k\,. \< 1-7- -7— • du (hv

Nous avons supposé que les fonctions o,-, c'est-à-dire les a-,, sont indépendantes de w pour -.j/ = o. On a donc, si i|; est supposé nul,

SUR LES RÉSIDIS DES I.NTKOnALES UOtlILES. 45l

11 résulte de là que le premier membre de (6) est nul. On doit donc avoir

t/{Xi. \i) dxk dx\

dv dw du

-r^ du dv.

(Jn peut écrire une seconde équation analogue à l'équation (6 ),

-f^"'-fjt'-

d où 1 on déduit, de la même laçon,

(7) / {^,-^0-j--, — —diidi-=— /i\„\,. ,^ —

J J ih' ilu ihv J J (Itv ihi ih

/' »/( \,. \/, I il.r, d.fi.

(/(/ (/w df

Remarquons maintenant que

du dp.

, d£i d- J-, du^ d- .r/; , \ dw du dv div du dv

En effel si l'on envisage l'expression suivante :

H — f X X ) /' — ^^' ''^'' -+- ^^ '^'^' \ ~ ' " ' \ f/u' du dv dw du dv j

on voit qu'elle se cliangc en — II quand un permute les indices / et k .

Dans l'emploi des relations (7) et [■-/) nous pourrons donc laisser de côté le premier terme du second memlire. Il vient donc i)onr l'expressioii de -;—

r f "Sp Sf r</^X,, Xx) d.r, d.i-i; d{^\,. X/.') d.i-i dr,, di X,. X<. 1 </./■, t/./y, 1 ^^^ ^^^ J J ^ ^ [ dw du dv dv du dw du dw dv J '

Observons maintenant que

d{\,. Xx-,i ^ (/(X,. \k I dru

du ^^ d.r/i ilu

et que l'on a deux formules analogues pour

d(\i, \k) ^^ dy\,. X,--| dv d/ii'

Ceci nous permet de transformer 1 expression de -j- el de l'écrire •^ ^ dw

J J ZàZuZà d.r,, {du dv dw du dv dw du dv dw \ ' ' '

452 SUR LES RKSIDl'S DES INTÉGRALES DOUBLES.

Transformons-li\ encore en laissant de côté les lernies où les indices (' et k sont égaux entre eux, puisque nous savons que ces termes sont nuls. Réunissons de plus les termes en (X„ Xa) et (X/;, X,) en remarquant que

Cela donnera