IV. — Polyèdres générateurs

Considérons maintenant la moitié de l'espace située au-dessus du pian des ^tj et la subdivision de cette portion de l'espace en une infinité de régions Pq, Pj, ..., P,-, ..., telles que la substitution S,- de notre groupe change Po en P,-.

Considérons la région Po et une région quelconque P| limitrophe de Po ", elles seront séparées par une portion de la surface de Po que j'appellerai une face de Poi je dirai que ce sera une face de la première sorte. Si une portion du plan des ^ï; fait partie de la superficie de Po, ce sera une face de la deuxième sorte. Ces dénominations sont tout à fait analogues à celles que nous avons employées dans la théorie des groupes fuchsiens. Deux faces limitrophes de Po seront séparées par une arête. Cette arête sera de la première sorte si elle sépare deux faces de la première sorte, et de la deuxième sorte si elle sépare une face de la première sorte et une de la deuxième sorte. Les faces de la première sorte seront conjuguées deux à deux, de telle façon que chacune de ces faces soit changée en sa conjuguée par l'une des substitutions du groupe. Il résulte de là que deux faces conjuguées sont congruentes.

De même que les faces se répartissent en paires, de même les arêtes se répartissent en cycles à la façon des sommets des polygones générateurs. Soit Aq une arête quelconque de la première sorte; voici comment on trouvera les arêtes du même cycle. Soient Fo l'une des faces que sépare l'arête Ao, F'^ sa conjuguée; les faces Fo et FJ, sont congruentes. Soit Ai celle des arêtes deF'^quiesl Ininiologue de Ao ; elle séparera la face de FJ, d'une autre face !"',. Nous opérerons sur la lace Fj et sur l'arête A, comme nous avons opéré sur la face Fo cl l'arête Ao. Nous obtiendrons ainsi une suite des faces Fo, F,, Fj, F3, ... et une suite d'arêtes Ao, A(, A2, A3, ..., et nous nous arrêterons quanil

nous retomberons sur l'arête Aq- Toutes les arêtes ainsi obtenues feront |)artie d'un même cycle.

Soient Ao, A,, ..., A„| ces arêtes que je suppose au nombre tle n. Supposons qu'autour du l'arête Ao nous décrivions un contour inlininient petit; en de'crivant ce contour, on traversera successivement q réglons Poi Pi' •••! l'./-i- Si i <; «, l'arête A^ considérée comme a])|)artenant à P, sera l'luiui(d(ii;ue de A,; considérée comme appartenant à l'„, elle sei.i rii(uni)I(i;;nc de A„. AiiiM, la substitution qui change Po en P„ n'allcrç pas A^. Il suit de là :

i" Oue - est- un nond)re entier; ^ Il

2" Que la sidistitulion (pii clianj^e l'o en P,j e^t elliptique cl a [lour uiulli- /( plicateur e '' ;

3° (^ue l'arête \„ est un cercle symétrique jmr rdjqxirl au itlaii des çyj ;

\" (^ue la somme des dièdres relatifs aux dillércntes arêtes du cycle est une