III. — Théorème fondamental

Reprenons le moile de représentation du paragraphe I. Soient donc 1, p., v les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire, el une surface ou portion de surface S. Posons ensuite

(l) x = 3i(À, a, V). y = z,(\. <x. -/), J = =:,(>., ut, v), / = ç.. ( À, ^i, v ),

les CD étant des fonctions rationnelles.

Envisageons une fonction des deux variables complexes

; = .r -t- /)•, T| = C -H il.

tjue l'appellerai

Fl;. r,)

ou bien encore

P -f- iQ,

en séparant les parties réelle et imaginaire. On aura alors

,/p f/Q r/p dq

' JT' ,/z " dt

( (77- ~ " ^ ' dl ~ dz'

Il s'agit maiiiteuiiiit de définir ce qu'on dnil entendre par l'inlégrale double

If'

prise le long de la surface d'inlégration définie par la surface S et par les équations fondamentales (1).

11 importe d'abord de définir le sens de l'intégration. Pour cela imaginons un observateur O, avant les pieds sur la surface S et la tète dirigée soit vers l'extérieur de celte surface, soit vers l'intérieur. C'est la position de cet observateur O qui définira le sens d'inlégration. Nous dirons que ce sens est positif si l'observateur a la tète vers l'iixtérieur et négatif dans le cas contraire.

Si la surface S n'est pas fermée, il n'v a plus à proprement parler d'extérieur

SIR LES ItKSIDlS DRS INÏKGRAI.ES DOl BI.ES. -1 >5

et d'intérieur; mais nous pouvons toujours convenir do regarder l'un des côtés comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur. (Si la surface S n'avait qu'un seul côté, l'intégrale serait nulle.) Envisageons maintenant l'expression

r A P -<- ''Q ■) Ulr -H / <ly '\ ( >lz -I- / ,lt ■).

Celte expression n'a absolument aucune signification par elle-même et ne pourra avoir que celle que nous conviendrons de lui donner. EfTectuons néanmoins le produit sous le signe / / d'après les règles ordinaires du calcul ( ' ); ce ne sera là qu'une opération purement mécanique et deslinée à nous servir de règle mnémonique. 11 viendra

i ( P -+- /Q 1 J.r ,/; -I- I / P — Q •) </.r <lt h- . / 1' — Q i r/i dz — i I' h- /Q , ,/, lU ].

Imaginons maintenant qu'on puisse trouver deux variables auxiliaires u et r telles qu'en tous les points de la surface S les trois coordonnées /., p., v soient des fonctions holomorphes de u et de r.

Alors l'intégrale cherchée sera l'intégrale double ordinaire

I Q 1 h ( ir — (Il —

Ji II. ri J{ II. !■)

j{ \ . z) . Oi y. rn

P — Q ) --^ — I P H- / O I —^ du ïA'

étendue à tous les svstèmes de valeurs de u et de r qui correspondent aux diflérenls points de la surface S.

Si l'on ne pouvait trouver deux variables u et e satisfaisant à ces conditions, on décomposerait la surface S en plusieurs régions et (à la condition que ces régions soient assez petites) on pourrait toujours trouver dans chacune d'elles, deux variables u et c telles que /,, ;j., v soient fonctions holomorphes de u et de i', en tous les points de la région.

L'ordre des deux variables u ft r n'est jias indifl'érent. 11 estclairen effet que l'intégrale change de signe cjuand on permute ces deux variables. ^ oici donc la convention que nous ferons : imaginons que u et c représentent les coordonnées d'un point dans un plan. Imaginons que le point /., ,u, v décrive sur la surface S un contour fermé très petit C autour des pieds de l'observateur O et que cet observateur voie ce point décrire ce contour C dans le sens contraire à celui des

Cj Sans changer l'ordre des facteurs.

aiguilles d'une montre. Le point correspondant («, r) décrira dans son plan un autre contour fermé C. Il faudra que ce second contour G' soit décrit comme le premier diins le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre (en supposant que les axes des u et des c positifs soient disposés comme le sont d'ordinaire les axes des x et des )• positifs).

