FT = FT

En ce cas, T^'T' est l'une des substitutions de G qui n'allèrent pas F.

Il peut donc arri\er que le nombre des réduites soit fini, l)ien que celui des Mibstilutions réductrices soil infini. C'est ce qui se passe, par exemple, si F a ses coefficients entiers et si G est le groupe arithmétique.

Il en est encore de même si, les coefTicients de F étant entiers, G est un sous-groupe d'indice fini du groupe aritbmétique.

J'appellerai groupe reproductif de F le groupe des substitutions linéaires de déterminant + i qui n'altèrent pas cette forme. Ce sera le transformé par la Mib>til ution -: du groupe reproductif de <I>, car toute substitution qui n altère pas F |u-iit se mettre sous la forme

S n'altérant pas <I>. .

J'appellerai sous-groupe inaltérant de G par rapport à F le groupe ciunmun à G et au groupe reproductif de I'. Le transformé de ce sous-groupe par la substitution ■:"' sera le groupe inaltérani transformé relatil à G et à F. Ce sera un sous-groupe du groupe reproductif de <I>.

Nous avons vu au paragraphe précédent qu'à toute substitution du groupe re|)roductif de $ correspond une substitution fuchsienne s. Donc, au groupe inaltérani tr.insforiiié relatif il G et l'", correspcuidra un certain groupe fuchsien, que j'appellerai groupe fuchsien rclalij éi G et à F.

Aous adopterons des dénominations spéciales, pour abréger le langage, dans le cas où G sera le groupe arithmétique. Le sous-groupe inaltérant s'appellera

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. 478

le i^toupe piliiripiil tic V : le ^roujic iiialléivint trausl'oniic s'appellera le f>roupe transjornicpri/icipal de F; enfin le groupe fuchsien relatif à F et au groupe aritlunrtique s'appellera le groupe fucltsien principal de F.

11 résulte de là que, poui- t'tudier le groupe principal de F, (ornié des substitutions senihlajjles de h', il suffit d'étudier le groupe fuchsien principal de F. Nous adopterons le mode suivant de représenlation géométrique : Nous considérons un jdan représenlanl la variable imaginaire ;; nous ferons correspondre à la sulisl itulion S la substitution

(|ue nous représenterons elle-même par le point flu plan des ; qui a pour affixe

(je poinl fait |)arlie du demi-plan >ilu(' au-dessus de l'axe des quantités réelles. A eliacpjc sulislil ut ion S correspondra uu point de ce demi-plan, mais à chaque punit du demi-|)lan i(uie>pi)ndronl une iufiait(' de subsl il ulions S taisant partie du groupe reproductit de '!>.

Nous regarderons comme ilonnés le gidupe G et la transformation - qui change <!' en F.

Voici alors i-oniment se présentera géométriquemeni la l'i'thiel ion de F par rapport à (1 :

A chaque subslilnlion S et. pur consi/qucnl, à chaque forme qiiadratupie di'liuie H. S corresponih-.i uu [mint de notre demi-phui. Je dis maintenant qu'à chaque point de ce demi-|)lan, auquel corres|)ondent pourtant une infinité de substitutions S, ne correspiuidra pourlani qu'une seule forme définie H. S.

Soienl, en effet. S et iS'deux sidist il ut ions coirespomiaut à \\\\ même poinl V

de noire demi-plan, .le dis que