VI. — Développement suivant les puissances de q

Pour aller plus loin, je vais cherclier à développer les fonctions

suivant les puissances de e^'^', qui n'est autre chose que l'expression q de Jacolji. Soit ilonc

A chaque terme correspond un couple de nomljres premiers entre eux, - et o, et inversement. Nous allons grouper ensemble les termes qui correspondent à une même valeur de y et à des valeurs de o congrues entre elles sui\ant le module -'. J'appellerai

l'ensemble de ces termes, et comme

as -1- p ï I

Y^-!- 8 ~ Y y(ys -I- 8)' l1 viendra

ou, en développant l'exponeulielle.

. gv I y c + 0 )

L'un des deux signes 2, ^^ rapporte à /;, qui prend toutes les valeurs entières de o k 00 ; l'autre à 0, qui prend toutes les valeurs congrues entre elles suivant le module y. Si nous posons, pour abréger,

.-"""La, ^ = b,

nous pourrons ecru'e

oj(Y, 0) = AlB''-

Nous devrons faire varier sous le signe ^ l'entier h de n à ce et l'entier « depuis — c;c juscju'à + 00 et attribuer à 0 une valeur constante.

(î|6 FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

Rappelons que nous avons et par conséquent, en difierentiant zm -\- h — i fois par rapport à ;,

^ (-ly---

Nous n'avons qu'à substituer, en remplaçant z par ^ H — > ce qui revient à remplacer e^iyw: p^^j, (^qCy en posant

C = e T; on trouve ainsi

(u = — A s X ,■ ( 2 iV-Tt )2">-i (— 2 î7tt B )'' — — i L .

n .(im -h II — I ) 1

Le coefficient de qJ dans w(v, o) s'écrira donc

E-!-'-"-\j(2ij7:r-"-'^j^

! ( 2 nu- A — I ) !

OÎl

2 / TT t,

E = ACJ=el , G=-2V7tB = i*^.

Le coefficient — -^~-'^'Kj{iij -)-"'- ^ est une constante que je puis appeler ay; quant à l'expression

c'est une fonction qui se déduit immédiatement des fonctions de Bessel et que j'écrirai J(w, G); on aura donc

(0 ( Y , 8 ) = "S. \XjEqJ i(tn, G ).

Nous allons maintenant grouper ensemble les termes qui correspondent aux diverses valeurs de o non congrues entre elles suivant le module v. Si nous appelons w(y) la somme de ces termes, le coefficient de qJ dans w(y) sera

\J.jUm, G)ZK.

Il faut donc calculer SE, c'est-à-dire

Les entiersy, jD et y sont donnés; mais on donne à a toutes les \aleurs entières

KONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIKN.NES. 617

jiremlères avec y et mcougrues entre elles par rappuri au module v, et à 3 les valeurs correspondantes, de telle façon que

xo ^ I (mod y)-

Je me bornerai à constater que -F. nest pas mil en général. Il reste à sommer par rapport à ■' et notre coefficient s'écrit

Il n'y a aucune raison pour qu'il y ait des relations linéaires entre les valeurs

des fonctions de Bessel J ( m, ** , ' ) correspundanles aux tlilFérentcs valeurs

de y. Il n'y a donc aucune raison pour que ce coefficient s'annule.

Il en va tout dilleremment dans le cas de /> ^ o; nos fonctions J se réduisent à une constante simple que je puis faire sortir du signe S, de sorte que notre coefficient s'écrit

^E= le '! ,

0 prenant tontes les valeurs entières premières à y. Soit y' un diviseur quelconque dey, de telle sorte quey = y'£; la valeur correspondante de SE sera

où o' est premier à y' et où, par conséquent, o's et y ont pour plus grand

Commun diviseur e. Si nous prenons en particulier y' = i , nous aurons

3'= o et

Si donc nous réunissons tous les 1' E relatifs au nombre y et à tous ses diviseurs, u» C(jiiipris, il \ iendra

0 prenant cette lois toutes les valeurs entières incongrues par rapport au module y, qu'elles soient ou non premières avec v.