Notre intégrale double est ainsi complètement définie et elle est analogue à celles que nous avons étudiées dans le paragraphe précédent. On a d'ailleurs

Les quatre conditions d'intégrahilité s'écrivent alors

rl{P+,Q) dj-

diiPdy

tliV -+-1(1) dl

dijPdz

d{iP — Q)

dt ■ dz = °-

Elles seront donc remplies en vertu des relations (2).

U est aisé de tirer de là diverses conséquences.

Imaginons d'abord deux portions de surfines S et .S' limitées par un même contour C et que ces deux |iorllous de surfaces soient situées toutes deux dans l'espace (À, |jt, v). Nous supposerons d'ailleurs que les deux surfaces d'intégration sont définies lune par S, l'autre pai- S', mais toutes deux par les mêmes équations fondamentales

(il .;• = 9, (">., |i, •/"). )• = s,j('/., ;j., V I. ; = S;, ( À, u, V ), ? = ;.,( X, u. v 1,

Si la surface S peut, par une déformation continue, arriver à se confondre avec S', et si dans celle déformation continue il n'arrive à aucun moment que la fonction 1*'^ 1* -;- /Q devienne infinie ou liisconliiiue en un point de la surface d'intégration, à ces conditions, l'intégrale prise le long de S sera égale à l'intégrale prise le long de S'.

Considérons maintenant les surfaces sinnu/i<'res,c'esl-à-(Vivc l'ensemble des points où la fonction F devient infinie ou discontinue. Soient

il, (.r, y, :, t) = ■io(.r, y, z, I) = o les équations de ces surfaces.

SUR LES RESIDUS DKS INTEGRALES POIBLES. 40"

Remplaçons dans 'i, el '|j, x, )', :;, / par o,, -vj. 93 et o,. les deux t-quallon» des surfaces singulières se r('duir(inl à deux relalions

eiilre "/., /j. el v. Ces deux équatlcjiis délinironl certaines courbes apparlenanl à l'espace (A, /n, v) el que j'appellerai courbes singulières, parce qu'elles sont le lieu des points qui appartiennent ii l'espace (/, y., v) et où la fonction sous le

devient inlinie ou discontinue.

.ne// ,

Nous pouvons donc énoncer le résultat précédexit de la façon -.ui\anle :

Les deux portions de surface S el S' étant limitées au même contour C diviseront l'espace ()., fx, v I en deux régions, lune intérieure et l'autre extérieure. Si dans cette région intérieure, il n'y a aucun point des courl)es singulières, l'intégrale prise le long de S sera égale à lintégrale prise le long de S'.

Si la surface S est fermée, elle divisera l'espace (À, p., v) en deux régions; si à l'intérieur de S il n'y a aucun point des courbes singulières, l'intégrale prise le long de S sera nulle.

Si la surface S' ajipartenant comme S à l'espace (À, ;j, v) e>t fermée comme S et tout enlière intérieure à S. et >i dans l'espace compris entre S et S', il n'y a aucun point des courbes singulières, l'intégrale prise le long de S est égale à l'intégrale prise le long de S'.

-Si deux surfaces S et S', toutes deux fermées et appartenant toutes deux à l'espace ['/., [x, v) contiennent à leur intérieur les mêmes courbes singulières et les mêmes portions de courbes singulières, l'intégrale prise le long de S sera égale à l'intégrale prise le long de S'.

Il faut toutefois avoir soin de |jrendreles deux intégrales dans le même sens. Nous avons défini le sens d'intégration à l'aide de l'observateur O. Nous supposerons donc que cet observateur a la même position par rapport aux deux surfaces S et S . S'il a la tête vers l'extérieur de la surface S. il devra avoir aussi la tête vers l'extérieur de la surface S' el inversement.

Il peut arrivei' que deux >urtaces fermées S el S' tout en n'up])artenanl pas au même espace (/., ,a, v) contiennent néanmoins à leur intérieur une même courbe singulière.

