IV. — Introduction des fonctions A

Le procédé du paragraphe II nous donne la somme des séries à (p) à une Jonction près de seconde espèce, laquelle fonction reste d'ailleurs indéterminée. On peut aller plus loin en se servant des fonctions A [A., p. 288 (-)]; ces fonctions nous permettent, en effet, de calculer la somme exacte de ccr-

(') Cf Tome page iH8.

(-) Ce Tome page 209.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FICHSIENNES. 607

laines séries thétat'uchsiennes. Soit donc

\dx/ (X — C,){X — C2)...{X — Cq)

ou À| et Aj sont les plus grands entiers contenus respectivement dans — et -^

et où le nombre q des infinis du dénominateur est égal à

9 = Xi-l- X2 — m -+- 1

(C, p. 99). Nous poserons d'ailleurs

I ^v Ba-

(x — Cl) (a; — Ci)...(x — Cg) jm^x — Ck-

Les résidus B^ sont alors liés par les relations

(0 SB/,ci^=o (/! = o, I, 2, ..., y — 2).

Nous savons ensuite [A., p. 289 (') et suiv.] que la fonction A peut être décomposée en éléments simples sous la forme suivante :

Nous pouvons grouper ensemble tous les termes du second zuembre de (2) qui correspondent à une même valeur de c*; nous trouverons ainsi

(3) .\ = ^ku^{z,ak),

où

(•(■«/.-t- 0)''" lau^^

est une fonction tliétafuchsienne par rapport à a^-

Différentions l'équation (3) 2m — i fois par rappm't à z; nous aurons

(4) DA = SA/,D<|.(x;, a/,),

où D = ,,,„i est le symbole de 27/1 — 1 difterentiations par rapport à ^ et où

D'I'fi, a/,) = mV ^ î

( ' ) Ce Tome pages 210 et suivantes.

fl08 FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCIISIENNES.

est une fonction tlit'lafiiclislenne tant par rapport à ; que par rapport à a/,.

D'ailleurs

est une constante purement numérique.

Nous appliquerons à D<I>(s, a/,) les formules (ii) et (ii bis) du paragraphe I et nous trouverons

(5) D-P = -+-Zl,,iXpe°-'i''!"'i,^(p)^

où Kp a le même sens que dans le paragraphe cité et où u^= +jD^"'~' ( 2 t:r)-'"~'. On trouve ainsi

(6) DA = i:Xp|ji^4/(/))[SA/, e2</'ii«,].

D'autre part, en égalant les résidus, on trouve

Mais, d'après les formules (i) et (2) du paragraphe II, — est développable suivant les puissances de e''""', le développement commençant par un terme (lu premier degré; réciproquement, g-''""* est développable suivant les puissances de — et le développement commence par un terme du premier degré; on a donc

(7) e2„t/,aj=y.,^, 2.,

les Y étant des coefficients connus et tels que v^^ = o si h </>• D'autre part, les développements de

[dcj ' ''■■' ^''' '^■' B,

suivant les puissances de e-"^"' commencent respectivement par des termes de

degré

m, — Xi, — Xj, m — X| — ),j = I — q.

On aura donc

<») ^=v3^.c-y où yïi-g-.

Si nous substituons les développements (7) et (8) dans le seconil membre de (6j, il vient

'9; D\ = I.).pHp<\,(p)-ip,,Sj[^B/,c-,''-Jl

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES- 609

OÙ

jO^l, hlp, jl\ — q-

Cela nous permet d'écrire

(10) DA = lQ(n)[i:Bicr].

avec

OÙ

/> = ', h^p, j^\ — q, h-+j = n\ d'où

ce qui prouve que fî(«) est une combinaison linéaire tie

4/(1), ij;('i), ..., i]/(/i + y — 1),

dont les coefficients peuvent être regardés comme connus. D'autre part, nous avons

\ ax / ^^ X — eu

(tlz \ "'—1 -p-j .r''-i+>.,(^ = i)X. (n^l).

En rapprochant de (i<>), on trouve

(11) SDP„[i;B/,cr] = S£K/0[SB/,cl"].

Dans le premier membre, n prend toutes les valeurs à partir de i, et dans le second membre, à partir de 2 — ([. Cela ne lait rien, car les termes du second membre correspondant à

« = o, — I, — 2, ..., 2 — q disparaissent en vertu des relations (i). Je dis que, pour /J ^ i , on aura

e(«) = DP„.

