SUR LA RÉDUCTION DES 1^T1^UBAL^!,S AUÉLIENNES, ETC

constitué par deux [lolvgones d'un groupe G', correspondant à G' et aus^i un second polygone Po composé de deux polygones d'un groupe G" corrcspondanL à G'.

La figure schémalique ci-dessous servira à la compréhension des ra|>porls mutuels de ces éléments.

Les deux diuuaines tVindauientaux l', et l\, .^oiU icprésenlés par les polygones avec les sommets respectifs A et G. Ghaeuu d'eux se décom]>ose en deux iiexagones rpii sont les domaines Guulainentaux de (i' et de G". l'our faire apparaître plus nettement l'équivalence de Pi et P^. on a lié les centres de symétrie de ces hexagones au milieu des côtés de telle sorte ([uo tous les polygones soient formés, d'une manière visible, de quadrilatères.

.le passe maintenant aux propositions de géométrie des courhes algébjiijues

436 SIR i.X nÉDlCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC.

que cet exemple illustre. Si l'on marque sur C un point .M', il lui correspond deux points M„ et M4 sur C. A chacun de ceux-ri correspond un point de C, soit M,,. Ml,.

On peut conclure de même, qu'en général, à chaque point de C correspondent deux points de C.

La correspondance ( C, C) a, d'ailleurs, deux points de ramiticaliun Al,, M!,, à chacun desquels ne correspond (ju'un point de C et par suite, qu'un point de C"; soient Mj, M,i ces points.

De même, la correspondance (C", (1) possède deux points de ramification N,, N.^ à chacun desquels ne correspond qu'un point de (- ; soient N',, IN,, ces points.

Nous pouNous alors énoncer la ju'emière proposition en disant : N, et N], d' une part, \\\ et ^1", d'aulre part coïncident.

La deuxième proi)osition suppose que (7 et (', ' sont des ('(Uirijes de Inusièrnc ordre.

Menons en N', (qui est aussi N'.,) la tangente à C cl aussi la sécante M, M.J. Ces deux droites se coupent sur C .

De même, si l'on mène en M, (([ui est aussi .M'^), la laugente à C" et si l'on prend son point d'intersection avec la sécante N'J N'^, on obtient un point de C".

Ces quelques exemples font reconnaître suffisamment combien nombreux sont les cas particuliers.

SUK

Comptes rciifliif (k- l'Académie des Sciences, t. I0'2. p. 202-204 (iN janvier lïiSti).

11- y a le \Au> ^laïul inlérêl à tenliT de généraliser les ilicories de Caucli) sm- k's inlégrales prises enlrc des limites imaginaires et les résidus des fonclious dune variahle : c'est Tohjet des considérations snivanles.

Soient

<leu\ variables imaginaires et

F(5, r,j = l' ii)

une fonction de ces varial>les. Posons eiiMiile. pour définir le contour |iiii .uir/'ii'-i'\ d'intégration,

.1- ^ ^,1 II. !■ ). \ =z z.,(ii, r). ; = y:;I/', I- 1. / —- Z;i II. f),

Il et P étant deux j)araniètres arbitraires réels. Soient inainlenani |\, ^ ). (\, /] diverses t'onctions de x, y, ;; et /; nous supposerons

Soit

i){j\ y) dx ily lie d y '){ii, c i du dv </{• du

le déterminant fonclionntd de ,r et )• par rapport à u et à r. Considérons l'intégrale doulde

J J I ^ ' àui, c) '- '>{u, (•) '- ^à{ii, c)

'- ^i){ll,i-) '- 'c)(lH-) '- ^<l(ll.i.-^\

Quand on permutera u et r, l'intégrale changera de signe : je dirai alors qu on change le sens de l'intégration. Considérons trois fonctions entières quel-

438 SVn LES résidus UES INTÉGUALES DOL'bLES.

conques de x, y, 5 et / et envisageons-les comme les coordonnées d'un point M dans l'espace. Faisons varier ensuite u et r : si, quelles que soient les fonctions entières considérées, le point M décrit une surface fermée, je dirai que le contour d'intégration est fermé.

Les conditions d'intégraljilité, c'est-à-dire ie^ conditions pour (jue l'intégrale soit nulle, toutes les fois que le contour d'intégration est fermé, sont au nomlne de (lualre. L'une d'elle est

><'[\,V] c/[V,Z] cljl, \| ,/z " <l.r ,ly ^ "'

et les autres s'en déduisent par permutation des lettres r, y, ^. <: X, 'i , Z, T. Xous poserons alors

- (■•■•-'î''fel-(''--<3>^]''"''-

Il est aisé de voir (|ue les conditions d'intégrabilité sont remplies.

