r'-P'(a, b) {n-iy.(p-iy
OÙ l'on a posé
(/iL + p-l 1>
/"-'fdP-'r,
De même l'intégrale
(aÇ -I- [3ti)"(1'Ç-*-ôT|)/' a utie seule période dont l'expression est
( aS — '^■{)"+J' (n — i)\{p — i)\
Pour définir ici la fonction P'(t, ri) qui n'a plus la même signification que plus haut, nous supposerons qu'on ail changé de variables en faisant
et nous poserons
Y. — Méthode de M. Stieltjes.
M. Stieltjes a découvert il v a quelques années une remarquable généralisation de la série de Lagrange. Considérant l'intégrale double
qui a fait l'objet du paragraphe précédent, et l'intégrant le long d'une surface
StR LES RÉSIDUS DES INTKGRAI.ES DOUBLES. 47'
parliciiliéro, il découvrait Fiino de sus périodes, qui a pour expression
(it
i; et ri étant remplacées par les coordonnées d'un des. points d'inlerseetion des
deux courbes
On n'a plus qu'à faire dans cette formule
(/( et / étant deux quantités très petites:/, o et F trois polynômes quelconques en ^, ri) pour retomber sur une généralisation de la formule de Lagrange.
M. Stieltjes ne publia pas toutefois sa découverte et se borna à la communiquer à quelques amis; mais de graves objections lui furent faites et le déterminèrent à ne pas publier ses résultats.
Etait-il certain que la fonction sous le signe / / ne devenait pas infinie en quelques points de la surface d intégration?
Comment se faisait-il, puisque rien ne distingue Q de R, qu'on changeât le signe de l'expression (i) en permutant Q et Pi?
La discussion du paragraphe précédent nous met aujourd'luii en mesure de répondre' à toutes ces objections.
Commençons par introduire les quatre relations fondamentales qui définissent l'espace (À, ,u, v); nous écrirons :
5( A- — Il aXs ? ao l'io
où l'on a posé pour abréger
k- = X-+ [ji--(- V-.
Les deux équations
s =: o et T, = o
représenteront respectivement dans l'espace (X, |jl, v) le cercle (3) À = o. |J''-t- ■'"= I
et l'axe des 'k
47'* SIR LES nÉ51DLS DES INTÉGRALES DOl'BLES.
Si h el k sont assez pelils, les deux équations
Q = o et P. = o ou ce qui revicnl ;iu même
; ^ hf et T, = /ï
représenteront rcspectivenient dans l'espace (/., [j.. v) une courbe l'ennée très peu différente du cercle (3), el une autre courbe fermée se rapprochant beaucoup de l'axe des A dans Ions les points situés à dislance Unie.
Il importe de remarquer que ces deux courbes sont entrelacées l'une dans l'autre. Je veux dire par là qu'il sérail impossible de construire une portion de surface simplement connexe limitée à l'une des deux courbes fermées et qui ne coupe pas l'autre courbe fermée.
La surface irintégralion considérée par M. .Stieltjes est définie comme il suit : on tail décrire à ;, dans son plan, un cercle ayant pour centre l'origine, pendant que r; décrit de son côté dans son plan un autre cercle ayant aussi pour centre l'origine.
Les équations de la surface d'intégration sont donc
.Si nous revenons à notre moile de représentai ion. il faut que nous supposions
La surface tl'intcgratiun sera alors représentée dans l'espace (>,, p, v) par la surface
( /. - — 1 ■)- p 'î = 1 p5 ( fi- -- V2 ).
Celle surface esl un tore; le cercle
? = " et par conséquent, si // est 1res petit, la courbe fermée
se trouvent entièrement à l'inlérieur de ce tore. Au contraire l'axe des À
7) =o et par conséqueni, si k esl très petit, la courbe fermée
se Uiiuveul enlièreinrnt a l'extérieur de ce tore.
Sl'R l.ES RÉSIDUS DES INTÉGRALES nOlRI.ES. 473
On voit toul de suite que la première objection faite à M. Stielljes est levée, puisque le tore ne coupe en aucun point les courbes singulières.
Nous défmirons le sens d'intégration comme nous l'avons fait jusqu'ici, par un observateur placé sur le tore ; je supposerai par exemple que cet observateur est dirigé vers l'extérieur.
La seule courbe singulière située à l'inlériour de la surface d'intégration est
la courbe
L'intégrale cherchée se ramène donc à une intégrale abéiienne simple relative à celte courbe. Il suflil d'un peu d'attention pour reconnaître, en appliquant les règles du paragraplie précédent, que cette période est une période polaire et qu'elle est égale à
11 nous est facile de voir maintenant comment tombe d'elle-même la seconde objection qui avait été opposée à M. Stielljes. Il n'est pas vrai que rien ne distingue Q de R. La courbe Q = o ou ^ = /;/ est à l'intérieur du tore qui nous sert de surface d'intégration; la courbe R = o ou r, = Acp est au contraire à l'extérieur. Si donc nous considérons l'observateur qui déliiiit le sens de l'intégration, nous verrons qu'il est dirigé vers l'extérieur du tore, c'est-à-dire du même côté que la courbe R = o, et du côté opposé à la courbe Q ^ o. Ces deux courbes jouent donc des rôles différents.
La seconde partie de l'analyse de M. Stielljes ne soulevait pas d'objection analogue à celles que nous venons de discuter. Néanmoins comme elle n'a pas encore été publiée et qu'elle est fort courte, je vais l'exposer ici en quelques mots.
Si nous donnons à P, Q et R leurs valeurs (2), il est aisé de voir que notre intégrale sera égale à
\„ et Y)„ étant les valeurs de ^ et de yî très voisines de o qui satisfont aux deux équations
Kf-
ïj = Âtp.
D'autre part si h et /, sont assez petits pour qu'on ait en tous les points de notre tore
Î74 SUR LES BÉSIDl'S DES INTÉGRALES DOUBLES.
rinlégrale pourra se développer en série comme il suit :
Z'-'-fr^m^-i'--//
F^J'-'fPr/^.d-n
Ce qui donne, d'après les principes du paragraphe précédent,
Dans le second membre, £ et r, sont supposés remplacés par o et o. Quant à la notation D„,p, on a écrit pour abréger
En réduisant, il reste pour la partie entre crochets ou bien ou enlin en réduisant encore
On est ainsi conduit à une généralisation de la formule de Lagrange.
