XI. — Historique

Si ou laisse de c<Ué les ionctlous doublement périodiques, les premières fonctions fuchsiennes qui aient été signalées sont les fonctions modulaires. Elles se présentaient pour ainsi dire d'elles-inêines dans l'cHude des transcendantes elliptiques, et leurs propriétés principales, en particulier celles d'être uniformes et d'admettre une ligne singulière essentielle, ont été remarquées de|)uis longtemps. D'ailleurs les travaux dont elles ont él(' l'ohjet et les résultats remarquables obtenus dans ces derniers temps par MM. Herinite, Dedeklnd, Fuchs et Klein sont trop connus pour que j'aie besoin d'insister.

Mais il est une autre catégorie de fonctions fuchsiennes dont l'existence a été signalée dès 1872. Ce sont celles auxquelles donne naissance l'équation hypergéoinétrique de Gauss; ces fonctions ne sont iju'uii cas pjrliculier de celles que nous avons étudiées dans le paragraphe V et on les obtient quand le jiolygone Rq considéré dans ce paragraphe est symétrique et se réduit à un quadrilatère.

Dans un Mémoire inséré au Tome 7S du Journal de Borchardt, M. Schwarz annonce sans di'monstr.it ion que ces fonctions sont uniform 's el admettent un cercle coinine ligne singulière essentielle. C'était du iiièine coup annoncer la discontinuité du gnnipe correspondant, comme je l'ai déjà fait remarquer dans l'historique du Mémoire sur les groupes fuchsiens. Malheureusement, détourné de ce sujet par d'autres études, M. Schvvarz s'est borné aux quelques lignes (ju'il avait consacrées ii ces transcendantes et n'a pas ])oussé plus loin ses recherches.

Dans i\n autr.i ordre d'idées, M. .Scliwarz a\ait (d)ti'nu d'autres résultats qui se rapportent indirectemciil à notre su|cl. D.iiis di\ers Mémoires insérés aux Toines 70 et 7i du Joinnal. de liniiliardl r! aux Monatsberichte de l'Académie de Bf-rlin, M. Scliw.uz a ih moiilic <l uni' manière rigoureuse le principe dit de Diriclilcl et la pos^ilii I iti' dr 1 \ lihi Id 11 11 l; du ceicle sur une ligure plane quelconque et en pari icmIk r sur un poU goiu- limite par des ares de cercle. S'il

avail connu les conditions de discontinuité des groupes, il aurait pu être conduit ainsi à démontrer l'existence des fonctions fuchsiennes dans le cas particulier où le polygone Ro est symétrique.

J'aurais donc pu me servir de ces résultats, mais j'ai préféré suivre une autre voie :

i" Parce ce que je n'aurais [)u démontrer ainsi l'existence des tondions fuchsiennes dans le cas où le polygone Rj n'est pas symétrique ;

a" Parce que les développements en séries dont j'ai fait usage me donnaient non seulement la (Jémonstration de l'existence de la fonction, mais son expression analytique.

Il I'. II.