I.'inlégrale sera alors
/ ( .V a -4- 15 > -I- Cyi-Ao
é!(!ndue à tous les éléments itf,\ de la surface.
On peut également la délinir comme il suit, ce qui revient au inéine :
Exprimons j-, )' et c en louetions de deux variables auxiliaires u et e,
Ces équations délininint la surfare d'intégration. L'intégrale ne sera alors autre chose que l'intégrale double ordinaire
J J L <)\ii,v) (Jiii.f) d(ii,i')
lit ,/,-,
Nous désignons sui\anl la coulume par la notation '—i-^ le déterminant fonc ° ' <)( II. Il)
448 Sun LES RÉSIDUS DES IMEURALES DOUBLES.
tionnel
llJ^ d) dx dj du dv dv du
La fondilioii d'inlégrabililé (^ c'est-à-dire la cniuliiiou jioiir (jiip rinlégrale [irise le long d'iiiie surface fermée quelconque soil nulle) s'écrit alors
d\ r/li dC.
d.r dy dz
Tous ces points sont trop connus pour que j v in>i>[e davantage. Passons maintenant au ca> général.
Soient ./, , s-., ..., .r„, /; variable.-' independanle>. Désignons maintenant par la notation
dlveises fonctions données de ces n \aria!)les. l\ou^ supposerons que 1 on a
(,3) .\,,\,l..,.. (Xt, X,) =— (X;, \<.).
Nous allons envisager l'intégrale double
J = 1" f^(\,.\/.ld.nd.r/,.
où l'on fait entrer ^ous le si^ne - les combinaisons des deux indices i
et A .
Pour la définir, imaginons qu'on introduise deux variable.s aii.xiliaires ii et r de telle sorte que (4;i Xi=Si(^u,i} ,/ - 1, J, :i, ..., /().
Ces équations ( \) définiront la surface d'intégration. Nous donnerons à i/ et à e ouïes les valeurs qui satisfont à une certaine inégalité
de sorte qu'en réalite la Mirface d'intégration sera coinpiélemenl tiéiinie par les équations (4) d'une part et par l'inégalité (V) d'autre part. L'égalité
'l{ll. l') — o
définira ainsi la ligne qui servira de limite à la surface d'inlégialion. L intégrale proposée sera alors l'intégrale double ordinaire
du cA'
d{u,f) jui devra être étendue à toutes les valeurs de // et de v satisfaisant à l'inéga-
SIR LES RÉSIDLS DES IXTÉGRALES DOIBLES. 449
lite (.1). t^uanl an signe — . il s appliquora aux r.()nioinaison> des doux
indices i et /.".
Mais en tenant compte des relations (3), on peut écrire 1 intégrale étudiée sous la forme
ilxi dru
J J JmJ ^^ <tll lU'
Il est manifeste que si Ion permute les variai>les ii et r. lintégrale change de signe, mais cette opération est tout à fait analogue à ce que serait, dans l'élude des intégrales simples, un changement du sens de lintégration.
A part ce changement de signe, l'intégrale est indé|>endante du choix des variahles auxiliaires ii et e.
Aolre intégrale double danl ainsi eomplélement délinie, il faut trouver les conditions d'intégrabililé; je veux dire les conditions pour (jue l'intégrale ne dépende pas tle la surface dinlégialion. mais seulement de la courbe qui limile cetie surface; de même que les intégrales simples applicjuées à des difTérentielles exactes ne dépendaient pas du chemin d'inlégralion. mais seulement des extrémités de ce chemin.
Su[)posons que 1 on remplace les équations ( 4) par les suivantes :
.r = çj( Il . 1 1.
la fonction o] élanl différenle de la fon<lion -.>,. Alors on changera la Mirface d intégration.
Mais supposons en mêmi' temps que Ion conserve l'inégalité ( ") ) sans aucun changement, el que l'on ail
Inules les fois que l'iui a
•\fi II . (•) ^ o.
Alors la cc)iiii)e qui limite la surface d intégration ii a j)as changé. Si dans ces conditions 1 intégrale n a pas changé, nous dirons que I expression sous le signe / / est inlégrable. Imaginons que 1 on pose
en introduisant une troisième variable auxiliaire iv. Nous calculerons I intégrale proposée J en l'étendant à toutes les valeurs de ii et de i qui satisfont à l'inégalité (5) et en regardant ir comme un jyaranièlre arbitraire. H. P. - m.
45o srn LKS hesidus dks i.ntegralks doubles.
Je supposerai de plus que pour
■Il w/. 1- I = o
les fonctions o, soient inflépendanle> de ir. Alors la surface dintégralion dépendra de iv, mais la courbe qui limite cette surface n en dépendra pas.
J sera une fonction du paramètre ic et nous clierchons les conditions pour que cette fonclion sciil une constante: ce seront les conditions d'inlégrabililé.
Nous avons donc à écrire que
ce qui donne
ilw ,1 J ji^ ^ dw au lU-
./ ,/ ^^ ^mi \(1ll lUy ilv r/{- div du j
La première intégrale double du second membre peut s'écrire
/' r 'V XT" V ''l^i' -^< ' ''•'"' ''•'■* ''■''/' ( ;
jj2j22 d.rn -d7,lûr-û^.'i"i^-
Clierclions à réduire l.i seconde. Pour cela, remarquons que l'on a
dV