Soit, en eiFet,

La relation (11) pourra s'écrire

SBaF(c^.)=o

et elle devra avoir lieu, non pas quels que soient les B/^ et les C/t, mais toutes H. P. - II. 77

(iIO FONCTIONS MODII.MRES ET FONCTIONS FLCHSIENNES.

les t'ois que les B/, et les Ca salislenint im\ rehuiiins (i); il taiU donc que le

iléteniiiiianl îles

I, Cl,-, cl, ..., clr^ F(ca)

s'annule idenliquement, quels que soient les Ca- En écrivant que ce déterminant est nul et donnant à Co, Cj, ..., c,f des valeurs constantes quelconques, on obtiendra une relation linéaire entre

1, c,, cj, ..., c'{~\ F(c,),

c'est-à-dire que F(c) devra être égala un judynoine entier de degré q — 2 en c. Mais F(c) est développable sui\aiil les puissances positives âe -; régalité n'est donc possible que si le polynôme entier est idenliquement nul, ce qui

entraîne

Tous les coelTicients de F (c) devant être nuls, on aura

(12) Q(/i) = UP„.

Gela permet de sommer exactement, non pas sans doute les séries 'i(/>), mais certaines combinaisons linéaires de ces séries. Rendons-nous compte du progrès accompli; au paragraphe II, nous avions trouvé la somme des séries '}(/>) à une fonction près de seconde espèce. Pour achever la détermination, il aurait donc Callu connaître pour chacune des séries 'h (p) un certain nombre de constantes arbitraires, de sorte que le nombre de ces constantes restées inconnues pour toutes les séries '!'(/>) aurait été inilni.

Mais maintenant que la formule (12) est démontrée, supposons que l'on ait <léterminé ces constantes pour

(13) <V(o), 4/(1), ii/(2), ..., •h{q — \),

la formule (12) nous donnera exactement n(i), qui est une combinaison des fonctions (i3) et de '^^ (//)', les constantes pourr.int donc être regardées comme déleriniiKies pour '}('/)• L» fiinuule(i2) nous donnera ensuite ti ( a"), qui est une combinaison linéaire des fonctions (iV), de '| (q) et de 'i {q -t- i); les constantes pourront donc être regartlées comme détermini'es pour 'L (7 -r- i), et ainsi de suite.

.Si donc nous connaissons les constantes pour les tondions (i3), nous les coiiiiafinins pour toutes les séries •l(p)- Pour déterminer toutes ces séries, il

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FICHSIEN-N'ES. 6|I

siitlîr.ut donc de déterminer un noiiihre jini de constantes jusqu'ici inconnues. Ces constantes paraissent d.iilleurs être transcendantes.

Si nous considérons une série tliétaluclisienne quelconque de première espèce et, dautre part, une l'onctidn tliétaluclisienne île première espèce qui ait les mêmes infinis à lintérieurdu cercle fondamental avec les mêmes résidus, cette série sera égale à cette fonction à une fonction près de seconde espèce, c'est-à-dire que sa somme serait entièrement déterminée si l'on connaissait la valeur d'un certain niunhiv de constantes transcendantes qui restent iiicronnues jusqu'ici.

Mais la série thétafuchsienne peut être développée suivant les A(jt)) par la formule (\ \) du paragraphe I. On connaîtra donc les constantes transcendantes tldiit dépend la somme de la série tliétaluclisienne (juand on connaîtra celles dont dépendent les séries '^{p) et, par conséquent, quand on connaîtra celles dont dépendent les fonctions (i3).

Pour arliever la détermiintion de toutes les séries thétaluclisiennes (pour une valeur donnée de m. liien entendu'), il nous suffirait donc de connaître un nombre fini de constantes transcendantes. Ces constantes sont évidemment apparentées avec ce que j'ai appelé les y[>r'Vioc^es de certaines expressions c|ue j'ai considérées comme la généralisation des intégrales abéliennes de première espèce et de seconde espèce (C, p. io4 à loS).

■y. — Extension aux séries 'l d'indice négatif.

Cherchons maintenant à obtenir des résultats anahjgues en ce qui concerne les fonctions 'J> ( yj) (u'i yj est négatif. Reprenons la formule (o) du paragraphe

l)récédent :

est une série thétalucli^ienne en ci/, engendrée par la fonction rationnelle

de telle sorte que

6l2 FONCTIONS MOUILAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNKS.

c'est ce que j'exprimerai d'une façon abréoée en écrivant avec des crochets carrés

Nous aurons donc, avec cette notation,

Mais ce n'est pas tout. Soit 'slz) une fonction rationnelle quelconque n'ayant pas d'infini à l'intérieur du cercle fondamental ; on aura [A. p. 289 (') sqq.]

On en déduit

;A;,e[liii.^li^]=o.

