GRAND PBIX DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

OÙ p et gr sont des fonctions rationnelles de x. L'auteur démontre diverses propriétés de ces intégrales et donne un procédé pour les trouver, quand elles existent. C'est un bon travail qui mérite d'('lre sii;nalé dans ce Rapport.

Le Mémoire n° 3 a pour épigraphe : « Nous sommes si malheureux , que nous ne pouvons prendre plaisir à une chose qu 'à condilion de nous fâcher si elle réussit mal. »

L'auteur s'y occupe principalement des propri(''tés des intégrales dans le voisinage de leurs points singuliers. Ces points, connus a priori, sont les points singuliers des coefficients. On considère d'abortl un point singulier ic„ tel que les coefficients restent monoiropes dans une cnuruuue ayant ce point pour centre. Soit )' une fonclion quelconque de la \arial)l(' ailiilr.iire x] lauleur représente par le symbole Q( )) la nou\ellc valeur acquise par cette fonclion lorsque le point dont x est l'affixe fait une révolution autour du point a^o- Un changement de variable indépendante permet d'établir, entre la théorie des équations dillérentielles linéaires et celle des équations aux dif- (('■rciices à coeilicients constants, lui rappi-ochi'iueut tpii doiinc iinmi'dialciucnt les priu(l|)ah> pi'iipriétc's de rintc'gralc ('ludiée.

IJans le Mi'moiie n" 5, qui porte l'épigraphe suivante : « Non inultus premor », l'auteur traite successivement deux questions eut ièrement différentes, dont il fait l'étude approfondie avec un talent dont la (lommission a été extrêmement frappée. La seconde question, qui reçoit les tléveioppcments les plus étendus, concerne de belles et importantes reilu relies de M. Fuclis, dont nous indiquerons en quelques mots l'objet. M. Fuchs s'est proposé de déterminer sous quelles conditions on d('(init une fonction uniforme en égalant à une indéterminée le quotient des intégrales d'une équation dillérentielle linéaire du second ordre. I^es résultats si remarquables du savant géomètre présentaient dans certains cas des lacunes que l'auteur a reconnues et signalées en complétant ainsi une tln'oiie analytique extrêmement inti'ressanle. Cette tli(''orie lui a suggéré l'origine de transcendantes comprenant en particulier les fonctions elliptiques et qui permettent d'obtenir, dans des cas très généraux, la solution des équations linéaires du second ordre. C'est là une voie féconde que l'auteur n'a point parcourue en entier, mais qui témoigne d'un esprit inventif et profond. La Commission ne peut que l'engagera poursuivre ses recherches, en signalant à l'Académie le beau talent dont il a fait preuve.

En résumé, la Commission, à l'unanimité, en renouvelant l'expression de la satisfaction avec laquelle elle a étudié les excellents Mémoires soumis à son H. P. - II. 10

y4 URAND rmx dks sciences mathématiques.

jugenieni, iléccrne le prix à r;uiteiir du Mcinoire inscrit sous le )i"l, el exprime le tlésir que ce travail puisse être inséré au Recueil des Savants étrangers; elle propose en outre d'accorder des mentions très honorables aux auteurs des Mémoires inscrits sous le n° 5 et sous le n° 3.

l^es conclusions de ce Rapport élan! adoptées, M. le Président procède à l'ouverture du pli cacheté qui accompagne le Mémoire n° 1, et proclame le nom de M. G. -H. Halphen.

L'auteur du Mémoire inscrit sous le n° 5 s'est fait connaître et a demandé qu'il fût procédé à l'ouverture de son pli cacheté. M. le Président a proclamé le nom de M. H. Poinçaré.