I. — Modes de représentation

Les difficultés auxquelles les ^éonirtres se sonl heurtés si souvent dans la théoiùe qui nous occupe n'oni rien d'essentiel et ne sont pour ainsi dire qu'une question de langage.

Dans l'étude des intégrales simples, on emploie un mode de représentation géométrique très commode et dont il semble qu'on pourrait difficilement se j)asser. ( )n ne peut le transporter sans cliangement dans la théorie des intégrales doubles, pour une raison qu'il est aisé d'apercevoir.

Soient î et r, deux variables ('om[)lexes; si nous |)Osons

en sépar.int les parties réelle et imaginaire, nous aurons quatre variables x, y. : et /. Nous ne pouvons les regarder comme les coordonnées d'un point dans l'espace, à moins de nous résigner à admettre un espace à quatre dimensions.

On se tiouvu donc en présence du dilemme suivant : il faut, ou renoncer à toute représentation ou employer V hypeniéomèlvie : mais, dans ce dernier cas, on est exposé à rebuter la plupart des lecteurs, et de plus on ne possède que l'avantage d'un langage comuiode, mais incapable de parler aux sens.

Comme cette langue hjpergéoméirique répugne encore à beaucoup de bons esprits, je n'en ferai qu'un usage peu fréquent; je crois néanmoins nécessaire de préciser ici le sens des termes que je lui emprunterai.

Un point est un système de valeurs des quatre variables ./•.)', c et t.

L'ensemble des points qui satisfont à une seule relation entre x., )', z et l est une « multiplicilé à trois dimensions » que l'on appelle liypcrsurfacc .

L'ensemble des points qui satisfont à deux rclalions simultanées est une « multiplicité à deux dimensions » que l'on a|)pellera suvfacf.

L'ensemble des points qui satisfont à trois rdations simultanées est une " multiplicité à une dimension » à laquelle on conservera le nom de ligne.

Deux surfaces quelconques ont au point de vue analytique un certain nombie de points communs; mais il peut arriver quêtons ces points deviennent imaginaires; comme nous ne considérons que des points réels, nous dirons alors ipie ces deux surfaces n'ont aucun point commun.

444 SU" LES RÉSIDUS DES INTÉunALES DOUltLES.

Une intégrale double doit être étendue à tous les points d'une surface. Nous aurons donc une surface cV intégration de même qu'on a, dans la théorie des intéi^rales simples, un chemin d'intégration.

De plus l'ensemble des points singuliers formera une sui-fare.

Supposon'- en elVel quo la fonction sous le sii;ne / / soit le (|nolieMl de deux

polynômes entiers l'(£,ri) et OiJL.r,). i'oiii- ([uc cette lonction dexienne inlinie, il faut que

Mais on a, en séparant les parties réelle et imaginaire.

Q(;. vi)r=Q,(.*^ r, 5, 0 + 'Q:^('-..'\ :^. '),

de sorte que la relatimi (i ) se décompose en deux :

Qil^x, », ■:; l ) — o, q.,(x,y, :.. /) = n.

Elle représente donc une surface.

Il faudra alors que la surface d'intégration et les surfaces singulières n'aient aucun point commun.

Si la fonction sons le signe / / est algébrique, les surfaces singulières seront

algébriques. \ii contraire la surface d'inti'gration étant purement arbitraire ne sera [las forcément algébrique ; elle pouna être transcendante ou se composer de portions appartenant à diverses surfaces algébrir[ues.

Je vais maintenant exposer les artifices à l'aide desquels je couipte ui'afTranchirde la nécessité de considérations hjpergéométriques.

Soient À, (ji.. V trois quantités que je regarderai comme les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire, et considérons une surface algébrique ou portion de surface algébrique S sur laquelle se trouve le point /, ,u,v. Ecrivons :

où o,, cp2, cp3, o., sont des fonctions rationnelles de À, ;j., v dont le dénominateur ne s'annule pour aucune \aleur réelle de ces variajjles. Il est clair que quand le point ) , ij., V décrira dans l'espace ordinaire la surface ou portitin de surface S, le point j", 1', .;, l décrira dans l'hypc^'espace une certaine surface ou portion de surface S' ; de telle sorte cpie la surface S' est définie par la surface S et par les quatre fonctions fondamentales <ai, V2<?:i g'

Sfh LES nÉSIDLS DlîS INTÉGltALES DOIIILE:?. 445

Si la surface S est t'ennée, nous tlirons aussi que la suitace S' esl fermée.

La notion des surfaces d'intégralion fermées qui va jouer un si grand r(jlr dans ce qui va suivre se Irouvo ainsi neltenjent définie.

Le genre de la surface S (au point de vue de la géométrie de situation) sera aussi le même que le genre de la surface S', à moins que le point .r, y, z, / ne décrive deux ou plusieurs fois la surface S', ce que nous ne supposerons pas.

Lorsque l'on donnera à À, ,a, v toutes les valeurs réelles possibles, le point À, [J., V décrira l'espace lout entier, et le point x, y, :■, t décrira dans l'hjpercspace une certaine livpersurface unicursale.

Tant donc que le point x, y, z, t restera sur cette lijpersurface, nous pourrons le représenter par un point de l'espace ordinaire et nous serons affranchis de riiypergéométrie.

Dans certaines question-, nous n'envisagerons que des surfaces d'intégration situées sur une même hypersurfaee unicursale et nous pourrons nous servir de ce mode de représentation.

La plupart du temps nous supposerons simplement :

Alors le point x,y, s, i sera représenté par le point de l'espace ./",)-, ; et la quatrième coordonnée t sera une fonction rationnelle de x. )', z.

La surface d'intégration sera alors définie par une surface S située dans l'espace ordinaire {x,y, zj et par une fonction rationnelle o,. ( *n aura :

P et Q étant deux polynômes entiers, et nous supposerons qu'on n'a en aucun

point réel de l'espace ix,y, z)

il est aise de démontrci' que loule surface d intégration, ou bien esl susceptible de ce mode de leprésenlatiou, ou bien diffère très peu dune surface qui en est susceptible, ou lîien enfin peut être décomposée en plusi(;urs autres ipii dillércni très peu de surfaces algébriques admettant ce mode de représentation.

Ce mode de représentation est donc suffisamment général pour s'appliquer à tous les cas; cependant il sera quelquefois plus comniodede le modifier un peu.

PLeprenons les quatre relations fondamentales

dont il a élè question plus liaul.

440 SLR LES HÉSIDLS DES INTEOIULES DOUBLES.

Nous avons supposé jusqu'iri que ces quatre fonctions élauiit rationnelles ; il nous suffit qu'elles soient unifonucs et bien déterminées. 11 peut même suffire que sans être uniformes dans tout Uespacc, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de X, m, V, elles restent uniformes dans une certaine région de l'espace ().,p-, v) pourvu que notre surface S qui représente la surface d'intégration soit tout entière contenue dans celte région.