Soit maintenant îl(ak) une fonction rationnelle quelconque de «a ayant tous ses infinis à l'extérieur du cercle fondamental et s'annulant pour a/, = x, engendrant, par conséquent, une série tliétafuclisienne de seconde espèce; soit ;„ une valeur quelconque de z intérieure au cercle fondamental; soit

o{ak) sera une fonction rationnelle de cik n'ayant pas d'infini à l'intérieur du cercle fondamental et l'on aura

ç(=o) = o, et par conséquent

et

(2) SAa.0[H(«*)J =0.

Soit maintenant H(;, t,) une fonctinn rationnelle quelconque homogène de degré — 2m en Ç et v], ayant tous ses infinis extérieurs au cercle fondamental (ce qui veut dire, dans le cas qui nous occupe, que tous ses infinis ont leur partie imaginaire négative) de façon à engendrer une série de seconde espèce ; on aura

on voil que, quand r^ tendra vers zéro, - deviendra infini, le fadeur /-'" du ( ' ) Ce Tome paj^e '210 S(|i[.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES. 6l3

premier ineiiibre s'annulera, le second l'acleur H restera fini, puisque H ne doit pas avoir d'infini sur le cercle t'ondainental, qui se réduit dans le cas particulier à l'axe des quantités réelles, ni en particulier pour ï^ = o ; donc le second

membre s'annule. Donc

Toute fonction rationnelle H (a/,) susceptible d'engendrer une série de seconde espèce satisfera donc bien à la condition de s'annuler pour aA= oo et, par conséquent, à la condition (2); nous pouvons donc écrire

(3) SAA.e(«,,) = o,

6 étant le symbole d'une fonction tliétafuclisienne quelconque de seconde espèce.

Reprenons maintenant la formule ( i ) du paragrapbe précédent

DA = i:Aj.D't>( i, a/,-)

et voyons ce que devient le second membre quand la partie imaginaire de ; est négative. L'expression D<P{z, a/,) est une série tbétafuchsienne en a/,; elle ne peut devenir infinie que pour aii= z et pour ses transformés, c'est-à-dire

pour

ak= -^•

Si donc la partie imaginaire de z est négative, tous ces infinis seront extérieurs au cercle fondamental et la série sera de seconde espèce; on aura donc

(4) SAaD*!^, «^) = o.

Mais D'I)(i, aii) est une série tbétafuchsienne non seulement par rapport à a^, mais aussi ])ar rapport à z. i^ious pourrons lui appliquer les formules (11) et (11 bis) du paragraphe I et nous retrouverons la formule (5) du paragraphe précédent

L'analyse du paragraphe précédent nous donnait la formule suivante, équivalente à la formule (10) du paragraphe précédent,

(6) SO(„)[vB,c^"] =0,

où Q(/i) est une combinaison linéaire à coeflicients connus de

6l4 FONCIIONS MODILAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

D,ms la liirmule ((3), Ji prend toutes les valeurs à partir de 2 — ly, mais

prmr

le coefficient SB^C^" s'annule; comme la relation ((5) doit avoir lieu pour toutes les valeurs des Ch et des B^t qui satisfont aux conditions (i) du paragraphe précédent, on verrait, comme dans le paragraphe précédent, que l'on aura

(7) Q(/() = o (pourrt^i).

Cela a lieu pour toutes les valeurs de ^ dont la partie imaginaire est négative. Or. si ; et Zg sont imaginaires conjuguées, i (;, 1;/), m) et '}(:;oi 'i — P- '" ) seront imaginaires conjuguées.

Soit alors

il{n) = ^-.„,,'\{p),

les s étant des coefficients numériques. Soit, d'autre part,

-n,n étant imaginaire conjugué de £„p ; alors Q'(;„, n) sera imaginaire conjugué de ^(-ï, n). Si donc 0(«) s'annule quand la partie imaginaire de ; est négative, Q! in) s'annulera quand elle sera positive. On aura donc

celte fois pour toutes les valeurs de ; intérieures au cercle fondamental. C'est une relation linéaire entre

Nous avons vu au paragraphe [ que toutes les '!'(/') d'indice négatif sont des fonctions de seconde espèce; elles sont donc déterminées à un certain nombre de constantes transcendantes près; mais si ces constantes sont déterminées pour

<!;(— l), -VC— 2), ..., i^{\ — q),

les relations (Sj permettront de les déterminer pour toutes les autres fonctions 'i d'indice négatif. Donc la somme de toutes les séries i d'indice négatif, et par conséquent celle de toutes les séries thétafuchsiennes de seconde espèce (pour une valeur donnée de //(, bien entendu), ne déjiend que d'un nombre lini de constantes transcendantes jusqu'ici inconnues.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES. 6l5