II. — Conditions d'intégrabilité

On sait ce qu'on doit entendre par une i/ih'gra/e simple :

prise le long d'une courbe gauche quelconque dans l'espace {x.y, z). On connaît également les conditions d'intégrabilité: c'est-à-dire les conditions pour qiie l'intégrale soit indépendante du chemin d'intégration el ne dépende que des deux points exUcines de ce clicmiii. i On suppose bien entemlu que \, \ et Z sont des fonctinns données de ,/■, y et z.) Ces conditions sont :

'- 7ty

" Viv

Ces résultats s'élendcnl iniiuédialeiuent, coinuie on le sait, au cas d'un espace d'un nombre quelconque de dimensions.

Soient Xi, .^2. .... r„, n variables indépendantes el soient X,. Xj, . . ., \», /( fonctions de ces ii v.iriables: il est aisé de définir l'intégrale simple ■

En effet, inlruduisuns une v, niable auxiliaire el posons :

(:>) ./•| = ^i(h~). .r..— z.Jii) 3-„ = z„{ii).

Ces équations (a) définiront le eheuiin d intégration.

Nous ferons varier u depuis u^ jusqu'à «,. Nous poseions :

.'cj = 5, ('Mi") r^', = ç„C;/|V

Les deux systèmes de valeurs (.r", ,f,',', . . ., j") et (,r|, x\ a",',) définiront

les deux points extrêmes de ce chemin d'intégration.

SUIl LES RKSIDUS DES INTliGRALES DOUBLES.

Alors lintégrale (i) prise le loup du cliemin d'iiitégralion (ai depuis le point (a:", ..., ,r") juMju'iiii poiiil ix\, ..., r,', ) ne sera autre ciio>e que l'intégrale définie •

'In

Nous cherclions les conditions d'intégrabilité, c'est-à-dire lus condition^ ]i(iur (pie cette intégrale soit indépendante du cliemin dinlégration. c'està-dire ne dépende (jue des deux points extrêmes de ce cliemin {x", . . ., x"^)

et (.r;, ..., x],).

r, ,. . 1 ,inn — 1) ,, , . .

Les conditions sont au nombre de et elles s écrivent

dxk dxi

Passons niainlenant au cas des intégrales doiibU'S. et d'abiud dans l'espace ordinaire. Soil une intégrale douhle

11''^ 'h '/-■ ^ Wilz.l.r ^ *.\,l.r,ly)

A, B cl C étant trois ionclioiiN de ./■, J', ;.

On sait ce qu'on doit entendre par là. La surface d'intégration peut n'être pas fermée, mais on peut toujours conxenir de regarder l'un des côtés do la surface comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur.

Soient donc (/'.) un élément de cette suiface et a. ,5. -^ les cosinus directeurs de la normale à l'élément dirigée vei's l'extérieur.