X.-^ 'cl XtYH

Parmi toutes ces déterminations de X, et de X^, on |>eut en chdisir une, telle que /"et cji soient des polynômes homogènes d'ordre / en X^j'' et X'^.

Alors le déterminant fonctionnel de/ et o par rapport à X, el X., est un

46 SUR L'iNTRGftATlON ALGÉBRIQUE DES ÉQUjTriOXS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

polynôme hninogène d'ordre 2 A — 2 en X^ el Xy,, que i'a|>pellerai I'. muhiplié par X!^-' etX;-'.

Le déterminant de X, etXo par rapport à r el à j ne s'annule pas en général et en tout cas les trois déterminants

ne s'annnlant pas à la fois, on peut toujours supposer f[ue le premier n'est pas nul au naud. On a alors

Pour P 11' nœud est un point multiple d'ordre {2I — 2)fi si ce polynôme ne s'annule pas pour X.j= o, mais cela n'arrive que si a^^ v; dans le cas contraire c'est pour P un point nuilliplt' d'ordre

( .4 X — 2 ) [Jl — (v — ;i),

pour L| il est d'ordre

(2X--2);jl-T-(|Jl-l)-r-(v — I)+ "-^-^ (V-[X)

et pour A, d'ordre

(■2X — 2)^t-l-(Jt— V — I H ( V — (Jl ).

Mais nous savons que ce doit être un point simple pour A, il vient donc

(AK 2 ) (Jl — [Jl — V I — ; (V JJl j

= S(aj— dX/iji — (a,— i)(|ji — it — («2— I l( H — I) -+- •; ou, en divisant |)ar y., (S) (u À — .>)-1- a, (i— ' Wa^M— - ) = S (a,— l) X/.

Que devient maintenant la formule (8)?

Quel e>l le nombre total des points d'intersection de la courbe indécomposable /+ Cep = o avec «,= o ?

J'appelle e, un nombre relatif à ui et à un des nœuds. Ce nombre sera nul si M,- n'est pas singulier par rapport à ce nu'ud; il sera égal à {jj. — i)v s'il est critique, à (v — i)/ji s'il est hypercritique, à (p. — i)v + (v — i),u. s'il est doublement singulier. 11 vient

piii = S (X X,- |ji V — X £,).

Multiplions cette relation par st, — 1 cl fiiisons la somme de toutes les rela-

SUR l'intégration ALGÉBIUQIÎE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 47

lions analogues pour toutes les valeurs remarquables de G et pour tous les facteurs w, dont l'exposant est plus grand que i ; il vient

y)S(a,— i)«,= S [X(jiv Xiot,— i)X,] — SX S ^c/.,— 1} s,-.

Mais d'après la signification de £, et en appelant encore «, et «j les exposants des facteurs critiques et hypercritiques, on a

i;(z;— i) £,= ( «,— i)( |Ji — i,|v + (a.,— i)(v — i) ;a.

D'autre |iarl

fi V s (a,— 1) X, = (-àX — .! ) (jiv + a,v (|ji — i) -t- aî^ji^v — i).

Il vient alors

fj{ ->p — m — 2) = S X iji.v(', ) :i; + S X,(;j. — i)v -+- S X(v — i) jx,

(10) (nî -(- 'O/J = s X ( ;x 4- V I.

P- — 3« + ■>. - X-av „ a , 3;> „ X

a = '- £- S — J S -(1— |A— v=i !- -I- S -([ji + v— I),

d'où

Si, par exemple, wî = 4> il vient

On voit ainsi que pour»; :=4i '*• « fortiori pour w>>/i, le genre est toujours plus grand que i .

Quelle est la condition pour qu'on puisse reconnaître si l'équation didérentielle comporte une solution générale algébrique de genre donné? C'est que tous les coefficients du second membre de (i i) soient de même signe; c'est-à-dire que

ce qui a tnujours lieu pour m ^ 4-

Des cols. — Nous distinguerons trois genres de culs :

1" Ceux du premier genre seront les points doubles d'une courbe indécouiposable

ou d'une courbe

18 SUR l'intégration algébrique DRS ÉOUATIONS différentielles nu PREMIER ORDRE.

Uj étant un des facteurs indécomposables de

pour une valeui' remarquable de C.

Tous ceux de ces points doubles qui ne sont pas des nœuds sont des cols.

Pour un col du preniii'r genre les deux entiers caractéristiques sont égaux à I .

2° Ceux du second et du troisième genre sont les |>oints d'intersection de

deux courbes

Ui et uj étant deux facteurs indécomposables de

/^ G ç = ii'fi »«i . . . lift

pour une même valeur remarquable de C.

