I. — Substitutions imaginaires

Dans un Mémoire anlérieur (-), j'ai étudie les groupes discontinus formés par les substitutions linéaires a coefficients réels Dans le présent travail, j'ai l'intention d'exposer quelques résultats relatifs aux groupes de substitutions linéaires à coefficients imaginaires. Ces substitutions se classent naturellement en quatre catégories, comme on va le voir.

une subslitiiliiiu i|Mrlr(inqnc où je suppose toujours

Si l'nll ,1

l.i ^Ml)^l ilul niri |i(Mit se metlrc >ous la (<irmc

\ ; — ri z — ri j

Il f\ K il ml Av- riiii^l;uilc>. Ou dil alors (|n <llc i-A jiii riihnliiiiir . Si i'ou a

(M Termine le 19 mai i8R3: imprimi- le S septembre i8R3. N. K. N.

( = ) Théorie des groupes fuc/isiens, ce Tome, p. io8-ili8. >. E. IN.

MÉMOIRE Stn LES r.ROlPES Kt-EINKENS. 239

la suIj-i Itiil iiin prni se mi'Hie sou-; la tcjrme

(', /'. K l'-liinl (lr> ((iiistauff^.

Si I 1111 a

(a + o)- réel positif et > 4i

K est réel jiosiiit' et la siiLstilulinn c-^X /iy[)erho/iqiie.

Si l'on a

(a -t- 0)- réel positif et < 4,

K isl iiiiai;iiiaiic (iii aégalit el a [nuir niodiilc i. la -iilisl iliilioii est elliptique.

Si l'iilin (a + o)- e>l iinai;inaiic dm ii('-i;alir, K est également imai;inaire on iiéj-atit el la siihsiiiui ion est l(jxodr(Jinttjw.

Une proprii'té roniniune à tontes ces snbstitntions linéaires c'est de transformer les cercles en cercles. Ileprésentons, en ell'et, .à l'exemple de M. Hermite, les qiianlitt's imaginaires conjnguées de ti, c, ... p ir la notalicm (/g, i(,, —

L 1 suljslilnl ion

pent s'écrire

\ "' Yo-u-t- S»/ L'équation générale d'un cercle s'écrit d'ailleurs

(2) A3s„-f-B^+ Bo-o+C = 0,

A et C étant essenlielleiiient réels ('), el il est clair qu'on retombera sur ce cercle (2) en appliquant la sid>stitution (1) au cercle dont voici l'équation

A(ï; -I- 3 )(ï„^o+ ?o) -+- B(x3 -I- 3)(yo-o+ So)

-H Bo(Yi + ô)(ï„-o-l- ?o)-t- C(y- + 8)(Yo-o-HÔo) = o ou bien

(3) ;;:„(Aaïo ■+■ Bxyo-i- BuY'io-t- G7Y0)

-t- 2 (>aPo-i-BaSo+Bo7?o -+-CySo)

-h ^o(AJ^ao-f- B^Y»"*" ^o°*o "•" C^Yo)

+ (A,3Po + Bpo„-i-BoôPo -<- C58o) = o.

Ecrivons maintenant l'équation d'une inversion par rapport au cercle (2),

(') Pour que le ra>on du cercle soil réel, il faut encore que BB„^AC>o. On vérifie aisément que l'expression analogue formée avec les coefficients de l'équation (3) est égale a

{ BB„ - AC ) ( aS ^Y ) ( a , 6„ - ]3„ y„) = BB, - AC

cl par conséquent positive. N. E. N.

c esl-ù-ilirc île l'opcral ion qui coiisislc à clKUif^er un ])oinl quelconque ^ en son Iranslonné par rayons vecleurs réeiproques, en prenant pour jxMe de la transi'onnalion le centre du cercle (a) el pour paramètre de la transformai ion le carn'' du rayon de ce cercle. \ oici cette équation :

Soit / le translormi' de ; i>ar cette inversion, ou aura

^ Bo ^ BBo-AG

Soient G, et C, deux cercles quelconques, el appelons T, cl L les inversions opérées respecinement ])ar rapport à ces deux cercles. Si nous faisons sid)ir à lin point quelconque l'inversion I, puis l'inversion lo, l'opi'ration résultante qu'on pourra représenter par la notation [,Io, sera une substitution linéaire comme il est aisé de s'en assurer. Cette sulislitution sera parabolique si les ili'UN cercles C| et Cj se louclient, elliplKiuc s ils se coupcnl, et hyperbolique s'ils ne se coupent ]ias.