Soient en effet

/, (.r, r, z) = o, t = fUx, y, z)

les équations d'une courbe singulière G.

Cette courbe C appartiendra à la fois à l'espace (>., p., v) défini par les équations fondamentales

■r = À, y = a. c = V, t=f,{X, IX., v),

el à l'espace (/.', [x' , v') défini par les équations

X = V, y = ;ji'. z = ■/'. t = /i(À'. iji'. v') -!-/,().', iz', v').

Il pourra se faire alors qu'une surface fermée S appartenant à l'espace (^, fi, v) contienne à son intérieur la courbe singulièrr C el n'en contienne pas d'autre; et qu'une autre surface fermée S' appartenant à l'espace {V , ix\ v') contienne à son intérieur la courbe singulière C et n'en contienne pas d'autre.

L'intégrale prise le long de S e*l alors égale à l'intégrale prise le long de S'. 11 faudrait toutefois, pour s'assurer que l'intégration a bien lieu dans le même sens, une discussion délicate que je réserverai pour le paragraphe suivant. Je me contenterai donc pour le moment de dire que les deux intégrales sont égales, ou égales et de signe contraire.

On peut résumer tout ce qui précède en disant (pic l'intégrale prise le long d'une surface fer/née S 7ie dépend (jite des courbes singulières (jui sont contenues ii l'intérieur de cette sur/are.

rV. — Résidus des fonctions rationnelles Soit une l'onction rationnelle

Ecrivons-la en mettant en évidence le numérateur et le déiuiminateui' et en

décomposant le dénominateur en facteurs irréductibles. Supposons pour fixer

les idées que ce dénouiinateur admette drux semblables facteurs.

Soit donc

Pi;, ï,)

Q(?, T.tRlI.r.»

P, Q et 11 étant trois polynômes entiers dont les deux derniers sont irréductibles.

Considérons un espace (>., p., v) défini \>nv les quatre équations

x = s,(/,, [i, v), j = Çj(À, [i. v), ^= ï:,(/., [i, V), / = 5,.(À, |ji, v)

et dans cet espace une surface fermée S.

SIR LES llÉSIDi;S nES INTKGBALES DOUBLES. 4^9

Il s'agil de calculer l'intégrale double

|•(^ T,)(/tr/r,

[)iise le long de S, l'observateur O étant dirigé vers l'exlériour.

Cette intégrale dépond connue nous l'avons vu des courbes singulières qui sont contenues à l'intérieur de la surface S.

Les courbes singulières de l'espace (À, p, v) sont de deux sortes :

Les unes onl pour équations

Q[s,(X, iji, 'i)-his.,(l, II, v), Ç;,(/., [x, v) -f- (■o.,(/., [ji. v)] = o,

les autres ont pour équations

R[9i-t-(Ç.,, OjH- (cpv] = o.

D'ailleurs, celles de ces courbes qui .--eront contenues tout enlières à l'intérieur de la surface fermée S devront évidemment être des courbes fermées.

Supposons que la surface S contienne à son intérieur plusieurs courbes singulières fermées, par exemple deux que j ap|)cllerai C et C. Nous pourrons toujours construire dans l'espace (/, fx, v) deux surfaces fermées i et i' situées toutes deux à l'intérieur de S et contenant à leur intérieur, la première C et C seulement, la seconde C et C seulement; l'intégrale prise le long de S sera alors la somme de l'intégrale prise le long de i et de l'intégrale prise le long de i', l'observateur O qui définit le sens d'intégration demeurant toujours dirigé vers l'extérieur.

Nous sommes ainsi ramenés au cas où la surface S ne contient à son intérieur qu'une seule courbe singulière C.

Toutes les surfaces S renfermant la courbe C conduiront à la même intégrale. Il n'est pas nécessaire |>our cela que ces diverses surfaces S appartiennent au même espace (>,, jx, y).

Construisons donc un espace Çk', p.', v') particulier contenant la courbe C et, dans cet espace, une surface fermée i renfermant cette courbe. Nous choisirons cet espace et celte surface de telle sorte que l'intégration soit facile et l'intégrale cherchée, c'est-à-dire l'intégrale prise le long de S, sera égale au signe près à l'intégrale prise le long de i.

