II. P. - ni

434 SUR I.A RÉDlflTrON DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. ETC.

une peiinutilidii déleiininée des noiiil)res i, 2, ..., n qui peut, d'ailleurs, s'olilenir avec les permutations associées aux côtés.

.Supposons que P possède 2N côtés et Q cycles de sommets; soient aN' et Q' les nombres correspondants pour P'.

I^a permutation correspondant à un cycle de sommets do P' se laisse décomposer en permutations circulaires. Supposons que pour l'ensemble des cycles de P , on obtienne ainsi À, permutations circulaires de / nombres. On aura les

relations suivantes :

:>yD = \ — (J -f-i.

iq = N— Q' + I, Q -r- a/y — 2 = /( I, Q' -+- 2 ç' — 2 ), «1 Q' — Q I = ■?.(p — i) — -in(q — i),

Les considérations générales que nous venons de développer nous permettent de déduire une suite de propositions belles et importantes sur la gèotnèlric non euclidienne des polygones formés d'arcs de cercle et sur la géométrie des courbes nlgèbriijues. J'indiquerai quelques exemples de ces propositions sans m'attaclicr à les démonlrrr en détail, les principes des démonstrations étani cnutenus dans les résultais précédents :

(Il p = i, y = 2, n — 2, m = m' = 4-

Par les lettres m et /» , on désigne les ordres des courbes C et C. La courbe C n'a pas de poini double, C a un point double.

Des vingt-huit tangentes doubles de C, il y en a six (jui passent jiar un point extérieur à la courbe.

(II) p = i, 5 = 2) n = 2. w( = 1. m' = 5.

C a deux points doubles, G' un seul. .Si l'on égale à zéro la difFérenlielle de l'intégrale réductible de première espèce, on obtient un faisceau de coniques, dont les quatre points-base sont les deux points doul)les de C et deux autres j)oinls de cette courbt\

Six de ces coniques louchent C deux lois. Celle de ces coniques qui touche C en un point base y est osculatrice :

(III ) p = '■ 1 — ', /i = 2.

La courbe C est u/ie courbe multiple de deux courbes difierentes C et G". Il existe un groupe fuchsien G auipiel on peul associer un premier polygone Pj