ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 112. p. ~^^'-~fi'{ (i3 avril iSçji).
La question de l'intégration algélirique des équallons différentielles du premier ordre et du jiremier degré n'a |ias attiré l'attention des géomètres autant qu'elle le méritait. La voie a été ouverte, il v a vingt ans, par un admirable travail de M. Darboux; mais les analystes ont été fort longtemps sans s'y engager, et ce n'est que tout récemment que le problème a été repris par MM. Painlevé et Autonne, dans deux Mémoires que l'Académie vient de récompenser. L'importance du sujet me décide à publier quelques résultats qui s'y rapportent, bien qu'ils soient fort incomplets.
J'écrirai l'équation différentielle sous la l'orme suivante
dx
L, M, N étant trois polynômes entiers, homogènes et de degré m en .r, j- et ;. Le nombre m s'appellera la dimension de l'équation. Si l'intégrale générale est algébrique, elle s'écrira
G étant une constante arbitraire, et y' et o étant deux poh nomes homogènes d'oi-dre p en x, r et ;. J'appellerai rentarc/uaOles les valeurs de C pour lesquelles le polynôme / + Gcp n'est pas irréductible. Si l'intégrale générale algébrique a été mise sous sa forme la plus simple, ce que nous supposerons, le nombre des valeurs remarquables est fini.
SUR l'iNTKGRATION ALCKBRIQUE des ÉOI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES. 13
Le problème dr l'inlégration algébrique des équalions difTérentielles serait résolu si l'on avall, dans tous les cas, une limite supérieure du nombre p.
Les points singuliers de léquation différentielle sont donnés par les équations
Ils sont au nombre de m'-]- m -f- i ; nous les su/iposerotis tous distincts.
Soit alors Xo, Yc, z-a un de ces points singuliers; dans le voisinage de ce point, l'intégrale générale peut se mettre sous la toime
Xyi \^ = i-oiiM.,
S étant une constante, i'X X,, X^ étant deux séries ordonnées suivant les
puissances de > — — — i s annulant au point sin<;ulier.
Il y a quelques cas d'exception : s'ils se présentaient, on serait certain que 1 équation n'est pas intégrable algébri(|uement ; on en serait certain également si, pour un des points singuliers, l'exposant S n'était pas réel et commensurable.
Supposons donc que S soit réel et commensui'able ; nous appellerons nœuds les points pour lesquels cet exposant est positif, cols ceux pour lesquels il est négatif.
Nous poserons S = |^ pour les nœuds, S :^ — - pour les cols, fx et v étant
deux entiers premiers entre eux.
J'envisage un nœud et je suppose que la courbe
ait en ce nœud À branches distinctes: ce nœud sera d'ailleurs, en général, un point singulier pour chacune de ces branches. Je démontre que l'on a
p-= S À- |Jiv. . ( »i -4- -J.)]} = Sf-i'^-i- '')■
les sommations du second membre devant être étendues à tous les no'uds.
M. Painlevé a posé le problème suivant : Heconnaîlre si r intiigrale générale di- l'équation différentielle est une coaibe algébrique de genre donné, et il a énoncé un certain nombre de remarquaiiles propositions (|ul peuvent aider à trouver la solution, au moins dans certains cas particuliers.
34 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles.
Je trouve, en ;i|ipc'lnnt q le genre,
celle formule conlienl la solution du |iroblénie de M. Painlevé toutes les fols
que m > 4-
Considérons une valeur remarquable de C et supposons que /+C9 ne se réduise pas à- une puissance d'un pol\nomr ii rrductible ; je démontre que la courbe /+ Co 3= o va alors passer par un ct)l.
Je montre encore que le nombre total des valeurs remarquables ne peut dépasser le nombre des cols de plus de deux unités.
Voici quelques autres résultats :
Si tous les nieuds ont pour exposant .S^ + i, le nombre de ces nœuds est au moins égal a •
Si l'on a S =+i pour tous lis nœuds et S ^ — i pour tous les cols, le nombre
1 1 . • . ^ , , . ( //f + -2 )des nii'uds est précisément égal a — •
Si, pour les cols, on a S = — i , on a la formule
ai a.( m -\- i ) = pi x, -+- 2, ).
a, et y-ï étant deux entiers premiers entre eux.
Celte formule limite le nombre p et, par c<)nsé(iucnt , résout complètemeni le problème dans ce cas particuber.
Le princijH' qui m'a conduit à ce résultat est peut-être susceptible d'être étendu à des cas plus généraux; j'es|)ère que plus d'un chercheur s'y efl'orcera dès que mes démonstrations seront publiées.
SUR LINTKGRAÏIOX ALGEBRIQUE
DES