Nous pourrons toujours mettre les équations de la courbe C sous la forme

46n SUR LES RÉSIDUS DES TNTÉGRALKS DOUBLES.

les '\i étant des fonctions périodiques du paramètre (o, puisque cette courbe est fermée. Nous supposerons que la période est égale à 271.

Cela posé nous introduirons deux autres |)aramètrcs p et cp et nous écrirons

).'= cosw( I -f- ; cosi). ij.'= sin(o( I -1- c coSy). ■/■=psiiiï,

j- = 'il ( f) ). j- = 'l-, (■ to ). ; = 'V|( oj) + p cos ï,

t = 'i-.i w) -I- 5 sini.

Ainsi J?,>', ; et t sont définis en fondions de to, 0 et i- et par conséquent en fonctions de /.', ;j.', v'. Mais il faut faire ici une remarque :

X, y, z et I sont des fonctions uniformes de <.), o et 9, mais non de )/, |j.', v'. Toutefois si l'on convient que 0 devra toujours être compris entre o et 1, à un système de valeurs 1\ ;jl', v', correspondra un seul système de valeurs de p, cosw. sinoj, coso, sino et un seul système de valeurs de .r, )', ;, / ; grât;e à cette rehlriclion x, y, z cl t deviennent donc des fonctions uniformes de "//, ,u', v'.

A un point de l'espace ("/.', /i', v') satisfaisant à la condition p <i, c'est-àdire situé à l'intérieur d'un certain tore, correspond donc un point et un seul de l'hyperespace.

Dans ce mode de représentation, la courbe C est représentée par le cercle (p = u )

À'--)- ;ji'- =1. ■/'= O.

Nous prendrons pour la suiface - le tore dont l'équ.itiun est

Ce tore enveloppe m.inifeslement la courbe C. Nous allons voir que le calcul de l'intégrale

le long de celle surface i est parlicullèrement simple.

Décomposons en effet l'intégration en deux parties; intégrons d'abord par rapport à r,, en regardant ; comme un païamètre arbitraire. Nous avons :

3 = 'i/3( (o) -+- o„ cosç. I = Z;[ m) -+- Pu sin;.

Si c, est regardé un instant comme une constante, u sera aussi une constante ; il en est de même de po, 9 étant la seule variable. On a alors :

•r, = 'l:i-¥- /'ii-t- pdP'î,

ce qui montre que le point r, décrit dans le plan des y, un cercle de rayon po

SUR LES HBSIUUS DKS INTÉGRALES DOURLKS. 4Gl

ayant pour centre le point ^^3-}- ri/-,. L'intégrale simple

est alors égale à 21- multipliée par le résidu de la fonction F(;, ri ) (regardée comme fonction de r, seulement) par rapport au point 'J>;, + /'];.,.

Imaginons pour fixer les idées que le long de la courbe C ce soil le premier facteur Q(ç, ri) du dénominateur ijui s'annule, de telle sorte que

Le résida en question est alors facile à calculer et l'on trouve pour l'intégrale simple :

OÙ

el où par conséquent

Il faut maintenant intégrer par rapport à ; en faisant varier ',> de o à 27:, c'est-à-dire en suivant toute la courbe C. On est donc ramené à chercher l'inlégrale simple

le long de la courbe C, n étant supposé lié à ; par la relation algébrique

Cette intégrale est donc une intégrale abélienne attachée à la courbe algébrique Q = o.

Il suffit d'un peu d'attention pour vérifier que si l'on veut obtenir l'intégrale le long de 2, l'observateur O étant dirigé vers l'extérieur, il faut, en prenant l'intégrale J, suivre la courbe C dans le sens des w croissants.

L'intégrale prise le long de S sera donc aussi égale à J ou à — .1 ; car elle est égale au signe près à l'intégrale prise le long de i. Il reste à déterminer le signe.

