III. — Polygones générateurs

Considérons un groupe de substitutions imaginaires proprement discontinu, même pour les points du plan des çr\.

Nous dirons que c'est un groupe kleiiuîen. Un pareil groupe subdivisera une partie du |)1mii des ?7, en une infinité de régions Ro, R|. ■■■,R„ ■■-, de telle façon qu'à chique région R, corresponde une substitution S, du groupe qui change

MÉMOinE SIB LES GROLTES KI.EINÉËNS. 1?'

Ro en R/. Considérons la réf^ion R^ et une autre réj^ion quelconque R| limitrophe de Rq ; elles seront séparées par une portion du périmètre de Ro qui leur servira de frontière commune et que j'appellerai côté de Rn- Maintenant un pareil côté pourra être une courbe l'ermée ou un arc de courbe limité à deux points qui seront des sommets de Ro- Soit C un quelconque des côtés de Ro, il V aura toujours un autre C(Ué C de R,, tel qu'une des substitutions du groupe change C en C Les côtés C et C seront dits conjugués.

La subdivision du plan ou d'une partie du plan en une inlinité de régions R peut se taire d'une inlinité de manières [cf. § 1\ et IX du Mémoire sur les groupes fuchsiens). Commençons par donner quelques définitions. La région Ro s'appellera polygone générateur du groupe; je dirai que deux régions R et R" sont équivalentes pu' rapport à un groupe (1 quand on peut passer de l'une à l'aulrc de la façon sui\anle. Décomposons R en un certain nombre de parties /', , ;■'., ..., /■' . Soitr|' la transformée de r[ par une substitution S, du groupe C. L'ensemble des régions partielles r"- devra former la nouvelle région R". Il est clair que si Rq est un polygone générateur du groupe G, on pouriM prendre aussi [)our [)alygone générateur de ce groupe toute région i'(pii\alente à R„. Supposons, en particulier, qu'on retranche de Ro une poitioii ([uclcompie Pq de sa surlace et qu'on ajoute à R„ la surtace P|, transformée de Po par une quelconque des sulistitutlons du groupe. On obtient ainsi une région RJ, = Ro + P,) — Po équivalente à Ro, et l'on pourra, par conséquent, remplacer le polygone générateur Ro par le polygone Rj,.

iNoiis pou\ons profiter de cette circonstance pour simplifier la région Ro- En ellét, soient (J un côté quelconque de Ro et C son conjugué. Si C est un côté fermé, il eu est de même de (7; si, au contraire, C est un côté ouvert ab, C sera aussi un côté ouvert a' h' . Dans le premier cas, appelons K un cercle quelconque; dans le second cas, K sera un arc de cercle limité aux deux sommets a et b du côté C. Soit maintenant K' le transformé de K par celle des substitutions du groupe qui cliange C en C. Dans le premier cas, K' sera, comme K, un cercle fermé; dans le second cas, K' sera un arc de cercle limité aux deux sommets a' et b' au côté C. Appelons Po la portion du plan comprise entre K' et (>' : P,', la portion comprise entre K' et C. PJ, sera la transformée de Po par une des substitutions du groupe. Nous pourrons donc remplacer la région Ro par R[,= Ro — Po-f-PJ,. Dans la nouvelle région R|,, les côtés C et C sont remplacés par les côtés K et R' qui sont des arcs de cercle.

Jl est bon de remarquer ijue la région R,', n'est pas ainsi entièrement définie-,

■iyï MÉMOIRE SUR LES GROUPES KLEINÉENS.

car le cercle K n'est pas absolument déterminé par les conditions que nous lui avons imposées.

En opérant de même sur chacun des côtés de Ro, on finira par arriver à remplacer Ro par une région analogue dont tous les côtés seront des cercles ou des arcs de cercle.

On peut rencontrer ici la même ditlicultê ijue nous avons observée dans le purugrsipheiy <i\i Mémoire sur les groupes fuchsiens. 11 peut se faire que la région Po. telle que nous l'avons définie, ne fasse pas tout entière partie de Rn. Dans ces conditions, on arriverait à une région RJ, concave, au sens donné à ce mot dans le paragraphe cité; on tournerait la difficulté comme dans ce paragraphe.

Nous pouvons donc toujours sup]X)ser que la région Ro est un polygone limité par des cercles et des arcs de cercle ; mais il peut se faire que ce polygone ne soit pas simplement connexe, mais présente une connexion d'un ordre plus élevé.

Reportons-nous, en effet, au cas des groupes fuchsiens, ii ceux de la troisième famille, par exemple. Le polygone Rq, tel que nous l'avons défini dans le Mémoire des Acta 'mathematica^ t. I ('), est simplement connexe et limité par des côtés de la première et de la deuxième sorte; mais si l'on adjoint au polygone R„ le polygone RJ, symétrique de Ro par rapport à l'axe des quantités réelles, la région totale Ro + Rg, qui est l'analogue de la région Rg étudiée ici, sera multiplement connexe.

