SCR UN THEOREME DE M. FUCHS. I
Soient
'•'(•'% J) = "> l'"i(-''i, ri) = o
deux équations qui représenteront deux surfaces de Riemann S„ et S, et on même temps deux courbes algébriques C„ et C|. Soient m„ ot /?; , les degrés de ces deux courbes qui auront le même genre p. Soit
(19) A, 9,(.r. jk)-I-A, 0;(x, j')+. . .+ A/, =;,(.r, y) = o
l'équation générale des courbes d'ordre /»„ — 3 qui passent par tous les points doubles de Co- Soit de même
(20) B, ■lyi.i-i, yi)~- )i,'h,{^^, yi) ^ . . .-^ Bp6^(.f,, 71) = o
l'équation générale des courbes d'ordre //i, — 3 qui passent par tous les points
doubles de C| . Soient
H (,A„ A.. .... Ap) = o,
les deux relations ali;ébriques et homogènes par rapport aux A et aux B qui expriment, la première que la courbe (19) est tangente à Co, la seconde que la courbe (20) est tangente à C(. Si, d'autre part, x et j' sont les coordonnées du point de contact des deux courbes (19), et Co, si .r, et Ki sont les coordonnées du point de contact de (20) et de C, . on aura
les fonctions R, R', R,, R', étant rationnelles.
Si les deux surfaces de Riemann S,, et S| ont mêmes modules, les deux formes algébriques 0 et 0, seront algébriquement équivalentes, c'est-à-dire qu'on pourra passer de l'une à l'autre par une substitution linéaire, ou en
posant
A,= Si.au-B/,.
les y.ik étant des coefficients constants.
La transformation birationnelle C|ui change S„ en S, sera alors facile à trouver. On aura en effet
avec les conditions
(22) F,(x,, j-,) = o, SBi^K-'-i, J')) = o, ^\ii^i{x-i,y,) = o,
3o SUR UN THÉORÈME UE M. FUCHS.
OÙ l'on a posé
(i;- '!ïi l^li' -''ii 'Z!li.
On pourra toujours trouver/? fonr.lions rationnelles de X| et de )-,
?l(,''l- .Kl •. Pît,-''!: 7l ). P/'t,.''!- .Il )>
qui, substituées à la place de B|, B:,, . . ., B^,, satisfont 'aux relations (22). On remplacera alors B, par Pi(ari, )|) dans les équations (21) et l'on ohlirndra ainsi la Iranst'ormalion hirationnelle qui cliango Sq en S|.
Les Invariants qui restent arbitraires dans la forme algébrique 0 sont nu nomljre de ci p — 3 cl ils doivent être regardés comme les modules de la surface de Riemaun Sq.
Il est une circonstance sur laquelle je désirerais maintenant attirer Fattanlion et qui facilite singulièrement la recherche des conditions d'équivalence des deux formes 0 et 0| et de la substitution linéaii'e ([ui les transforme 1 une dans l'autre.
Parmi les courbes (19), il j en a 2/'"' (2/' — 1 ) ==: P qui sont /; — 1 fois tangentes à Cq ; nous les appellerons les courltes k^] de niême il y aura, jinriiii les courbes (20), I' courbes /i 1 qui seront /; — 1 fois langentes à C|. I^a substitution
linéaire
qui change 0 en 0, devra transformer les P courbes />„ dans les P courbes A',. Il pourrait y avoir, dans le problème général, une assez grande indétermination; car on jtoiirrait se demander quelle est celle des P courbes /„ (pii se transformera dans une courbe />", donnée. Il j aurait | P combinaisons logiquement possibles, ce (pii obligerait à faire un nomljre très considérable d'essais iuuliles.
D'autres consi(|érations viendraient, il est vrai, réduire le noniln'e des conil)inaisons logiquement possibles; telle serait par exemple, pour p =^ 3, la disliibuliou des 28 tangentes doubles en 64 systèmes de \. Mais ce nombre n'en resterait pas moins très grand.
Fort heureusement, dans le prohlème particulier qui nous occupe, cette indétermination n'exisli; |)as. Quelle est celle des courbes k„ qui se transforme dans une courbe donnée / , ? La réponse est simple : c'est lacouil»^ /• „ à laquelle se l'éduit la courhe donnée /. 1 quand z^ se réduit à c,,.
On arrive même ainsi, presque immédiatement, à délerminer un grand nombre d'intégrales particulières de l'équation (A).
En effet, soit l'équation
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pour ; = ;,, elle représente une courbe C,, qui est tangente enP(/j — i) points aux courbes A-,. Considérons y, y' et r, comme les coordonnées d'un point dans l'espace; lorsqu'on fera varier ;,, les P( p — i) points de contact ( r, y') de Cl avec les P courbes A, décriront dans l'espace P(;j — i) courbes qui seront des intégrales particulières de l'équation (A).
Il n'y a donc aucune difficulté à craindre dans les calculs algébri(|ues qui conduisent à l'intégration da l'équation (AV.
Remarquons en passant que la considération des P courbes /,„ nous conduit à une seconde démonstration de ce théorème, qu'une surface do Riemann ne peut jamais être transformée en elle-même par une infinité de transformations birationnelles.
J'arrive à la conclusion définitive de ce travail. Les équations du premier ordre '/ui salis/ont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations di ffirenliçllcs.
Dans le cas de p ^ o, elles se ramènent aux équations Itnéaires ; Dans le cas de p t^ i, elles s'intègrent par une simple quadrature ; Enfin dans le cas de p y> i , elles s'intègrent par des procédés purement algébriques.
Nous devons donc renoncer à l'espoir de rencontrer parmi elles des classes essentiellement nouvelles d'équations intégrables par les transcendantes fuciisiennes. Tout au plus [>ourrlons-nous supposer qu'il en existe de pareilles, parmi les équations d'ordre supérieur; mais on ne pourra sen assurer que par une discussion spéciale, analogue à celle qui précède.
Le beau résultat de M. Fuchs en perd-il pour cela son intérêt? Je ne le crois [)as. 11 nous fournil en effet une classe très nombreuse déquations différentielles intégrables algébriquement. Les conditions de M. Fuchs sont très simples et il suffit d'un examen assez rapide pour reconnaître si elles sont remplies. On reconnaît du même coup l'intégrabilité algébrique, qui sans cette circonstance aurait pu passer inaperçue.
De plus, on peut fonder sur ce théorème une méthode pour trouver les modules d'une surface de Riemann; mais c'est là un point que je ne puis développer eu ce moment.
Paris, j5 novembre 1S84.