Imaginons que l'on fasse varier d'une manière continue les quatre relations fondamentales

.r = ;i(X, 1.1. v), J- = î>.,(X. ,u. v), ; = Sn(À, H, -'): ' = ?■.(>•, [J^. '')

462 SIR LES RÉSIDL'S DES INTÉGRALliS DOLBLES.

et qu'eu même temps on fasse varier également d'une manière continue la surface S, mais de telle sorte que la courbe C reste toujours dans l'espace (>., p., v) et à l'intérieur de S.

L'intégrale ne variera pas, tant que la surface S ne contiendra pas d'autre courbe singulière que C.

Cela posé envisageons les douze dérivées partielles de x, y. s, t par rapport à À, p., V :

Tri.

dz>.

et d'autre part les quatre dérivées de T,y. :, t par rapport à w, en supposant que le point .r, )-, z, l décrive la courbe <", :

r/jrh'i

Envisageons ensuite le déterminant

dv)

Tfi.

rfix

Je dis que si A s'annule en un point ([uelconque de C. il y aura à l'intérieur de S une autre courbe singulière que C (en négligeant certains cas exceptionnels (|u'il serait d'ailleurs inutile d'envisager ici)

Pour qu'une courbe gauche possède un point double, il suflil en général que le calcul des cosinus directeurs de la tangente conduise à une indétermination. Cherchons donc à déterminer la tangente à C; l'éciualion des courbes singulières

peut se résoudre par rapport à o, d'où :

d'où

A et B étant les parties réelle et imaginaire de la dérivée de/(^).

SIR LES RESIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.

4OJ

Cela donne

( (/z = X <i.r — B dy.

I (// = Bf/.r -I- Af/i-.

Nous devons chercher la tangente à C et pour cela, il faut déterminer les rapports des quatre différentielles dx, dy. dz, dt. Pour cela nous avons l'équation

d.r dz dt

dix

dy d\

dy d->

dix

qui jointe aux équations ( i) suffit en général pour déterminer dx., dy., dz, dt. Mais comme d.r. dy, dz, dt sont des différentielles se rapportant à C, elles doivent être proportionnelles à

dx dy dz

'Il

de sorte qu'on a toujours :

dto

dt»

dix

-dz

do,

On a toujours d'ailleurs

dl»

dl 7h»

r/(o (tio

ce qui montre que les différentielles

— dx — i-^, dy

,dy^

dv>

dx dl»

dt — dz = t -7- »

rfco

, dz

dl = 1-^-

dl.»

(où £ est une quantité infiniment petite quelconque) satisfont toujours aux équations (i).

SIR LES RESIDLS DES INTEOUALES DOIBLES.

Si de plus on a A = o, elles salisferonl ésaleiiienl à l'équation (2). Mais alors ces équations (i) et (2) ne suffiront plus pour déterminer les quatre différenlielles. La courbe ('.aura donc un point double.

Donc si en un point de la courbe C, A s'annule, ce point esl un poinl double; ou bien encore nous pouvons dire que la surface S contient outre la courbe G une autre courbe singulière qui vient couper C. Une discussion [)lus approfondie montrerait (ju'il y a des cas d'exception, mais que ces cas ne se présenicront pas si A s'annule en changeant de signe.

En conséquence, si li surface S ne contient pas d'autre courbe singulière que C, lé détermiiianl A conservera le même signe loul le b'ug de G. Imaginons maintenant que l'on fasse varier S et l'espace (À, y., v) d'une façon continue comme nous l'avons dit plus haut. Tant que A ne changera pa> de signe, l'intégrale ne variera pas.

Donc le signe de l'intégrale dépend du signe de A.

Voyons riucl est ce signe pour 1 intégrale prise le long de —.

On a alors :

,fy

r/io

doi

dô

dv,

dO-', v-'

dz dl

do)

vient ensuite

c-os;) " I) ;

A est donc de même signe que

dy'

dZ>

~ Tkli

do)

dii)

COSO — 0 -111 t

c'est-à-dire positif.