J'envisagerai le cas où la fonction !•'(;, r/) est rationnelle et je l'écrirai sous la forme

en décomposant le dénominateur en ses facteurs.

11 ne faut pas que la fonction K devienne infinie eu un point du contour d intégration. En ex|)rimant que i|; ou 'J s'annule en un |)Oiut de ce coulour, on ()i)tieal (]uatre équations ali;él)ri(|ues à quatre inconnues. On doit s'arranger iiour (pie ces quatre é<piations n .lii'ul aucune solution réelle.

Je ne puis exj)oser ici le mode de re|)résentation, grâce auquel on peut s'afifrancliir de l'hypergéomélrie et reconnaître, à l'aide de la Ciéométrie ordinaire, si l'intégrale, pri-e le long d'un contour fermé, est réellement nulle. Je me bornerai à indiquer quelles sont les différentes périodes de 1 intégrale double, c'est-à-dire les valeuis qu'on obtient en prenant l'intégrale le long d'un contour fermé. Ces pi'riodes sont de trois sortes :

1" Le> périodes de la prcmiéie soi-te sont égales à an /11, Il élanl une période di' première espèce de l'intégrale ai)élienne

di,

SIR LES lllisIDlS DES INTÉGRU.ES UOl BLES. 4jy

relative à la couibe algébrique

Il en est de même pour la seconde courbe algébrique,

:->," Les périodes de la seconde sorte se liippoilcnl aux points d inlerscclion des deux couiIjos

il?, T,)=0, 0(ï. "0 = 0.

Elles ont |iiuir valeur

; Cl r, étant les coordonnées du point dinterseclion.

■V' Les périodes de la troisième soilc se lapporlenl. par exemple, aux points doubles de la courbe

IJl ;. Y, I = n.

Elles ont pour valiiir

''-'■' y {jîurj -T7F7?v

i et r, étant les coordonnées du point double.

Ainsi se Iriune confirmé, et en même lemjjs com|)lélé et précisé, un beau résultat obtenu dernièrement par ^L Stieltjes au sujet d'une généralisation des formules de Caïuhy et di' Lagrange.

SUR

LKS UÉSIDUS DES INTÉGKALES DOUBLES

Acta niatliemalica, t. '.I. |i. .".ai-iiSo (1887I

C'est à Caucliy que lONienl la gloiri' d'avoir fontlé la ihéorie tic-, intégrales prises entre des limites iniaf^inaircs; cette théorie a [loui- ainsi diie doublé la puissance de l'Analyse mathématique et a été le point de départ de tous les travaux qui ont suivi, dans tous les pays où Ton cultive les sciences exactes, et en particulier en Allemagne et en France.

Il semblait qu'il n'y avait plus qu'un pas à faire pour étendre cette théorie aux Intégrales doubles et qu'on pouvait se promettre de cette extension d'aussi belles conquêtes ipie de la considération des intégrales simples. Il v avait là de quoi tentei' l'ambition des géomètres et cependant, au bout de quarante ans, nous sommes à peine plus avancés qu'au premier jour.

La plupart des tenlali\es qui ont été faites n'ont l'té que de-- échecs ou des demi-succès.

On croit pouitanl tjue .lacobi possédait à ce sujet plusieurs résultats importants; mais ces résultats n'ont pas été publiés et ont été perdus pour la Science.

M. Maximilien Marie a entrepris de résoudre la question et écrit, peu de temps après la découverte de Cauchj, plusieurs mémoires qui ont été publiés longtemps après dans le ii' Cahier du Jnitrnal de l'Ecole Polylcclmiiiuc . Ses efTorts néanmoins n'ont pas été heureux. .le ne parlerai pas ici de l'insuflisance lie certains raisonnements londés sur des considérations infinitésimales. Bien (|U(' toutes les démonstrations soient à refaire, la (onnule à laquelle l'auteur parvient est exacte si on linterpri-te eonvenablement, mais elle exigerait poiii' pouvoir è! le a pplif[uée sans crainte dCi rein- une discussion délicate que M. Marie n'a pas faite.

Pour faire coiii|iieiiilie la nécessité de cette discussion, je ne citerai qu'un

SCH LliS RKSIOUS DES INTl.GRAI.ES DOUULIiS. 44l

scLil exemple L'aïUeur donne [loc. cit., p. 58) l.i formule suivanle :

o- r r dxdy 4. , /-

Celle loriniile est iniinifeslenient laiisse; car on a dans le premier membre acl dans le si'cond le fnetpur r/-'. En réalité l'inlégrale du premier membre est nulle.

