Page 98, lignes 4-6. Voir les notes 2.5 et

22. Page rog, ligne 21. Dans la formule (4) on a lenaplacé c par ±c. qu'il faut lire + c. si « + (/=: 2, et — c. si « -I- f/= — 2.

23. Page 110, ligne 6 en remontant. On a remplacé imaginaire par imaginaire ou négatiie.

2i. Page 122. lignes 12-14. Si la somme des angles de R^ qui correspondent aux sommets d'un certain cvcle est égale à 27:, on trouve, en décrivant un contour fermé infinitésimal autour d'un des sommets de ce cycle, une relation de la f o r m e

cil ot], a.,, . . . , a,, sont des indices qui peuvent être 1,2, . . . , n — i ou n et où chaque indice ne figure que deuv fois au plus. Les s sont des nombres qui sont égaux à -t- I ou à — 1. Si tous les sommets du polygone H„ n'appartiennent pas à un même cycle, il y a un indice i au moins qui ne figure qu'une seule fois dans la relation susdite. Dans ce cas les substitutions (7) ne forment donc pas un système fondamental, car la substitution

n'est qu'une combinaison des autres.

2.3. Page i35, lignes 4-5- Les régions R, (polygones générateurs] sont d'abord définies par la condition que chacune d'elles ne contient qu'un seul point correspondant à un point donné. Mais celte condition ne suffit pas pour les définir. Poincaré a ensuite imposé à ces régions cette condition nouvelle que de l'une d'elles on pourra déduire toutes les autres par le procédé indiqué dans le paragraphe I\'. Dans ces conditions le polygone générateur n'admet pas des cycles de la quatrième sous-catégoiie. En effet, on peut, d'une part, toujours choisir le polygone générateur tel qu'il n'v ait pas de cvcle de la quatrième sous-catégorie et. d'autre paît, de ce qui est dit dans la note 30 on voit sans peine que si, par le procédé indiqué dans le paragraphe IV, on cherche à rapprocher le polygone générateur indéfiniment d'un point double d'une des substitutions hyperboliques du groupe, ce point ne sera jamais un sommet proprement dit. Car. même si l'on réussit à faire passer le polygone par un tel point double, il se prolongera toujours au delà de ce point. On ne sauiaitdonc admettre l'existence d'un cycle hyperbolique dans le sens indiqué dans le texte.

Mais, dans ces conditions, pour qu'un polygone donné puisse être le polygone générateur d'un groupe fuchsien, il faut ajouter une condition nouvelle, à savoir que les cycles de la deuxième catégorie soient de la troisième sous-catégorie. On peut énoncer cette condilion sous une forme plus simple en la considérant comme un cas limite de la condilion que les côtés conjugués doivent être congruenls.

Soient ;z3 et (xy deux arcs de cercles orthogonaux à l'axe des nombres réels. Poincaré dit que a|3 est congruenl à (/.y s'ils ont même 1^, et en appliquant le langage de la géométrie non euclidienne, Poincaré dit encore que la droite a(3 est

coniziiienle à la droite j!/ si elles sont des ravons diin inèiiie cercle ayant y. pour centre. .Supposons maintenant cpie x est situé sur Taxe des nombres réels, pendant que {3 et y restent au-dessus de oet axe. Les L des deux arcs «3 et ay sont infinies. Convenons de dire qu'elles sont congruentes si le cercle passant par a. 5 et y est tangent à Taxe des nombres réels. Dans le langage de la géométrie non euclidienne, cela veut dire que les droites aS et zy sont des ravons d'un même cercle (horicycle) avant y. pour centre.

Considérons un polygone normal K„ et supposons que cliaque cycle de la deuxième catégorie, s'il y en a, est formé d'un seul sommet. Celle hypotlièse ne restreint pas la généralité. Eu précisant, comme on vient de le faire, le sens du mot congriient, les conditions j° et '."de la page i35 sont nécessaires et suffisantes pour que Hq puisse engendrer un groupe fuchsien.

.Mais il arrive que le polygone Rj, engendre une infinité de groupes fuchsiens. En effet, s'il y a deux côtés conjugués AB et A'B' dont les extrémités sont sur l'axe des nombres réels, il y a une infinité de substitutions hyperboliques S qui transforment le cercle AB en le cercle A'B'. Si l'on veut que le groupe soit entièrement déterminé par le polygone générateur, il faut imposer une condition nouvelle à la substitution S. Construisons un cercle qui coupe orthogonalement l'axe des nombres réels et les cercles AB et A'B'. Soient p el q les points d'intersection de ce cercle avec l'axe des nombres réels. 11 y a Une substitution hvperbolique S, ayant p et q pour points doubles, qui transforme AB en A B' et cette substitution est uniquement déterminée.