VI. — Seconde application

Il n'est pas douteux qu'on ne puisse tirer des principes qui précèdent une foule d'applications différentes. Je me bornerai à exposer ici la suivante.

Il est aisé de démontrer qu'f/«e fonction entière (F une variable, dont le modale reste inférieur à une quantité donnée^ se réduit à une constante.

(]e résuUal s'étend immédiatement aux fonctions de deux vaiialjles. On peut d'ailleurs l'énoncer comme il suit :

Une fonction entière de deux variables i^ et -n qui tend vers une limite finie et déterminée quand \ et -^ tendent vers V infini, et quelle que soil la manière dont l et ri tendent vers Vinfini, se réduit à une constante.

La théorie actuelle nous permet de faire un pas de plus.

11 n'est pas nécessaire, pour que la fonction se réduise à une constante, qu'elle tende vers une limite finie et déterminée quelle que soit la manière dont I et ri tendent vers linfini.

Supposons, pour préciser davantage, que l'on pose

5 = (,a -H / [i ;> p. T| = (-.•-!- /5) p avec la condilioa

Faisons ensuite croître p indéfiniment, a, (3, y, â restant constants. Les théories anciennes nous permettent d'affirmer ce qui suit :

Si, quels que soient «, j3, y, ô, la fonction entière, F(ç, o) tend vers une limite finie et déterminée, cette fonction est une constante. Il n'est d'ailleurs pas nécessaire que cette limite 'Soit la même pour toutes les valeurs des quatre quantités a, (3, y, ô; il suffit qu'elle soit toujours finie.

Grâce à la théorie actuelle, nous pouvons affirmer quelque chose de plus.

La fonction entière F sera une constante, non seulement pourvu qu'elle tende vers une limite finie pour toutes les valeurs possibles de a, (3, y, ô, mais encore pourvu qu'elle tende vers une limite finie pour toutes les valeurs de a, j3, y, ô qui satisfont non seulement à la relation (i), mais à une autre relation convenablement choisie.

Reprenons les quatre relations fondamentales du paragraphe précédent :

p(k- — i) 2Xp ajjip --îvp

>' = TT, ) s =. -n^ > ' = t:; )

Nous avons vu que les équations

5 = 1) et T, = O

étaient respectivement représentées dans l'espace (À, p., v) par le cercle

X = O, !•'■'' + "'" = I et par la droite

47<J SlIR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Nous avons vu en outre que l'équiition

iiiod-Ti = P5

était représentée par le tore

Ces tores sont de révolution autour de l'axe des 1 et l'on peut les définir géométriquement en disant qu'ils sont le lieu des points M tels que le rapport de la plus grande et de la plus petite distance de M au cercle l = o soit constant.

Venons maintenant à l'équation

où :< et [î sont des coefficients imaginaires quelconques. Elle représentera aussi un cercle, lie plus ce cercle devra se trouver tout entier sur le tore

Ce ne peut d'ailleurs être ni un des cercles méridiens qui ont pour équation

; corisl.

ni un des ceicles parallèles qui ont pour équalioii

I = consl.

Mais on sait (|ue si l'on coupe le tore par un plan bilangent, l'intersection se décompose en deux cercles. Le cercle

sera donc l'un de ces deux cercles.

Si les axes sont placés comme ils le sont d'ordinaire, ce sera celui des deux cercles qui e.--t situé à gauche d'un ob^ervatcur placé suivant l'axe des X et regardant la partie des deux cercles qui est dirigée vers sa tcte.

En faisant varier les deux coefficients a et (3 on obtiendra donc une famille de cercles que j'appellerai les cercles C.

Ces cercles seront toujours réels et leur rayon ne pourra s'annuler.

Ce qu'il importe de remarquer, c'est que deux quelconques des cercles C sont entrelacés, dans le sens donné à ce mot au paragraphe précédent.

En effet les cercles

a^ H- 'jr, = (I, 7; + 3r, = o

SUR LES BÉSIDL'S DES INTEGRALES DOUBLES. 477

sont évidemmoiil entrelacés si

Faisons ensuite varier d'une manière continue les quatre coefiicienis X, |3, y. 0 et voyons si les deux cercles peuvent cesser d'être entrelacés. Ils ne pourraient cesser de l'être que s'ils arri\uient d'abord à se couper. Or s'ils se coupaient, on .lurait un point d'interseclion :

ce qui est impossible, puisque l(;s formule,'. (■2) conduisent à la relation

Pour faire comj)endre l'importance de cet entrelacement, considérons l'équation plus générale

Sr. = V.

