GRAND PRIX DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

varial)lr lii(ii|)rn(l;uilo iiuo tourliDii fjiii'lcoiiqiir d'une nouvi'lle variable est .une t'qiiatii)ii liin'aiie ilf nirnic <>r<lr(', et qu'il eu est de même si l'on multiplie l'ineonnuc |iar une seeunde fonction ailiitrairc de cette nouvelle variable. Cela étant, Fauteur se propose de déterminer ces deux fonctions, de manière que l'équation transformée soit à coclïiclents constants, ou bien soit intégrable au moyen de fonctions uniformes, simplement rationnelles ou doublement périodiques. Ces questions sont, comme on voit, aussi importantes que difficiles; la solution complète et générale qui est exposée dans le Mémoire montre un talent mathématique de l'ordre le plus élevé. Rien n'est plus intéressant que de voir s'introduire dans cette reclierclie de Calcul intégral les notions algébriques d'invariants qui ont pris naissance dans la théorie des formes, et ces nouvelles combinaisons faire apparaître les éléments cachés dont dépend, sous ses diverses formes analytiques, l'intégration d'une équation donnée. C'est à M. Laguerre qu'est due l'idée ingénieuse et profonde des invariants et covariants des équations difTérentielles linéaires; il en a tiré pour les équations du troisième et du quatrième ordre plusieurs beaux théorèmes, et M. Brioschi s'est aussi occupé avec succès du même sujet; mais l'auteur du Mémoire que nous analysons en a encore mieux fait ressortir toute l'importance. Il y joint une considération qui joue également, dans ses recherches, un rôle essentiel : c'est celle du genre d'une équation algébrique entre deux variables, introduite en Analyse par Riemann et qui est si souvent employée dans les travaux de notre époque. Des applications exposées avec tous les détails nécessaires offrent un grand nombre de résultats entièrement nouveaux et du plus haut intérêt. Nous nous bornons à citer comme particulièrement remarquables des équations du troisième et du quatrième ordre contenant un paramètre arbitraire, puis d'autres d'ordre impair se rattachant à la division de l'argument dans les fonctions elliptiques, dont la solution, qui n'est pas une fonction uniforme, est obtenue par ces transcpiidautes. A'ous jugeons que ce Mémoire a ajouté à la théorie des équations diirérentielles linéaires des méthodes générales et des résultats d'une haute importance, et qu'il est digne du grand prix des Sciences mathématiques.

Le Mémoire n" 2 porte l'épigraphe su ivanle : « Per faciliora ad dijjiciliora devcniendum. «Il renferme des recherches intéressantes sur les intégrales algébriques que peut admettre l'équation

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