FT, S

ri nous pourrons convenir, pour délinir la ré<luclioii par rappori au ^roiq)r (i, de dire que sa réduite par rapport à ce groupe sera FT,.

Tout cela ne peut pas s'étendre au cas des formes indéfinies, car les groiqjes qu'il pourrait être intéressant de considérer, et en particulier le groupe arithmétique, sont inq3ro|3rement disconlinus pour ces formes indéfinies, c'est-à-dire dan~. la région ([ue nous axons appelée R'.

Mais tous les aritliméticiens connaissent l'ingénieux artifice par lequel M. Hermite, introduisant les variables continues dans la théorie des noiidires, a le premier triomphé de cette difficulté.

En ménie tem|)s que la forme indéfinie

qui est dilinic. .Si 1 est une sulistitulion linéaire et si 11 l est une tonne delinie réduile jiar rapport au groupe Ci, nous dirons que la substitution T est réduite jiar r.qipoil à (i et que la forme indclinie <1>T est également réduite pai- r,ip[)orl il ( ". .

Voici maintenant comment on |)ourra trouver les réduites d une tonne indéfinie

• )ii aura aussi

S étant une quelconque des stibstitiil unis

5'- — 2 8y y' - 5p aS -t- j^Y — "Y

où a, |î, -, 0 sont quatre quantités réelles quelconques telles que

472 I-ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L AIUTEIMETIQIIE.

Ce !;roii|ir lies siil)s[itutli)ns S, qui n'altèrent jjas <I>. s'appellera groupe reproductif de $.

Considéniiis la hirnic cltliiiie IISt; il y aura liiu|(iurs, d'après ce qui précède, dans le f;ri)npe (i une snbslitulion 1^ qui rt'duira cette forme qiiadratiqne didinie par rapport au i^roupe (i. Vax tonne HStT sera alors réduite. La substitut i<in St'J" sera réduite, et la l'orme indéfinie

•I>StT= f,t

sera réduite. La sul)slitui nui 1 sera alors I Une des substitutions réductrices

de F. Comme il va une infinité de substitutions S, la forme F admettra en

général une infiniti' des substitutions réductrices.

II peut se faire que deux substitutions réductrices T et ï' conduisent à une

même réduite, et qu'on ait