Tous ceux de ces points d'intersection qui ne sont pas des nœuds sont des cols. Les deux entiers caractéristiques p. et v, qui sont [ireiniers entre eux, seront entre eux dans le même rapport que les deux exposants a,- et cxj.

Si «,= <xj et que, par conséquent, |jl = v = i , le col sera du deuxième genre.

Si (Xj^Cj et que, par conséquent, p. <r^ v, v>i, le col sera du troisième genre .

L'équation dilTérentielle étant donnée, on connaît les entiers caractéristiques. On peut donc distinguer les cols du premier et du second genre de ceux du troisième genre, mais non ceux du premier de ceux du second.

Propriétés diverses. — Quelques-unes des formules précédentes peuvent être simplifiées si l'on adopte les notations suivantes :

Soil Ç,- un nombre égal à i si m, nest pas singulier par rapport au uœud considéré, à ^ si Ui est critif[ue, à v s'il est hjpercritique, à p.v s'il est doublement singulier.

A chaque facteur Ui et à chaque nœud monorritique correspond ainsi un nombre Z;.

Soit alors h; le plus petit commun multiple de tous les nombres Ç, cori'es- |)ondant à un même facteur w, et à tous les nœuds monocritiques. Ce nombre h, est donc égal à i si (/, n'est singulier par rapport à aucun nieud.

Il est clair que jî, est divisible par /;,; nous poserons donc

i', = (/''', a, — Aj'aj,

scjR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 49 d'où

Nous appellerons «■= /j,A, le degré de p,.

La courbe i>i:= o se compose de /i,- courbes confondues avec u,= o. J'appellerai \\ le nombre des branches de la courbe Vj^^ o qui passent en un nœud monocritique. Chaque branche de «,== o comptera pour /«, branches de (',= o, sauf s'il y a lieu celle qui s'annule pour X, = o et qui comptera seulement

pour — branches, et celle qui s'annule pour X2 = o et qui comptera seulemeat pour — branches. On aura donc

X/ = /ijX, si le facteur m, n'est pas singulier,

X; = /(,),, — /(,( I — - 1 s"il est critique.

X; = /(,X, — /', ( I — - ) s'il est hypercritique,

X/ = /(,X, — hil i ) s'il est doublement sinsulier.

Le nombre des points d'intersection de

ç>,= o et y"— C3=o

est alors dans tous les cas }.7.]^^j.

Celui de deux courbes

fi = o, vu = o

correspondant à deux facteurs

sera 1] l). /jtv.

L'équation (y) s'écrira dans tous les cas

x = sa;x;.

Examinons maintenant la question suivante • Soit, pour une valeur remarquable de C,

Est-il possible que les deux courbes

l'i = o, Cj = "

n'aient d'autres points d'intersection que des nœuds? H. p. — III.

5o SUR LINTÉGBATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS DIFFÉBENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Appelons h le nombre des points d'intei'seclion de ces deux cmirbcs «dilués en dehors des nœuds, nous aurons évidenimenl

n\ n'., = S À'i )vj jjiv -I- /(.

Supposons d'abord que nous n'ayons que deux facteurs et que l'on ait

/-t-C? = ,.f rj:.

nous aurons les relalions

p^ = S À» |jiv . pn\ = S ).a'| ;j.v, a'i n\ — a!, n'., = jj. a.\ \\ -H a!, \', = \ ; d'où l'on peut déduire

a'i /i'|- ■+- alj n\ n\ = a', S X',- [jlv + a', S \\ V.^ |Jiv , a'i n\ n'., -\- a'^ n'.? = ï', S X', Xô [jiv — a'., S V.r fiv.

SI l'un avciil h = <> et par conséquent n\ n., = S),', )..',/j^v, il viendrait

«',- = S X'|- jjiv, ii'.r = ^ X!,- ;xv,

et pour des valeurs quelconques de x et de v

(I) {n\x — „:,yp^ SiJiv(X'|3- — X:,.)';2.

Si l'on fuit )• = «',, r = n'.,, le premier membre s'annule, ce qui exige que

Le rapport ,7 est donc constant et égal a — r-

Rien dans le raisoimemenl c|ui précède ne suppose que les facteurs n , et Wj sont irréductibles. Si donc on a

/• -H G ï = e»; r»^ . . . if ; ('="•'* ' . . . vjt. et si les courbes

v, = n, t'a =0, .... l'i = Il

n'ont en dehors des nœuds aucun pninl commun avec les courijis

(', + ,= 0. P,j..;=0, .... VA = 0,

on pourra regardery -f- C'j comme le produit des deux lacteurs

,,ï;,.a; ,.a' et ,.*'.• i,,*'.i i ..*i

et l'on aura pour tous les nœuds monoeritiques

a'i X', -f- a!> X2 ^ . . . — xîX; x'i /(', -f- a'., n'., ^- . . . + a,' ni

SUR l'intégration algébriqur des équations différentielles du premier ordre. 5i Revenons au cas où le nombre des facteurs est égal à 2 et où, par conséquenl,

mais ne supposons plus // = o; la formule (1) deviendra

(n\x — "'j7)- = S |ji •/ (X'i .r — 5,'^,j)- — h

Si nous faisons en particulier

y = n\, X = «2, il vient

{■1) h p- = a', ot!, S (Jiv (À'i «!, — X^j n'i)-.