Supposons cjudn ('1 udie la résullaule non plus de deu\, mais do plusieurs inversions successives. Si ces inversions sont en nombre j)air, la résultante sera une substitution linéaire; si elles sont en nombre impair, la résultante sera une opération plus complexe qui pourra être regardée comme une substilui ion linéaire sui\ ie il 'une inversion. De plus, toiilc subsliliiUon linéaire peut cire regardée d'une injinilè de manières comme la résultante d'un nombre jxiir d i/ive/sions.

l^e groupe obtenu en combinant de diverses manières les différentes inversions imaginables contient donc toutes les substitutions linéaires.

Posons

ç et y, sçionl les cooi'donui'-c', d'un |)oiiil rcpn'sculal il de ; dans son |)ian.

Considérons maintenant un poliil ijiiclconque, non plus dans le plan çt,, mais dans l'espace, et soient^, /,, 'C, ses coordonnées; je supposerai l, positif de telle façon que le point considi'ré soi! au-dessus du plan des ?/,. On a \ii que la substitution (i) change un point quelconque ^, T| du plan des ^r[ en un autre point de ce même plan. Nous allons étendre la définition de la substitution (i) de façon qu'on puisse appliquer celte substitution, non seulement à un poini du jilan ;/,, niai> ii un poinl qui lcoii(|nc de l'espace. La subsiitiitioii ( 1 j, nous l'avons vu, jx-iit être regardée comme la résullante d'un certain iiomliic d"iii\er>ions faites successiveminl par r.qipoii à ceiiains cercles

ilii |il;iii des ;/, que j"ap|)elle C,, Co, ..., C„. Soient -,, -2, — S„ les splièies (jiii oui iiiènie eeuire el iihniic i.noii (|iie ces cercles. Coiisl(l('r()ns l'opéiMlidii i|Mi idiisisle il eUecliiei' // inxeisions successlveiiuiU par r.ippml mii\ splières ïli, -o, ..., ï,;. Celle (jp('riil mil, si un i'iipjiliipu' ;i un |iiiinl du pi. 111 des 5r|, ne dill'cre pas de la subslitiil ion (\). Un pourra donc définir encore ainsi la subsliluiion ( i) quand il s'agira de l'apjiliqiicr à un point de l'espace situé en dehors du plan des çr,.

Une in\ersion par rappoil à l'uni' des sphères S,, S^- ■■■: ^n Iranstornie les sphères en sphères; (die I raii>l()riue en lui-MU'iiie h' plan des çr, ; elle conserve les anj;le> ; elle li'iinstoriuc loiilc ligure iiiliniiuent petite en une lii;urc iniiniiiiriil petite seinhlahle ; IiuiIcn eo propriétés a|)pail lenneiil dune à leur ic-.ullaulr. e'esl-îi-dire il la --uh^l il ul 1011 ( Tl gi'iK'r.ilisi'e.

Suppiisdiis (pie l'un ci'Moii par rapport au cer(de (],. par e\eiiiple. chaiii^e un (■(■rlaiii cercle Iv i\\i plan de- f/, eu 1111 autre ('ei( le K, de ce ui("iiie plan. Soient Sel S| le> '■pluTcs (pu oui iik'uic centre et inéiiie i-,i\iui (pu' Iv cl K,: il est clair (|iie 1 inxei-Mon par iap|ioil ii la spliiTe i.', changera S en S,. Si donc la Milisl itution (1) cliange le cerile K en un certain cercle K„, et si S et S„ sont les sphères qui ont même r.non que K et K„, la suijsliliil ion (i) g(''ni''ralisi'e chaiig;cra S en S,i. Enetlél. la siihslitution (i) équivaut ii /; inversions opi'iM'es respeclixeiiient par lapiiorl aux cercles C|, Co, ..., C„ ; ces in\eisi(ms changent successivement le cercle k en \\, puis en K,, ... puis eiiliii en 1\„. Soil S/ la sphère qui a même rayon el même centre que K,. La subslitiilion (^1) généralisée équivaudr.i ii /; inversions opérées respectivement par ra|)porl aii\ sphères S,, S^- ^:i< •■•1 -n^ cl ces inversions changcronl successivement la sphère S en S4, puis en Sj, ..., jinis enfin en S,/. c.<}.F.n.

