I. — Notations et définitions

Dans If ÎNItimoire qui va suivre, pX qui a pour i)l)|ol l'cludc arithmétique des timctions luclisieanes, nous tarons usage ilun syslènie abrégé de notations qui a déjà été assez souvent employé.

ÎNons désignerons une subsliuition liix'aire quelconque p,ir une seule lettre.

\ iuM soit

Considérons une sulistitulion linéaire |iortant sur ces trois \ariables et définie par le système de neul coellicients

fl

Nous désignei'uns par exemple cette substitution jiar la lettre S.

Alors la notation

F. S désignera la lorme

F(ai.r -^ b^y -^ CiZ, a^x -r- b,}- -h Co-, a^x -+■ b^y + c-iZ). Gomme F. S sera aussi une l'orme homogène en x. y, ':, nous pourrons lui

(') Terminé le iN mars 1887

464 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LAIIITIIMÉTIQIJE.

apnliqiirr iinr aiilre siilisliliil iiiri linéaire

a\ b\ c\ a\ b, cL

\nii* nhlienrlrons iiinsi la forii

"«1 ( a\ j- -+- b\ y + c\ z ) -^ ù,{a'^a7 ^ b'„y -^ c',3) -h Ci(a', x-~b\y^ r\z). a:,(a\ X ^ h\ y -^ c\z) + b.i{a'.tX -^ b'.^y -\- c',z) -{- Ci{a\x -\- b\y + c'j- ), a3{a\x ^ b\y -^ c\z)->r bsla'^x + b'^y + c',z) -i- Csia'^x -+- b\ y -^ c\ z y,

que lions désignerons par la notation

ou plus simplement

Cela délinit en même temps la sujjstilution SS' et montre que l'on a

F(SS') = (FS)S'.

INous allons considérer en |)arl iciilier la forme (juadratique

dépendant des trois variables iud('|i(iidanles \, \ et Z et les transformées de

cette forme quadratique par diverses subslitulions linéaires S. Il est aisé de

trouver toutes les substitutions linéaires S qui u'allèient pas <ï>, c'est-à-dire qui

sont telles que

Mais il ciinvient ilabord de distinguer ces substitutions en deux sortes. Une transformalicui qui n'allère ])as une foniic (piadratiqiie peut s'écrire

"i ^1 fi

«3 Ih C3

Formons l'équation en S. du troisième degré

«-3 ^3 Ci—'è

cette équation aura une lacine égale à + i, ou une racine égale à — ^ i. Dans

LES FONCTIONS KUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQIIE. 4t> '

le [ircmier cas, la Iranstuniiatidii sera dilt- droite; dans le second cas, elle sera gauche.

rjans ce qui \a suivre, nous ne nous occuperons que des ti'austoruialions droites, de détermiiianl 4- i . 11 est aisé de voir alors que les subsl itui nuis semblables droites de la Iciniie $ peuM'iit sririrc

^2 — a[ii «2

où se, p, "', 0 sdul quaUe quant il('s quelconques telles que

INous n'envisaf^erons que les substitulions à coefficienls réels; nous supposerons donc que a, jj, ■-, o sont réels, de sorte qu'on devra avoir

ao — ^Y = ri: I .

INous rejetterons ('i^alenient les >ul)>l itiitinus de déieruiinaiil - i. de sorte

(pidn aura enfin

aS — 3v = I .

JNous aNons a[)[iel(' xLibsliluliuiis J uclisieniies les substitutions île la forme

où 7., (3, y, 0 sont des quantités réelles telles cjue

ïo — Py = I .

On voit ainsi iiu à la miIi^I il iil nui S currespoudra une --ubsl itulimi fiulisienne

Si S et 8' Miiil deux transliu'iiial iiiiis linéaires ipil naltèrent pas <I>, et que .y et s' soient les substitutions t'ucbsiennes correspondantes, à la transformation SS' correspondra la substitution fucbsienne ss' .

A tout groupe discontinu de Ir.insforniations n altérant [las 't corresjxuidra un i;i'(Uipe luchsien, et réciproquement.

Soit maintenant 1 wna transiormal inii liiit'aire de déterminant quelconque et qui altère <I>. Posons