutions

telle> que toute suli-^l il ul nui du groupe [irincipal puisse se mettre d une manière et d'une seule simi> la forme

Tj étant une substitution du sous-groupe et Sa une substitulion du système [\). (') Ce Tome, p. 64. N. E. N.

LES FOXCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUK. 467

Le nombre des substitutions de ce système (qui peut d'ailleurs être in(ini) est l'indice du sous-gnjujje.

L^c groupe coni/iiiin h deux groupes Ci et G' est le groupe toiiiii'' de loules les sidjstitutions communes ;i G et à (î'.

Deux groupes sont cominciisiirnhfes ([uand leur giou|ie i(uiiuiun esl pour cliaciiii d'eux un sous-groiipe d'iadice liai.

Ou di'liiiiiMit i\i' luèuie le groupe l'onimun h Irois groupes ou la roiumcusuraliilih' de trois groupes.

Voici mainleuani (|uelques pi-oposit ions qu'on peut (h'dnire luiiui'dialeiuenl de ces délinitions.

1° Soient G et G' deux griuqies quelconques, (] leur groupe eiuuuiuii : soit g un soiis-groupi' d' indice II m de ( i : soil r le i;r(Mipc coiumiiii il i,' et à ( 1' ; c sera un sous-groupe de ( '■ : p' dis ipie ce sera un soiis-gr(Mipc d'iiulii'e lini.

Soit // lindici' du sous-groiijie g.

Soient

S,, So. .... s„

/( sui)s| iiul ions eon\enal)leinciit clioisies dans le groupe (i. Toute substitution de G [)ouria se niellre sous la lornie

T/S/i. (k = i,i, ..., nu

T/ étant une substitution de g.

Nous pourrons toujours supposer que S| se rétluit ii la substitution iilentique

Formons le Tableau des substitutions de C, c'est-à-dire des substitutions communes à (t et à G'. Nous pourrons les classer en /; classes. Cbacune d'elles peut, en ciVet, se jncttrc sous la forme T/Sa et /.' peut prendre n valeurs diirérentes. Il peut arriver toutefois (pi'une ou plusieurs des classes ainsi définies ne contienne aucune substitution.

Soient

t;, t;, ..., t;, ..., à rinfuii,

les siil)Stituti(Uis de la première classe qui corrcspomi au cas de /, = i et de

S/; = Si = I.

Ce seront, par définition, les substitutions du sons-groupe c. Nous pourrons supposer

|68 LES FONCTIONS Fl'CUSIENNES F.T I-'aRITHMÉTIQUE.

Soieul iiKiialcuaiit

les Mili>l lliilldii-. (le la seconde classe.

Je ilis (jiu; loiiics ces subslilutions poiirronL se iiietire sous la forme

t;t',' So,

T, étant une substitution de la pieniière classe, c'est-à-dire du i;rou|)e c. Je dis que Ida aura j)ar exeuiple

T, appartenant à c; cela revient à dire que

TÎTV

appartient à c. En elTct, T"- el T'| appartenant par hypothèse à g, il en est de même de T'-T"~' ; de plus TJ Sa el T', S, appartenant à G', il en sera encore de môme de

Celte dernière substitution, laisaul partie à la fois de g' el de G', fera partie du groupe commun c.

Ainsi le Talileau des substitutions du groiqie C réparties en ii classes pourra s'écrire

T';s2, t;t'; s,, ..., t',t'; s,, T7S3, T;ri' S3, ..., v,T'; s.„

(juelques-unes des classes pouvant manquer.

Par conséquent l'indice de c par rapport à C esl au plus ('i;al à l'indice de g' par rapport à G.

a" Si g et g' sont deux sous-j^roupes d'indice fini de G et de G', leur ijroupc commun sera iin groupe d'indice fini par rapport au groupe commun de(l et de G'.

Cette pro)iosilion se déduit immédialement de la précédente.

,')" Si g el g' sont deux sous-groupes d'indice fini jiar lapport à un miwue i;r(]U])e (i. leur groiqie commun sera encore un sous-ginupe d indice fini de G.

'\" .Si deux groupes G el (V sont commensurables à un même troisième G", ils seront commensurables enire eux, el les trois groupes seront encore commensurables entre eux.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I.' ARITHMÉTIQUE. 4^9

Soient en elïel C| , C-j, C3 les groupes coiiunims, respectivement à G' et à G", à G" et à G, et enfin à G et à G'.

Soit enfin c le groupe comniiiii aux trois groupes G, G' et G"; c sera «'videininent aussi le groupe commun à deux quelconques des trois groupes C|, C2 et C3.

Par hypothèse, les indices de C, \y.\v rapport à G' et à G", el de Cj |)ar rapport à G et à G", sont linis.

.le dis que c est un sous-groupe d'indice fini de G"; c'est en etl'et le groupe commun à G, el à Co, sous-groupes d'indice fini de G".

Je dis également que c est un sous-groupe d'indice fini de (i' : en eUel, c est le gron|)e romuiuii à G' et à C2 ; Co est un sous-groupi' d'indice fiai de G". Donc l'indice de c par rapport au groupe couimun à G' 01 à G", c'est-ii-ilirc par lapporl à C|,esl fini. Or l'indice de (], par rapport à ( 1' est lui-mèuu^ fini. iJonc l'indice de c par rajipoil à G' est encore fini.

Rien ne distingue d'ailleurs (i de G'. Donc I'ukIicc de c |)ar rapjiort aux trois groupes G, G' et G" est fini ; donc les trois groupes sont connnensui'ables entre eux. c. q. f. n.

C3 C(inli'U,uil r aiiiM i''\ ideiiuuent un indice fini par rapport à G et :i G'; d'dù il snii (pie ces deux derniers groupes sont aussi coiiimensiirahles entre eux.