Pour ju>lilier la délliiili(ui pr(-c(-(lciile, il faut étaidir ce ipii suit :

La subslitiilion (1) peut être regardée d'une iitjinilé de manières comme la n'sultante d'un nombre pair d'inversions opérées par rapport à divers cercles du plan des Çyj. Les cercles C|, Co, ..., C„ ne sont donc pas parraitement déterminés. Il faut taire voir que la substitution (i) généralisée est cependant une opération parfaitement déterminée. Supposons, en efTet, que la substitution (1) puisse être regardée :

1° D'une part, comme la résultante de n inversions opérées par rapport aux cercles C,, C2, ..., C„ ;

a" D'antre part, comme la résultante de p inversions opérées ])ar rapport il j> antres cercles C, , C!,, ..., C^, du plan des ;/;.

26a MKMOIRE SIR l.KS GHOIIPES KI.EINKENS.

Seul 1'^ 1,1 n|i1h''ic i|ui a im'iiR' ci'ulic cl iiii'iiic r.nim ([lie C/-.

cciiain |iiilnl <j . A|i|ielnns ces deux <)|)cr,ili(ins ( l', O), ( P, Q'); elles satisfont liinUs (l(ii\ à la dr^linition de la suljslilullun (i) t;énéralis('e, il faul donc, tliiiiiuilii T i|nc li's deux points (,^ et Q' coïncident. Eli bien, nous iiouvons faire pa-M'i- par le point I' trois splicies S, S', S", ayant leurs centres ilans le plan des ;y, cl coupant c<' |dan nuisant troi-- i;rands cci( lc^ Iv, is.', I\".

La Mil isl II Ml il ni ( I I cliaiii;cra ce> I riii> i;rands cercles en trois autres eer(des K, , K I et K| du plan de-, çrj. Soient S,, S, et S'J les sphères (|ui ont ini'ine centre et iiii-MK' iMMin ipie ces cercles; l'opération (1*, ()}. de mèiiie cpic l'opc'ration (P. <^)' ). clianue S. S' et S" en S, , S', et S]. Le point (). de nièiiie ipic le point (V, se troiixe tlonc à I inlersectioii des trois splièrcs S,, S'^ et S'|. Donc ces deux points coïncident. l)onc la suljsl itui ion [t ) j^i'iu'raliséc^ est une opi'ralion partaitenienl dc'lerniinc'e. c. tj. k. d.

11 reste à trouver les équations de cette opi-ralion. Pour délinir un point P de l'espace, nous emploierons les trois c<iordonnées suivantes

Çétiiiit sn]ipos(> positif, ces trois coordonnt'cs snflisent pour délinir coinplètcnienl le point i*.

Soient p'-. :' et z'^ les trois coordonnées du point O Uanslornu' de P par la siilisiiiiition ( 1^ ^généralisée. Exprimons que le point P se trouve sur la spiiére qui a même centre et même rayon que le cercle (3); j'ai à écrire

(4) p2(Aa3Co-f-BaYu-(- BoY^o -H CyYo) ■+-Z (Aa[3o-(- BïOo+ B„Y[io -h Cyoc) -+- 5o(A Paj-h Bp-'„ -H B„oa„ H- Coyo)

-H (Appo + Bpoo + Bo5p„ +C^3„) = o.

Si le point P est sur la sjilière ipii a um'iiic^ centre cl luèiiie ravon que le cercle (.i), le point Q devra se trouver sur la sphère qui a même centre et même ravon rpie le cercle (2) transformé de (3) par la substitution (i); d'où léqualion

(5) Ao'2-1- Bc'+ B„;;,-f-C = o.

Ces deLix é(jualioiis, si l'on v regarde A. B, Bq et C comme les inconnues, doivent être équivalentes. On a donc

,2 p^aao-t- jgPo-H ^ofiao-t- p^p ~ ?-Vïo-i- -3^80 + ^0870+ 83o '

^, p^aYo+ za;Oo+ Jo3yo+ P^o

P'YYo-+- 3780 + 5oSyo-I- 880

, p' 7 "0 + -3 7 Po + -^i) 8 a,) + S|Jo

p" 770 + - 7O0 + ~o 070 -H OOo

Telles sont les équations de la substitution ( il généra 11 s('e.

Passons aux propriétés générales de cette substitution.

Si la substitution (i) est elliptique, elle change en eux-mêmes tous les points du cercle G qui passe par les deux points doubles, qui a son centre dans le plan des ?7i au milieu de la droite qui joint ces deux points douilles, et dont le plan est perpendiculaire au plan des çyj. Elle change également en eux-mêmes une infinité de cercles dont la propriété caractéristique est que toutes les sphères qui passent par ces cercles coupent orthogonalenienl le cercle G précédemmenl délini. Nous appellerons ce cercle G cercle double de la substitution elliptique.