Comment l.i formule de M. Marie se Irouve-t-elle en défaut? Il est aisé de 1(^ voir ; dans cette formule enire le volumelimilé par unesurface qui, dans l'espace, a pour équation

C'est une spliére, et l'auteur éciit cpie ce volume est -i^ 7ra ". Mais pour appliquer

correclemenl la formule, il aurait fallu regarder cette surface non comme une

sphère, mais comme un tore dégénéré dont la section méridienne aurait son

centre sur l'axe de révolution. Le volume aurait alors été nul, et l'on aurait

trouvé :

u- f /^ (l.v dy

'JJ ^~r

On voit quels pièges aurait à redouter l'analyste inexpérimenté qui voudi'ail faire usage de la formule de M. Marie.

Les premières recherches de M. Picard présentent beaucoup plus, d'intérêt, comme tout ce rpii sort de la |dume de cet auteur. Mais elles ne se rapportent qu'indirectement à la question.

Dans deux ^Notes insérées aux Comptes rendus le 29 janvier i88.3 et le 1''' février 188G, M. Picard étudie des intéurales, définies comme il suit :

Soit F(jr,j') une fonction uniforme de x et de y; introduisons deux variables auxiliaires u et c, imi posant :

,1e supposerai (pie les ffuictions o et J/ sont uniformes et de plus que

r( ./■. Il i\<i II . \- \

est une loiKtion uiulorme de //et dr r.

Cela pose', soient (/„, r„ et r/ , . r, deux svstémesde valeurs de u et de r. Imaginons que ces deux systèmes de valeurs correspondent à un même svstème de \alenrs de ./■ et de y.

ti. r. - Itl. :,r,

i< SLK LES llliSlDLs UES l.\Tl.l,K\LtS UUllll.ES.

L'intégrale envisagée par M. Picard est alors :

M. Picard a donné à ers intégrales le nuni de périodes : je ne saurais l'en blâmer puisque cette dénomination lui a permis d'exprimer dans un langage plus concis les intéres>aiits résultats auxquels il e>t parvenu. Mais je crois qu'Userait fâcheux qu'elle s'introduisit déliiiilivement dans la Science et qu'elle serait propre à engendrer de nombreuses confusions.

Et cela pour deux raisons :

D'abord ces intégrales ne sont |>is drs constantes, comme le fait fort bien observer !\1. Picard.

En second lieu, il y a une infinité de systèmes de variables auxiliaires u et r (pii satisfont aux conditions énoncées. Chacun de ces systèmes donne pour l'intégrale une valeur diflérente. U en résulterait que, si l'on voulait donner à cette intégrale le nom île période, celte j)éri()de ne dè]icndrait pas uniquement de la f(jnetion V [JC, y) à laquelle elle appartient, mais bien de ees variables soi-disant auxiliaires qui joueraieni ainsi un rôle prépondérant.

M. .Stieltjes a adresséà M. Hermile un travail foil remarqirable où il cherchait à généraliser diverses formules de (^<auchy et de Lagrange. Malheureusement quelques points restaient oi)scurs et l'auteur ne put les éclaireir de façon à se mettre à l'i.hri de toute objection. C'est ce qui le détermina à ne pas puijlicr son mémoiie, m lis je tiens à lui rendre ici justice. Je chercherai plus loin à expli(pier quels sont les points qui avaient arrêté M. Stieltjes et à montrer comment se> démonstrations peuvent être rendues parfailement rigoureuses.

Le J.:} janvier i88(i, j'eus l'honneur île communiquer à l'Académie des Sciences une Note où j'étudiais à un piùnl de vue nouveau les périodes des intégrales doubles, et en particulier celles qui sont analogues aux périodes polaires des intégrales simples. Ce sont les résultats de eette Note (]ue je veux développer dans le présent travail.

Peu de temps après. M. Picard (('oiiiptcs rendus. i5 et atS février 1886) se plaçant au même point de vue que moi, a obtenu un grand nomlne de résultats remarquables. Le savant géomètre emploie dans ces deux Notes le mot àe, période avec la siguificalion que nous lui donnerons dans la suite. Les périodes qu'il étudie n'ont donc aucun rapport avec les intégrales qu'il avait primitivement

SLR LES ItÉSlDLS DES IMliGllALCS DOIBI.ES. ^/{'i

désignées SOUS ce nom. Je crois devoir insister sur ce point afin de rendre toute confusion impossible.