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où Q, R et s sont des polynômes entiers irréductibles, et où a, (3, y sont des exposants entiers.
Il nous suffira, pour faire comprendre la marche à suivre, de considérer le cas particulier de l'intégrale
Les courbes singulières ont alors pour é([uations
Pour calculer l'intégrale, il faut employer le procédé de la diflerenlialion sous le signe / / •
Considérons l'intégrale double [prise le long de S|
r rvd'jd-r,
Nous avons \ u qu'elle est égale à l'intégrale simple ahélienne, prise le long de C,
'V dl dq
dr,
relative à la courbe algébrique
C'est une fonction de y. donl la dérivée j)ar rappori à y. est égale à
r r p d'- dr^
Différentions de même l'intégrale simple J par rapport à y.; nous trouvons :
On a
dr,
ch
dq-
dr,
dq
dr,
dq
dY dq ^d-q
dr\ dr, dr,-
/dqy-
dr, ,
De plusr, nous csl donné en fonction de ; et de a par l'égalilé
En la dilTéienliant par rapport à a on trouve
Il vient donc
dq dr, dr. dru
dr, rh, t/V ^/j
I3'où l'on conclut que les périodes de Vintègrale double
Sun LES RÉSIDUS DES INTEGRALES DOUBLES. /jôg
sont les mêmes que celles de r intégrale simple abèlienne
clr, t/r, (tr,-
(dqy VI' J
vi'lali\rs à la courbe ali.'rbiiijuf Q =r o.
Un cas particulier intéressant est celui des périodes polaires. Soit, par exemple, à calculer celle des périodes polaires de l'intégrale double
ff'W
qui se rapporle au point d'intersection
Ç = «, r, = b des deux courbes
On pourrait faire le calcul à laide de la formule précédente, mais il est plus simple d'opérer comme il suit : ,
Considérons les périodes polaires de l'intégrale
et en particulier celle qui se rapporte au point d'intersection
t = a'. r, = b' des deux courbes
Je suppose, bien entendu, que a' et h' se réduisent à a el b quand y. s'annule. Cette période est égale à
A désignant le déterminant fonctionnel de R et de Q.
Nous n'avons plus qu'à difTérentier cette expression par rapport à a. Appelons o la fonction
Appelons D(ï, r, ) le déterminant fonctionnel
dz, 'iR(J±dR 7à </r, ,/r, d'; '
iyO SUR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.
Nous trouverons que la période Je l'intégrale double
J J R«^^ est égale à
On voit aisément comment on opérerait si l'exposant de Q était plus grand que 2.
En particulier, l'intégrale double
f r y dj d-n
n'a qu'une seule période qui a pour expression