Si la substitution (i) est hyperbolique, il n'y a que deux points de l'espace qui ne sont pas altérés par la substitution : ce sont les deux points doubles situés dans le plan des ^v). La substitution change en elles-mêmes toutes les circonférences et toutes les sphères qui passent par ces deux points.

Si la subsl II iiliiiii ( \) est par,d)i)lique, il n'v a cpiun seul point do\d)le inaltéré par cette opc'ralion (pii cliange d'ailleurs en elles-mêmes toutes les circonf('rences cl toutes les sphères qui snni tangentes au poiiil double à une certaine ilriiilr <lu plan (lr> ^r,.

Supposons entin (pie l;i subsl iliil ion (i) soil loxodromiquc ; elle n'altérera |la^ le cercle G (pii a pour diamèlre la droite (pii loin! les points doubles et d(uil le plan esl noniial au plan des :y, . Mais, à l'exception lies poinis doubles, elle alti'rer.i tous les points de ci' cercle.

JMi r(''suni(''. loule subsl il ni ii>n qui ii'allère |ias un pnml silin'' en deliurs du plan des ;y, esl elliplupie.

Nous avons vu plus lianl que la substitution ( i) généralisée Iranslorme toule figure infinimenl pelile eu une figure infiniment petite semblable. Gherchons le rapport de similitude. Si 1 (ui considère une inversion iiiiupie, il est évident (pic les dimensions homologues de deux figures inlininienl petites Iransforinées

afij MÉMOIBK SUH t.ES GROUPES KI-KINÉENS.

I une o\ l'aulre. mmouI cuire elles comme les coordonnées ÎJ des centres de gra- \ itt' de ce^ lîj;nres. 11 en sera donc de même (jinind, au lieu d une inversion unique, on en\ isa|;era la rt'sullanle de plusieurs inversions, c'est-à-dire la substitution (i) généralisée.

Si donc on appelle ds, cIm on dv un arc de courbe infiniment petit, ou une aire plane on courbe inliniinent petite, on un volume infiniinenl petit, cl si V est la distance de cet arc, de cette aire ou de ce \olume au |)lan des Sri : si l'on appcdie i/s' . dot' ou dv' les l iMiislormécs de ds, (ho ou d\- par lii sulislitui loii (i) 5;('n(''ralisée, et si Ç' est la dislance de ds', ilio' ou (/r' au plan des ^/j, on aura

ds ds' du) dw' dv dv'

■ -Ç- — -?7- > Tj" — [-'2 ' "^ — 'YJÏ '

INous élirons que deux figures sont congfuentes lors(ju"elles seront transformées Tune de l'autre par une opération telle que la substitution (i) généralisée.

jNous ap|)ellerons L d'un arc l'intégrale

étendue aux did'érents éléments de cet arc. ÎNoiis appellerons S d'une aire plane ou courbe, l'intégrale

/" (ho

étendue aux divers (déments de cette aire et enliii nous a[)pellerons V diin solide l'intégrale

di>

élendue aii\ di\ri~ éliMuenls de ce solide.

Il résulte des iqiialions (()) que deux arc s ci uig rue lit s ont même L, ipie deux aires congniciiles mit même .S et deux sulidcs *(uiuriiciil s un'me \ .

Siippii^uM^ iiii 1 nleiiaiil c[ii(iii ciilixe au\ niol> diaitc v\ idii/i leur signilicat mil |iiiiM a |ip(liT (//(/(/(' (111 /)/((// hiiilc l'immli-rciicc ou I mile splicre qui coupe ortiiogoiia Iciiiriil le plan des r/,. Supposons aiisM qii Ciilex aul aux mois lo/ii^ueiirs. sin/rii-rs r\ ridiulirs Iriir signilicat loii , 1111 appelle ain>i ce ipie nous venons d'appidci L. S ri \ . Supposons enlin (jiic Ton conserve aux mots rirconjcrcncu. siilirru cl nnglu leur signiliiai imi liabil iirlle. ( )a reconnaîtra alors

qu'interprétés de la sorte, tous les théorèmes de la géométrie non euclidienne de Lobatschewski, c'est-à-dire de la géométrie qui n'admet pas le postulatum d'Euclide, sont parfaitement exacts. On voit aussi quel lien il J a entre la théorie des substitutions linéaires et la géométrie non euclidienne. C'est de ce même lien que M. Klein a fait usage pour trouver tous les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire.