ET DU PREMIER DEGRÉ

Rendiconti del Circolo Matematico c/i Palermo, t. ô, p. 161-191 (1891).

Introduction.

Pour reconnaître si une équation clit}'érenlielle du premier ordre et du ])reinier degré est intégrable algébriquement, il suffit évidemment de trouver une limite supérieure du degré de l'intégrale; il ne reste plus ensuite qu'à effectuer des calculs purement algébriques.

C'est là un problème qui, semble-t-il, aurait dû tenter les géomètres, et cependant ils s'en sont fort peu occupés. Depuis l'œuvre uiagistrale de M. Darboux, publiée dans le Bulleliii des Sciences mathéinalicjues, la question a été négligée pendant vingt ans et il a fallu, pour attirer de nouveau sur elle l'attention qu'elle méritait, que l'Académie des Sciences la proposât comme sujet du concours pour le (irand Prix des Sciences mathématiques. Deux Mémoires furent récompensés, M. Painlevé obtint le prix et .M. Antenne une mention honorable : l'un de ces deux Mémoires a été publié dans les Annales de V Ecole Normale supérieure et l'autre dans le Journal de l' École Polytechnique.

Les inégalités et les égalités ajoutées par ces deux savants à celles que M. Darboux nous avait fait connaître faisaient faire à la question un progrès très important, mais elles ne pouvaient suffire à l'épuiser complètement. Sup-

(') Présenté le ■>.(> avril 18111, iiiipiiiiii; le S mai 1S91.

36 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. posons, en effet, que l'intégrale générale sécrive

F = const.,

F étant une fraction rationnelle; on obtiendra une autre forme de l'intégrale générale en égalant à une constante un polynôme entier quelconque par rapport à F. Il en résulte qu'on ne peut trouver une limite supérieure du degré de l'intégrale générale algébrique, à moins qu'on ne trouve un moyen quelconque d'exprimer, dans les inégalités, que cette intégrale est irréductible.

C'est ce moyen que je me suis proposé de trouver.

M. Painlevé a parfaitement aperçu cette difficulté, mais il n'a pu en triompher; aussi n'a-t-il pu résoudre le problème dans toute sa généralité, mais seulement démontrer, dans un certain nombre de cas, que l'intégrale ne peut être algébrique.

Je n'apporte pas non plus une solution générale, et je me suis encore l)orné à un cas particulier; mais j'ai lieu d'espérer que ce problème tentera les chercheurs et qu'ils parviendront d'ici peu à généraliser le procédé qui m'a réussi.

M. Painlevé a posé le problème suivant : reconnaître si une équation difl'érentielle donnée admet une intégrale algébrique de genre donné; et il a ol)tenH divers résultats qui peuvent, dans certains cas, en faciliter la solution. Je donne |)lu> loin une formule qui contient la solution complète du problème de .M. Painlevé, toutes les fois que la dimension de l'équalion différentielle est supérieure à 4-

J'ai démontré quelques propriétés des équations inlégrables algébriquement. De pareils résultats n'ont pas pour le moment grande valeur; mais ils pourraient en acquérir le jour où l'on pourra reconnaître si ces propriétés s'étendent aux équations uon inlégrables, ou si elles ne sont pas toujours vraies pour ces équations; dans le premier cas, en effet, on aurait un théorème général applicable à toutes les équations différentielles, et dans le second cas on posséderait un critérium permettant de démontrer que les équations de certaines catégories ne sont pas intégrables.

En ce qui concerne la limitation du degré, qui était mon but priucijial, je me suis borné au cas où l'exposant de tous les cols est égal à — i .

SUR l'intégration algébhioue des équations différentielles du premier ordre. 3;

Résultats de M. Darboux.

Adoptons les notations de M. Darboux et écrivons l'équation différentielle

sons la forme homogène, c'esl-à-dire sou> la forme suivante :

(iz

L, M, N étant des polynômes entiers, homogènes et de degré m en x, y, z. Le nombre m est ce qu'on appelle la dimension de l'équation différentielle.

Si cette équation est inlégrable algébriquement, l'intégrale générale s'écrira

f - Go = o,

/ et cp étant deux polynômes homogènes d'ordre /) en .r, y et ;, et C une constante arbitraire. On déduit de l'équation (2) l'équation différentielle suivante

dx Jy dz X y z t., Ml N',

dz dy dy dz

df do df d^ dx dz dz dx

dy dx dx dy

Si donc on appidle A le premier membre de (1), et A, celui de (3), on aura

identiquement

F étant un [lolynome homogène en x, )', ;. Soit h le degré de ce polynôme, on aura

Comment formerons-nous ce facteur F? M. Darboux nous l'apprend éga-

lemenl.

Il peut arriver que pour certaines valeurs de C, que nous appellerons valeurs

re/narr/uables, la courbe

f -T- Go = o

soit décomposable. Il pourra arriver que pour certaines valeurs remarquables

38 SUR l'intkgiution algébrique des équations différentiei.i-es du premier ordre. de C que nous appellerons critiques, on ait

/-i-Cç = ;(f' uf ... ((f .

les iii étant des polynômes entiers homogènes, et les exposants a, n'étant pas

tous égaux à i .

On aura alors

le produit désigné par la lettre II étant étendu à toutes les valeurs critiques de C et à tous les facteurs m, (ceux dont l'exposant est pins grand que i interviendront seuls, car, pour les autres, a, — i s'annule et le l'auteur correspondant se réduit à l'unité).

On a donc, si n, est le degré de (/,-.

d'où

c a ) m -\- % = ). p — lia, — i ■) " , ,

la sommation représentée par la lettre i étant étendue à t(uites les valeurs critiques de C et à tous les facteurs «/,. On aura, d'autre part,

la sommation représentée par la lettre S étant étendue à une seule valeur remarquable ou critique de G et à tous les facteurs w, correspondant à cette valeur.

Des points singuliers.

Les points singuliers de l'équation (i") sont donnés par les équations

M. Darbbux a montré que ces points singuliers sont au nombre de

Nous supposerons dans tout ce qui va suivre que ces m- -t- ni + i points singuliers sont tous distincts.

SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordri:. 39 Formons réquation suivante en S,

I dh d\\f dM d^\

-\' Ty--'- djA' -717-^^ d^) ^^"^

OÙ l'on donne à x, y, z les valeur» qui iorre>|3on(ient à un point singulier.

On démontre que si S, et Sj sont les racines de cette équation en S, l'inlégrale générale peut dans le voisinage du point singulier être mise sous la forme

(6) Xfi x;^»=const.,

X| et Xj étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ^ — —

z Zq

et de - — '^1 en appelant .r„, Vo, c^o le point singulier considéré. Il pourrait y avoir une exception dans divers cas :

1° Si l'équation (5) se nkluit à une identité, delà n'arrivera pas si, comme nous l'avons supposé, les m- -\- m -\- \ points singuliers sont distincts.

2" .Si l'équation (5) a une racine nulle. Cela n'arrivera pas non plus si les m"-+ m + 1 points singuliers sont distincts.

3° Si l'on a .Si^Sj. Il arrivera alors, en général, que l'intégrale générale pourra se mettre sous la forme suivante

:r — r- A log X] = consi., X, et Xj étant des séries ordonnées selon les puissances croissantes de - — ^ '—

et de — — '— 6t A une constante numérique. I.e point singulier est alors un

point logaiithinique. Dans certains cas la constante A est nulle; le point singulier est alors ce que M. Autonne appelle un point dicrilii/iie.

4" Si le rapport ^ est réel négatif. Le point singulier s'appelle alors un col.

Il arrive, en général, que liiilégrale générale ne peut pas se mettre sous la , forme (6); le col est alors iirègulier ; mais il peut arriver également, dans certains cas particuliers, que l'intégrale générale puisse se mettre sous la forme (6), le col est alors régulier.

Pour que l'équation (1) soit intégrable algébriquement, il faut (mais il ne

suffit pas) : i" qui' pour l(*s poinU singuliers le rapport ^ soit réel et coninien

4o SIR l'intégration ALGEBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉREÎ^TIELLES DU PREMIER ORDRE.

surable; 2° que, si pour certains points eu rapport est égal à i, ces points soient dicritiqiics el non logarithmiques: 3° et enfin que tous les cols soient

réguliers.

Le rapport V s'appellera Vexposa/if i\u point singulier.

Les points singuliers pour lesquels ce rapport est réel et positif s'appelleront des nœuds (les points dicritiques sont donc des nœuds). Ceux pour lesquels ce rapport est réel et négatif s'appelleront des cois.

Si l'exposant d'un nœud est comraensurable et égal à -, /j. et v étant deux

entiers premiers entre eux. a et v seront les entiers cnroctéristiiiues du nœud.

De même, si l'exposant d'un col est commensuralile et égal à — -i[t.e\.v

étant deux entiers premiers entre eux, y. et v seront les entiers caracleristiques de ce col.

Si l'équation (1) est intégrable algébriquement, tous les pnints singuliers sont des nœuds ou des cols.

Des nœuds dicritiques.

Nous venons de définir plus haut les points singuliers dicritiques qui sont toujours des nœuds. En un nœud dicrilique la courbe

piésrnte en g.'néral un piinl multiple d'ordre } dont les tangentes sont distinctes. Mais il peut arriver que pour les valeurs remarquables de C, deux ou plusieurs de ces tangentes se confondent.

Soit C| une valeur remarquable de C, de telle sorte que

Supposons que pour la courbe f/,= o le nœud dicritique considéré soit un point multi|)le d'ordre >,,■; la courbe m^o étant indécomposable, les )., tangentes serout distinctes. D'autre part, les courbes h,=:o el !<y=o étant distinctes, les li tangentes à «,:= o seront distinctes des Ij tangentes à itj^= o.

On aura d'ailleurs

), ^ a, ).i — 0(2 À, -t- . . . -T- ax l/,,

ou, en conservant à la lettre S la même signification que plus haut, (ï) >. = S ^i >.o

9UB l'iNTÉGBATION algébrique des équations niFFÉBKXTIELLES DU TREMIER ORDRE. 4'

Le nœud dicritique considéré est pour A, un point d'ordre

et pour F un point d'ordre

Il doit tHre pour A =: -=^ uu point dordre i, en qui nous donne la relation

(8) -1 = > A — Si a,— I !>.,.

Examinons en particulier le cas où tous les nœuds sont dicritiqiies. Deux courbes

correspondant à deux valeurs Co et C| de C ne peuvent avoir d'autre point commun que les nœud!-; de plus, si l'on considère un nœud dicritique, les A tangentes à la première courbe difiéreront des "/. tangentes à la seconde courbe, de sorte que ce nœud comptera pour A- points d'intersection. 11 vient donc

le signe S signifiant que la sommation doit être étendue à tous les nœuds que

nous supposons tous dicritiques.

Un point multiple d'ordre )., dont les tangentes sont distinctes, a pour elTet

1)1- 1 , À I ). — Il d abaisser le genre de unîtes.

On a donc pour le genre de la courbe/-!- G» = o

D'autre part, envisageons l'intersection de la courbe indecortiposable

/ — Co = o

avec la courbe «/=o qui est un facteur de y'-f-Ci'j, C| étant une valeur remarquable de G. La première est d'ordre p, la seconde d'ordre «,-, et le nombre des intersections doit être /)«,.

D'ailleurs le nombre des intersections situées en un nœud dicritique est À?.,, ce qui donne (8) ■ /)/ii=SXX,.

Comparons uiiiintenant les relations (a), ((3), (y), (ô), (6), (j), (8). Multiplions la relation (8 ) par (z,- — i) et faisons la somme de toutes les relations analogues pour toutes les valeurs i-emarquables de G et pour tous les fac- H. P. — ni. !•

42 SUR l'intégration ALGRBRIQIE DES É(.irATII)NS IlIFFlinBNTIELLE? DU PHKMIF.R OHIIRI-.

leurs H, dont l'expoïaut est plus i;rand (jue i ; il viendra

/)S(a,— i)n, = SXlia,— l)>.,- OU bien

d'où une première remarque : ^i m n'est pas pair, /; doit être pair. L'cquation

nous donne d'ailleurs

■i /j' — ( m -4- 2 ) /) = 2 s X^ — 2 s )., d'où

]Mais nous avons écrit

on enfin

Ci'la prouve :

n' ■? /) SX= SX

X / /rt — 2 ' 1 \

i" Que /J nu //( doivent être divisii)les |iar j, ou (pi'ils doivent ètri' lous deux pairs ;

2" Que si m = 4i le genre est égal à i ;

3° Que si 7» <; 4i !<' genre est égal à o; donc /? = 7 — ^ — . d'où /* = 2 pour //i = 2. /> = 4 pour »i :=: 3 ;

4" Que si m > 4) le genre est plus grand cpie i.

Des ntriids luonocrilii/iic'.s. — Abandonnons maiiilenant le cas partirulier où tous les iKi'uds sont dicrili(|ues. Lhi mi'ud /iionncritir/iic (c'est-à-dire dont l'exposant n'est pas égal à 1) est pour cliacune des branches de courbe qui y passent un pninl multiple d'ordre p, /j. élanl le plus [lelit des deux i-ntiers caractéristiques ;j. el v.

Il y a excej)lion pour deux branches de courijes remarquables, à savoir jiour

les branches de courbe

Xi=o, Xj=o;

pour ces deux branches le nœud est nu pdinl siiuple. Considérons la courbe indécoiiqiosable

y-^ Cep = o

el supposons qu'elle admette À branches de combe passant par le nœud considéré. Cherchons cjuel est l'abaissement correspondant du genre et le nombre

SUR l'intégration ALGÉBBIOTE des KOUATIONS DIlKÉRKNTltLLES DU PREMIER ORDRE. 43

des points d'intersection de deux courbes y'-f- Cep =r o, y-t-C,9^o qui se trouvent au nœud considéré.

Pour cria, il nous faut d'abord connaître le nombre des points d'inliTsection de deux branches de courbe.

Les équations de ces deux branches de courbe pourront s'écrire

vu- -, YV YiA ^' X'',

y et y' étant deux constantes; or, en combinant ces deux équations linéairement entre elles, on trouve

ce qui montre que le nombre cherche est égal à [vj.

Considérons alors les deux courbes /+ Co ^ o, /+ C, 9 = o ; chacune des >. branches de la première coupe chacune des 1. branches de la seconde eu /jv points confondus. Le nœud compte donc en tout pour À-'p.v intersections.

11 en résulte que la formule (()) doit être remplacée par la suivante (6 bis) p- = S \- IX V.

Passons à l'abaissement du genre.

En appliquant une règle connue, on trouve que cet abaissement est égal à

2 2 2 de sorte que la formule (j) devient

(7 6,>) ^^(/'-■H/>-^)^^s^(.-ix-v).

Considérons maintenant les valeurs remarqualiles de C; soit C, un(; de ces valeurs, et soit

Nous dirons qu'un facteur u^est siii^nU<:r par rapport au nœud nionoeriti(pie considéré, s'il s'annule identiquement pour X, —- o ou pour X2= o.

Si le facteur », est singulier et s'annule identiquement pour X| = o, son exposant a, doit être divisible par p.. S'il s'annule identi((ueiuent pour Xj = o, l'exposant a, devra être divisible par v.

Mais il peut arriver que le facteur tu soit doubletnrnt singulier et (pi'il s'annule identiquement tant pour Xj = o que pour Xo = o. Dans ce cas l'exposant o-i est divisible par fzv.

44 SIR l'intégration algébrique des ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Enfin, il peut se faire qu'un même facteur «, snil singulier par rapport à plusieurs nœuds monocritiques.

Pour chaque nœud monocritique, il existe toujours deux facteurs singuliers (ou un seul facteur doublement singulier) correspondant soit à une même valeur remarquable de C, soit à deux valeurs remarquables diflérentes de C; et il n'eu existe (|ue deux.

On peut faire une distinction do |)lus; s\ipposons p •< v; nous dirons que le facteur a, est critiijue s'il s"annulc pour X, = o et hj jiercritique s'il s'annule pour Xo = o.

Cherchons d'abord quel est, en un nœud monocritique, le nombre des points d'intersection d'une courbe indécomposable

f- C 9 = o et d'une courbe m,= o.

Soit \i le nombre des branches de la courbe //,= o qui passent par le nœiid considéré. l'our chacune de ces branches le nœud sera un point multiple d'ordre [j. (je suppose toujours p. < v) sauf pour une d'entre elles (pour laquelle le nœud sera un point simple) si le facteur «, est singulier et pour deux d'entre elles s'il est doublement singulier.

Pour» deux branches de courbes quelconques, le nombre des points d'intersection confondus avec le nœud est égal à /j.v; il v a exception si l'une des branches de courbe est X| = o, ou X2 = o. Si c'est X, = o, le nombre des intersections est égal à v, et [)Our Xj^ o il est égal à p..

Donc, pour nos deux courbes le nombre total des intersections confondues avec le nœud sera

XX,jjiv si le l'acteur », n'est p.is singulier,

X ).,(/v — X (|ji — i)v s'il est critique,

X Xjjiv — X( V — i) [Ji s'il est hypercrilique,

XXi(j. V — X [( [0. — i) V -t~ (v — I) \i.] s'il est doublc;inenl singulier.

Que devient la formule (y)?

Le nœud est pour la courbe (/,= o un point multiple d'ordre

X,(ji si le facteur «, n'est pas singulier,

fX, — i') jji + I s'il est singulier,

(X, — 2) jji — 2 s'il est doublement singulier.

D'autre part, soil C, une valeur remarquable de C. Le nœud sera pour la courbe /+C|Cp = o, un point multiple d'ordre Âp. si aucun des facteurs

SUR l'intégration ALGÉBniQlE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PBEMIER ORDRE. 45

de /+C,o n'est hypercritique (ou doublement singulier), mais si l'un des facteurs est hypercritique el que son exposant soit égal à a,, ce sera un point

multiple d'ordre >.JJL + — (v — p.). D'où les équations suivantes qui sont les

différentes formes de l'équation (y) :

X = Sa,)v, s'il n'y a aucun facteur singulier.

X = S a,X; -(- a, ( I ) s'il y a un facteur critique d'exposant ai ,

X = S a,À, -t-at] ( - — t 1 s'il y a un facteur hypercritique d'exposant «i,

X = Sa,X, + ^i(-- — 1)^«2( ■) s'il y a un facteur critique d'exposant a,

et un facteur hypercritique d'exposant aj,

X = Sa,X,-J-a, (-'- ^i ) -^a, ( 1 ) s'il y a un facteur doublement singulier

d'exposant a,. Le nœud sera pour F un point multiple d'ordre

i: I a, — 1 ) X , ;ji — ( a, — I :n fi — I j — ( a.^ — i ) ( fi — i ;,

en appelant x, et x.j les exposants des deux facteurs critique et hypercritique qui existent toujours.

Le nœud sera aussi pour A, un point multiple, mais de quel ordre?

Le déterminant fonctionnel de / et de .. par rapport à .î et à )• par exemple (que nous avons appelé L,) est égal au produit du déterminant de /et de 9 par rapport à X, et à X.j, multiplié par le déterminant de X, et Xj par rapport à .: et à )•.

Il importe de remarquer que les deux séries X, et Xj ne sont pas entièrement déterminées. En effet, nous les avons définies en écrivant que dans le voisinage du nœud l'intégrale de notre équation s'écrit

Xi;- = const. X^.

Si Y est une série quelconque ordonnée suivant -les puissances de ^ -r ^^

de^ — ■— et ne s'annulant pas au nœud, on peut remplacer X, et Xn par