SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC

une équation bilinéairo entre les y et les w, qui peut s'écrire sous la forme

Hjoij

Soient alors «,, . . . , iip, p intégrales de première espèce linéairement indépenpendantes de la courbe C; nous pouvons poser

U = iji, (/ , -t- [jt, !/, -f- . . . -t-;ji/, Up, ir= 10. 'i »i -(- jji'„ ((j ^. . .+ iJ-'piip-

Les coefficients, encore indéterminés, fj.' seront choisis de façon à satisfaire aux 2q équations linéaires

Hy = o (j=i.> iq).

Si l'on observe que ces m/ équations ne sont pas linéairement distinctes, mais qu'il existe entre elles q relations

on reconnaît facilement que .M' est aussi réductible et que, de même que M appartient à un système linéaire de q intégrales réductibles, M' est aussi l'élément d'un système linéaire de {p — q) intégrales réductibles. Mais ceci est seulement dit en passant.

Remarquons maintenant (jue H/ est une fonction linéaire des yy,, de telle sorte fju'on peut écrire

où les h;j sont des nombres entiers. Avec le.s /u,x el les h,j, on peut former deux talileaux ayant chacun 2q colonnes et 2p lignes et tirer de chacun d'eux certains déterminants à ''.q lignes. Je désigne par D l'un de ces déterminants formés avec les m el par D' le déterminant correspondant formé avec les mêmes lignes de h. En posant J = — DD' (où le signe i s'étend à tous les déterminants tels que D), J est, au sens (jue l'on va dire, un nombre invariant. Il ne change pas si l'on remplace un quelconque des systèmes de périodes x ou w par un système équivalent.

Deux systèmes de périodes sont équivalents quand chacun d'eux s'exprime sous forme linéaire à coefficients entiers avec les éléments de l'autre. On peut alors démontrer, d'une part, que .1 = /- et, d'autre pari, que .1 =-- n-.

On peut donc en conclure /. = n.

Slll I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES AliÉLlENNES, ETC. 433

C'est la piemièie démonstraliou.

Deuxième déiiujiistialioti . Elle est essenliellemeiit |ilus couiii;. Elle

repose sur la comparaison des deux formes bilinéaires F(,/'. r) et $(w, w ) qui correspondent à C et à C.

Ou a, d'une pari.

et, d'autre part,

d OÙ l'un conclut ti ^= /..

J'en viens maintenant au lien de la théorie de la réduction a^ec la théorie des fonctions fuchsiennes.

On sait que chaque courbe algébrique C définit un système de t'unctions fuchsiennes. Le fait que C est une courbe multiple de C peut aussi s'exprimer de la manière suivante : il est toujours possible, de diverses façons, d'associer à C un groupe à cercle limite G' (Grenzkreisgruppe) et à C un tel groupe ( ■, de telle sorte que G soit un sous-groupe de G'. .Si C est, en particulier, multiple n fois de C, G sera un sous-groupe d'indice n de G'.

On obtiendra, par suite, un domaine fondamental de G en prenant n domaines fondamentaux de G', convenablement choisis, dérivés de l'un d'eux par des transformations de G' et contigus. Le polygone P de G paraît donc partagé en n polygones P'(|3), qui sont congruents au polygone P' de G' au sens de la géométrie non euclidienne.

Je désigne par y(«) les côtés du polygone P', et par ^'{c-, (3) les côtés homologues du polygone P'(ij). Ces côtés y(a,j3) sont, ou à l'intérieur, ou sur la frontière de P.

Admettons que le côté '/{v-') se déduise de y(^) par une opératiun du groupe G'. Si y{y-, p) se trouve sur la frontière de P, il existera un autre côté -/(«', P') de celte frontière qui sera conjugué de y(a, (5) par une opération de G. Mais si -^(a, 3) est intérieur à P, il n'existe pas un tel céité /(«', |3') différent de -/(a, |j), car y(a, j3) et ^(st', |3') coïncident et forment un côté commun à P'((3) et à P'(p'). Quoi qu'il en soit, dans les deux cas correspond à chaque côté y{y-) de P' une permutation des n nombres 1,2, ...,«.

Une discussion tout à fait semblable peut se faire pour les sommets de P'.

De même, que les côtés s'associent par couples, les sommets se partagent en

cycles, de telle sorte que tous les sommets d'un cycle dérivent de l'un d'eux

par des opérations de G'. A chacun de ces cycles, on peut de nouveau associer