Page 697, ligne 18. Mous avons changé le signe de

74. Page 606, lignes ar-aa. Ce résultat n'est pas exact. De la démonstration que Poincaré a donnée à la page 6o4, il résulte que la série tliétafuclisienne

or-"

CîS NOTES.

converge absolumenl s.i la fonclion H(c) admet le point a pour pôle d'ordre ■lin — 2 au plus, a étant un sommet du polygone fuclisinn fondamental situé sur le cercle fondamental. Mais celle série représente une fonction de la deuxième espèce si H(;) n'admet pas d'autres pôles à l'intérieur du cercle fondamental ou sur ce cercle. Four le voir il suffit de grouper les termes de la même manière qu'à la page rS" et de remarquer que les fonctions rationnelles HJ;.(i) ( /.^ ^ o, 1,2, ...) admettent le point < = 00 pour zéro d'ordre 2 au moins. On en conclut que 0(s) admet un développement de la forme

2TT tn 1

6(3)=- !— — V A„eT~^^-

(; — II)-"'

On suppose que la substitution parabolique qui appartient au sommet a est de la

forme

Les séries que Poincaré appelle de troisième et de quatrième espèces représentent donc des fonctions lliétafuchsiennes de deuxième et de première espèces.

Pour arriver à une fonction de troisième espèce on peut procéder comme il suit :

Soit T la substitution parabolique susdite. On peut choisir parmi les substitutions du groupe une infinité S,, Sj, . . . , S.,, ... telles que toute substitution du groupe puisse se mettre d'une manière et d'une seule sous la forme

Sv'", V = 1 , 2, 3, . . . , « = o, ± 1, it 2, . . . .

Posons Sv ( ; ) = ;•/. La série

clt

où la sommation est étendue sur les substitutions S.,, est absolumenl convergente pourvu que m^i, et elle représente une fonclion tliélafuchsienne de troisième espèce.

75. Page 607, lignes 37. La démonstration que Poincaré a donnée de la convergence de la série (2) ne s'applique pas dans le cas actuel, parce que le cercle fondamental se réduit à l'axe des nombre réels. S'il s'agit d'un groupe fuclisien quelconque admettant le point à l'infini pour point singulier essentiel, la série

z — ai,

est en général divergente. Dans le cas paiticulier du groupe modulaire, celle série est semi-convergente et l'on peut la rendre absolument convergente en groupant les termes d'une manière convenable.

Heureusement les considéralions qui suivent reposent sur la série

et cette série est absolument convergente.

76. Page 609, lignes i5 et 17. Nous avons changé les signes de /,, et de À,.

77. Page 6i5, ligne 3 en remontant. Nous avons multiplié le second membre de celte formule par y~^"', ce qui entraine quelques corrections dans les formules suivantes.