Cette expression est nulle, à moins que y' ne soit divisible par v. Donc, dans le calcul du C(jeflicieiit

l-tyJ(/«, 0)S,.[iE], H P. - II. ,8

6|S lONCTlOX;; MODUI.AIRKS KT KONCTIONS Fl'CHSIENNES.

il ^ullira (le doiinrr à v les \aleur-- qui di\i>ciil / et qui sont en nombre fini. Ce ciiellieieiil >er.i donc une constmile (jui ne sera pas transcendante .

Ainsi s'explique la diOerence qu'il y a enlre •i'(o) et les autres '^(/j). Pour la première, les constantes non encore déterminées dont il a été question dans les paiM^^raplie- prcicédents ne sont pas transcendantes et l'on peut en achever la di-teriuinal ion. coMuiif on le tait facilement par la théorie des fonctions elliptiques. Pour les autres '|'(/j), ces constantes sont ellectivement transcendantes et Ion ne peut pas aller plus loin.

\ iiilà ce que l'on peut dire au sujet de la sommation des séries

et sur leurs relations avec les séries thétafuchsiennes des diverses espèces. Je me suis borné aux fonctions modulaires, mais on verra sans peine à quelles catégories de fonctions fuchsiennes chacun des résultats peut être étendu.

Par m. N. E. \(»I{LUND.

1. Page 6, ligne 20. Nous avons remplacé septembre par novembre, car il s'agit ici de la Note Su/' les formes quadratiques [^Coniplrs renilus de l' Académie des ■'>cic/i.ces, t. 89. p. Soj-Sçig (?-( novembre 1S71))]. loir aussi Sur les im'ariants arilhinéliques [Associalion française pour l' avancement des Sciences, 10" session, Alger (séance du i5 avril 1881), et Journal fur die reine und angewandte Matliematik, L 129. p. Sg-iâo (1900)].

2. Page i3, lignes 20-29. Poincaré a donné plus loin une inétliode plus simple pour déterminer le genre de la relation (3). Voir pages i46 et suivantes.

3. Page 17, lignes i-ii. La condition à laquelle les a, et les j3, devront satisfaire peut s'énoncer comme il suit ; Il faut et il suffit ([u'il y ait entre eux la relation

( ^1— a, l(P2— !z,)...(fl„— x„)-(-(a,— ^i)(7.3—<'^,)...(%„~'^^-t)('j.i — '^n) = n-

h. Page 20, lignes 3-4. Dans les iMémoires ultérieurs. Poincaré appelle sommets de la troisième catégorie un sommet situé sur X et séparant un côté de la première sorte et un côté de la deuxième sorte.

5. Page 20, ligne 19. On peut supprimer jla condition 1°. En effet, de la condition 3° résulte que, si l'un des sommets d'un cycle est de la première catégorie, il en est de même de tous les autres sommets du même cycle. Et, d'autre pari, un cycle peut contenir des sonnmets de la deuxième catégorie et des sommets de la troisième catégorie.

6. Page 21, lignes 6-8. Dans le paragraphe V de la Note suivante (p. 2.j),

(') Dans plusieins Mémoires de PoiiiCHré, des fautes d'iijipressioii et des fautes de caleul s'étaient glissées. ÎNous les avons corrigées dans la plupart des cas sans en faire mention. Dans les Notes suivantes on a indique les cliangements dans le texte original dont la nécessité n'est pas tout à fait évidente. Dans le numérotage des lignes on a compté les formules pour des lignes, mais on n'a pas compté les titres des .Vlémoires.

Gao

Polncaré a donné la condition nécessaire el suffisante pour que le polygone donne naissance à un groupe discontinu.

7. Page 23, lignes iS-19. Par rapport anliiirmonique de a el b par lapport à c el (Y, il faut ici entendre le rapport anl)arnionique des projections de a el b sur le plan des .rv par rapport à c et c/.

8. Page ■!-. ligne i4. Dans l'équation (2) 11 faut changer le signe du second membre.