En résumé :

L'intégrale double prise le long de S est égale à l'intégrale sini|)Ie ahélienne

prise le long de la courbe C, <^l l'un doit parcourir celte courbe dans le sens des w croissants si A est positif et des co décroissants si A est négatif. ■ Ainsi les périodes de l' iiilègrale double

sont les mêmes que celles de l' intégra le siiii/)le abéln'n/i'

•■>.ir.P,r-

relaliie ci la courbe atgébriijue Q = o el aussi i/ue celles de riiilégrale simple abèlienne

relative îi la courbe algébri(jue 11= o.

Nous savons qu'une intégrale abèlienne possède deux sortes de périodes, les périodes cj'cliques el les périodes polaires. Les intégrales de i)reniicre el de deuxième espèce ne présentent que des périodes cycliques.

Eludions d'abord les périodes cycliques. Si la courbe Q = o est de genre y, l'intégrale J admettra 2^ périodes cycliques. Si la courbe R = o est de genre /•, l'intégrale J' admettra ac périodes cycliques. L'inlégrale double aura donc en tout 2cy + 2 /• [iériodes cycliques.

Quelle est la condition pour que celte intégrale n'ail que des périodes cycliques. Il faut que les intégrales J cl J' soient de première ou i\v deuxième espèce. Pour cela il fanl et il suffit que la courbe P = o passe par tous les points doubles des deux courbes 1\ = 0, Q = o, ainsi que par les points d'intersection de ces deux courbes, à l'exception toutefois des points où ces deux courbes se touchent.

Passons maintenant aux périodes polaires. Les pôles de l'intégrale J sonl les II. P. — m. 59

points d'intersection des deux courhes

et les points doubles de la courbe Q = o.

Pour les premiers, le résidu est facile à calculer. On lrouv(> que la période est égale à

' '■ (/Q (m dO dR

OÙ i, r, sont remplacés par les coordonnées du point d'intersection considéré.

Si Ton considèri' ce même point d intersection comme un |)ôle de l'inlégrale J', on est conduit au même résultat, au signe près.

Pour les points doubles de Q =; o, on trouve :

où ç et /; sont remplacés par les coordonnées du point double.

En envisageant l'intégrale J' et les points doubles de Pv = o, on serait conduit à tles périodes de la forme

En résumé si les deux courbes Q = o, R = o sont respectivement d'ordre m et ri avec /i et /. points doubles, on aura :

et l'intégrale double admelira les périodes suivantes :

i" les

■),y -i- ■> ,■ = [^„i — i){in — 2) -h (Il — 1)(" — ■■'■) — ■>(/i -+- /•")

périodes cyclirpies;

:>." les nin péiiodes relatives aux inn points d'inlerseclion des deux courbes; 3° les // périodes relatives aux h points doubles de Q = o : 4" les /. jiériodes relatives aux A points doubles de 11 ;= o.

Il V aura donc en tout

m- -h ma -+- n- — 'S{in -(- « ) -t- p — h — /. périodes.

Si l'on considère les deux courbes Q = o, R = o comme n'en formant qu'une

seule qui a pour équation

QR = o,

elle sera de degré p ^ m -\- n et aura

(/ = //) ri -^ /i -h /l

points doubles.

l..e nombre des périodes auquel on est conduit est alors

Si l'on avait eu au dénominateur un |)olynome indécomposable Q, que ce polynôme eût été de degré p et que la courbe

eût eu f/ points doubles, on aurait trouvé pour le nomi)re des périodes, en appliquant les formules précédentes,

\ oici donc ce que nous pourrons dire en général :

Soient p le degré du dénominateur^ v le nombre de ses facteurs irréductibles^ d le nombre des points doubles, le nombre des périodes sera :

p- — ■ iji -+- -1- V — iL

Ce nombre peut se réduire dans certains cas particuliers.

Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici que du cas où tous les facteurs du dénominateur sont distincts. Il nous reste à examiner ceux où deux ou plusieurs de ces facteurs se confondent, ce qui arrivera par exemple si le dénominateur est un carré parfait.

Il f ludrait donc étudier les périodes de l'intégrale double

r r P di de,