Nous serons conduits, ici comme dans le paragraphe \ du Mémoire sur les groupes Juclisie?is. hiliiliibxier en cycles les sommets de Ro; mais comme nous n'a\ons ici rien d'analogue aux côtés de la deuxième sorte, nous n'aurons que des cycles fermés et pas de cycles ouverts. Soit Ao un sommet quelconque de Ro; soient A,, Aj, ..., A„, les sommets qui appartiennent au même cycle que Ao, écrits dans l'ordre où on les rencontre en appliquant la règle du paragraphe cité. Décrivons autoui' de Ao un contour infiniment petit et supposons qu'en suivant ce contour on rencontre successivement les polygones Ro. Ri, R2, ..., Rn i, R/i, Si « < /i, le sommet Ao considéré comme appartenant à R/ sera l'homologue de A,; considéré comme appartenant à R,j, il sera l'homologue de Aj. Il suit de là que la substitution qui change Ro en R« admet Ao pour point double. Elle |)eut être d'ailleurs elliptique, parabolique

I ') Théorie des groupes fucltsiens, ce t'uiiie, p. rj'j.

MÉMOinE SIR LES GROUPES KLEINÉENS. 2yZ

OU hyperbolique, mais non loxoflroniique. Cette quatrième hypotlièso iloil, être rejetée (').

En effet, soit Iv ^ pe"" le mulliplicatcur de notre substitution loxodromiqiie; soit j/ un noml)re entier assez grand pour que pio^2TZ. Désinnons \y.\v IS,, l'ensemble des pulygones Rq, R,, ..., R„,; par ï, IVnsemljle des liolygones R„, R„+(. .... Ra/z-i. c'est-à-dire la transformée de -o par notre substitution loxodromique ; soient ensuite 2j la transformée de 1,, Sj celle de S21 t'iP- Il est aisé de voir (jne ï^, recouvrira partiellement lune des régions -1), S,, ..., S^,, ce qui est absurde puis([ne le groupe est supposé proprement discontinu.

Reste à examiner les trois premières hypothèses.

Dans le premier cas, nous dirons que le cycle est elliptique (-); la somme des angles du cycle devra être une partie aliquote de 2:1.

Dans le deuxième cas, le cycle sera parabolique; tous les angles du cycle senuit nuls.

Dans le troisième cas. nous aurons un cycle hyperbolique; tous les angles du cycle seront encore nuls. Nous venons dans le paragraphe suivaiil ((uon peut toujours remplacer le polygone H,, par un autre équivalent et n"a(hiii'tlant |>as de cycle hyperbolique ('■').

Je dis maintenant ipTon peiil loujour-- supposer qu'un cvide donni' se ('om|)ose d'un seul soMiintl. l-,n ellel, rcpriMums le polygone W„. le sommet \„ de ce polygone ci lr> >orrirurl-, V|, Ao, ..., A„, ipii apparticnncul au nuMue cycle, (lonsulérons aussi le contour iidiiiirurnl pelil que nous aMuis di'çnt autour de jVq et les p:)lyg<m('s II,, ]\.,, ... (ju'on rencontre suecessivcnu'nl en suivant ce contour. Soit S, la substitution qui ciiange Ro en R,-. Décomposons

(') I^a li'oisirme ii\ ptalicst* doit iuissi i-Iit ri-jctce. Tour la moine raison ijue dans le ras d'un j;i-oiipe fui'lisii-ii, le |iiiI\f;one U„ ne priil pas adiin-Un- de i\ele liyperliolique. Voir la Noie page i3,'|. ' " N. E. N.

(-) Les cycles que nous appclmis ici eUi/itif/ucs, />aiaboli'/iirs <■{ /lyperbo/ii/ues soûl analogues lespcclivenient aux cjcies de la preniiéie catégorie, de la Iroisicme sous-catcgorie el de la <|ualiicine sous-calégorie du Mémoire sur les groupes fuchsiens.

{') Nous avons vu dcj.'i au\ paragraphes I\ el \I ilu Mémoire sur les groupes fuchsiens tl au ])HVîi'^rn[\\ïC H f\\i Mémoire sur les fondions fiicUsieniies. <(ue tout groupe du deuxième ordre de la deuxième, de la quatrième, de la sixième ou de la septième famille, est identit(iie à un groupe de la troisième ou fie la cinquième famille, ou à un groupe du premier ordre de la sixiènii' ou de la sc|il ièiin famille. Kn d'autres termes, si le polygone générateur d'un groupe fuclisieii admet un c\cle de la ([ualrième sous-calégorie. on peut toujours, par le procédé du paragraphe I\, le remplacer p.ir un autre pidvgone n'admettant pas de cycle de cette souscalégorie. Il en est de même ici.

le polygone Ro en n polygones partiels /'o, r,, /o, ..., /'h-i, <le telle façon que le polygone partiel /•, admette le sommet A,- et n'admette aucun des autres

sommets A„, A, V,,,. Soit maintenant r'^ le transformé de /•, ]>ar S,.

Alors r'g no dillVrera pas de i-g; l'ensemble des régions partielles ;•„, /', , ..., '«-1 t'"'""'''" '"1 piilygone RJ, qui sera équivalent à Ro et qui iiourra, par conséquent, servir de polygone générateur |)our noire groupe. Mais R|, admet le sommet Aq. et de telle façon que le cycle dont fait partie Aq ne se compose que de ce seul sommet.