Cette équation représentera eiicurc une famille de cercles, les cercles C, dont les cercles C ne sont que des cas particuliers.

Deux cercles C

-A — H'-, = ïa'; — ?'-'-| = Y

peuvent être ou n'être pas entrelacés. Ils le seront si

Ils ne le seront pas dans le cas contraire. L'intégrale double

J J ('A -r- [iT, y ) (a-? -^ p'r, - -/) '

prise le long d'une surface qui enveloppe le cercle

=<; — r"^! — { en laissant en dehors le cercle

sera égale tantôt à o, tantôt à

où £0 t't On satisfont aux équations simultanées

Ai + e'Uo = Y, 2';o — ^^'■'■,1, = ■{'■

478 SVH LES BÉSIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.

Elle sera égale à o si les deux cercles ne sont pas entrelacés et à

s'ils sont entrelacés.

Dans le cas des cercles C, comme il v a toujours entrelacement, on aura:

!•■ (Il ,h. 4 r-

De même l'intéorale :

F di dr,

ia?+pT,)"H3c'$-i-|3'-r,)''

s"ex])rimera très simplement à l'aide dus dérivées d'ordre m -h p de F, ou plutôt des valeurs de ces dérivées pour ç ;= r; = o. L'expression sera linéaire et les coefficients dépendront de a, (3, y.', (i'. ( Voir la fin du paragraphe IV.)

Cela posé, voyons comment chaque point de l'espace (À, p., v) représente une manière pour l et r; de tendre vers l'infini.

Imaginons que 1, /Jt, v conservant la même valeur, p croisse indéfiniment. X, y, z et / croîtront indéfiniment et de façon que leurs rapports demeurent constants. Lors donc ([ue 3", >', ;, t croissent au delà de toute limite, mais de telle façon que leurs rapports tendent vers des limites finies et déterminées, cette manière de tendre vers l'infini sera représentée par un [)oint de l'espace

Une surface S appartenant à cet espace représentera donc un ensemble de

manières de tendre vers l'inllni.

Imaginons cpiune surface S soit telle que le cercle

aÇ + [iT) = o soit tout entier à son inl('neur et le cercle

tout entier à l'extérieur.

Supposons que, quand ç et r, tendent vers l'infini de l'une des manières représentées par les divers points de cette surface S, la fonction entière F tende vers une limite finie et déterminée.

A cette condition, F se réduira à une constante. En efï'et l'intégrale

F dk dri

la« + [J-f))"'fa'$-f-P'r,)/''

prise le long de S, tendra vers o quand p croîtra indéfiniment (à moins que m =z p =^ i). Elle est donc nulle.

SUR LES RESIDLS DES INTEGRALES DOUBLES. .|79

Donc toutes les dérivées de F s annulent pour £ =:r ■/-/ =r; o.

Donc F esl une constante.

En résumé, si l'on sait démontrer que F tend vers une liniiK; finie ([uelle que soit la manière dont ; et rj tendent vers l'infini, F est une constante ; voilà ce (ju'on savait déjà.

Supposons maintenant qu'on sache démontrer seulement que ¥ tend vers une limite finie quand 1 et r, tendent vers l'infini d'une certaine manière. L'espace (X, ^, v), dont les points représentent les différentes façons de tendre vers l'infini, sera alors partagé en diverses régions. Pour les unes, on saura démontrer que F tend vers une limite finie ; pour les autres on ne saura rien.

Si par exem[)le il y a une région de l'espace qui contienne l'un des cercles C tout entier et en tous les points de laquelle la limite F soit finie, on sera certain (jue F est une constante.

Ou bien encore supposons que l'espace se divise en trois régions Ri, R^ etRu, de telle façon que l'on ne puisse passer de R, à R3 sans traverser R2. Imaginons que R| contienne un des cercles C tout entier; que R3 contienne un autre cercle G tout entier et qu'en tous les points de Ro la limite de F soit finie. Nous serons encore certains dans ce cas que F est une constante.