JJ
Le signe i porte sur toutes les coml)inaison> (/, /. , //) si 1 on convient :
i" De laisser de côté le> combinaisons où / = /r.
2" De ne pas legarder comme diirérentes les deux combinaisons (/, /. , /;) et (/,, /, A).
Nous pouvons écrire aussi :
~v " J J 2miy dsTh d-''i "'■'■/. J Ôill. f, \V)
llll l/f.
Le signe i change alors de signifidition. Il porte sur toutes les combinaisons (/, /i, //) ^i l'on ne considère pas comme diflérentes deux combinaisons (lui ne diffèrent que par l'ordre des lettres /, / , li .
Il est clair d'ailleurs qu'on peut laisser de côté les combinaisons où deux des lettres /, /, h sont égales entre elles, parce qu'elles donneraient un résultat nul.
L'expression de V- doit être nulle (luelles que soient les fonctions o,. Gela ne
' (Al ' '
peut avoir lieu que si l'on a
(/.v/i d.ri d.ri;
Telles sont les conditions d'intégraiiilité. 11 faut prendre pour le système des trois nombres (t, /., /() toutes les combinaisons possibles, en excluant celles où deux des lettres seraient identiques et en ne regardant pas comme distinctes celles qui ne iliffèrenl que par l'ordre des lettres. Les conditions d'intégrabilité
sont donc au nombre de
ni n — i) I /( — ■> )
Considérons en particulier le cas de « = 4 et envisageons l'intégrale double :
[u\. 'V }d.cdy + \\. ljdj:dz-\-{\. 'T ) d.r dl (V, Z)dfdi-h(\. T ) df dt -h (1. 1)dzdl].
JJ
Les conditions d'intégrabilité seront
dx dy '
d(\\ T1 rf(T, X)
dz
dl
dl
dx dy
d(Z, T) djl, X) dx dz
djZ, T) dÇÏ, \)
dl "^ dv dz
Si l'on compare les conditions d'intégrabilité relatives aux intégrales simples
(9) dj,-d7;^"
avec les conditions (8) relatives aux intégrales doubles, il est impossible de n'être pas frappé d'un fait remarquable.
Dans les formules (9) on a alternalivenient le signe + et le signe — : dans les formules (8) on n'a que le signe +.
Qu'arrive-t-il si l'on passe aux intégrales d'ordre supérieur ?
On trouvera des conditions tout à fait analogues aux condilions (8) et (9) et l'on rencontrera encore le fait que je viens de signaler. Pour les conditions relatives aux intégrales d'ordre pair, tous les termes seront précédés du signe -f- ; pour les conditions relatives aux intégrales d'ordre impair, les termes seront alternativement précédés des signes -f- et — .
Soit par exemple l'intégrale triple
(Xj. X'-j. \.. td.r^t/x'-id./
l'intégrale étant définie comme plus haut, et les fonctions (X^, X^, X-,) étant des fonctions analogues aux fonctions (X,-, X*) et qui changent de signe quand on permute deux des indices x. ,3, y. Les conditions d'intégrabilité s'écriront alors
di\^. X3, X./> di\H. X.,. X;) d{\.... X;. X^] d{\,,, X^, X3) dx?j dx^ dx'i dx-.
avec alternance des signes -+- et — .
Soit au contraire l'intégrale quadruple
f If r^ (^'*- ^?- '^ï- ^''^> ''■'^^ ''■''" '^■^'t ''■'"''•
^54 SUR LES RÉSIDUS DKS INTEGRALES DOUBLES.
Les condilions d'intégrabilité s'écriront
di\^. X3. X,., Xô) </(X8, X-.. \z. X,) >/{\y. Xr,. \,. Xa)
rf.rj tlr^ d.n^
rf(Xe, X,. Xa, Xp) ./(X„ Xa, X3, Xv) H j — H ;j •■ =0
avec le signe + parloul.