Supposons de nouveau que nous ayons doux facteurs et que nous écrivions

et supposons de plus /; = o.

Je dis que la courbe /-j-Ccp = o ne sera indécomposable pour aucune valeur de C.

Soit, en effet, â le plus grand commun diviseur de n\ et de n., et posons

«', = j3|S. tt'.^ = [3j3, «■j = c'i"', 11',= ('P';

les deux polynômes iv, et iv^ seront de même degré, à savoir de degré (3|p.iâ. Soit k une constante arbitraire. Etudions la courbe-

ii'i — k iv-i = o.

Elle sera de degré Pi P2 ô.

Voyons comment elle se comportera dans le voisinage d'un nœud monocritique.

On pourra écrire, si .^0, Voi ^n sont les coordonnées de ce nœud,

Wi et W. étant deux séries ordonnées suivant les puissances de ^ %

y — -ti; et ne s'annulant pas au nœud considéré. II, et II^ sont deux polynômes

Z Za

homogènes en XiJ- et Xy, ; II, est de degré PjA', et IL de degré (S, À!..

Mais on a (puisque // ^= o)

5'2 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. ce qui permet d'écrire

£ étant un entier.

Donc les deux polynômes II, et Ho sont de même degré (3,(32E-

Quel est alors, au nœud considéré, le nombre des points d'intersection de la

courbe

«■, — ^ H'., = w, n , — A Wî n, = o

avec une branche de courbe

Xlf = const.X:;?

Il sera au inuins égal à (SipiE^uv, et le nombre des points d'intersection des

deux courbes

ir, — k H'2 '— o, y-KCç = o

est au moins égal à a|3, ^Sj sfjLV.

Si les deux polynômes iV) — /.iCj, / ' + C9 n'avaient aucun fadeur comiiuin, le nombre total des poiuts d'intersection des deux courbes devrait être p^i, j3^ô.

Nous venons de voir que le nombre des poiiils d'intersection silués aux meuds est au moins égal à S À [3, Ci-, £p.v.

Mais nous avons

p = a'i ii\ ~ a'.j/i'.^, X = a\ a\ -+-a!,X!,,

ce qui montre que

et comme on a il viendra

Le nombre des points d'intersection situés aux noeuds sera donc au moins égal à jo (3,(32 0.

Considérons un point quelconque de f -j- Cep =-- o situé eu dehors des nœuds; on peut toujours choisir la constante k de façon à faire passer par ce point la courbe w, — A"(V2==o. Le nombre total des points d'intersection devient alors supérieur à y^(3i(3.,ô, de sorte que / -+- Co et w, — ÂiVj doivent avoir un facteur commun. Si / +C9 est supposé irréductible, «', — Air^ sera divisible pary + Co.

Avant trallrr plus loin, il est nécessaire qu(! je démontre un lemme :

Soient X et \ deux polynômes homogènes de même degré en t, v, s et a une constante (juelconr/ue. Si la courbe

X — aV = (.

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 53

est dècomposable quelle que soit la constante x, les deux polynômes X et Y

sont des polynômes homogènes et de même degré par rapport à deux autres

polynômes c, et n qui sont eux-mêmes homogènes et de même degré en x, y

et z. De plus, la courbe

n'est pas dècomposable quelle que soit la constante a.

En effet, soil IN lu. degré de X et de Y. Soient ensuite, pour une certaine valeur de a, n,, «n, . . . , np les degrés des fadeurs irréductibles de X — «Y. La continuité suffit pour montrer que It; nombre des facleuis et les degrés n,, n^, ■ . ., rip seront les mêmes pour toutes les valeurs de a sauf pour certaines valeurs que j'appellerai singulières et pour lesquelles quelques-uns des facteurs pourraient eux-mêmes se décomposer.

Soit donc, pour une valeur non singulière de x,

X — a Y = ZiZï . . . Z^, ,

le facteur Z, étant irréductible et de degré /;,.

Soil maintenanl a' une constante infiniment peu différente de oc, il viendra

Le facteur Z,' différera très peu de Z,; on voit dune que, si l'on fait varier cf. d'une façon continue, les polynômes Z,, Z^, ..., Z^ varieront d'uae façon continue.

Je dis maintenanl que si l'on fait décrire à la variable a des contours fermés convenables, les divers polynômes Z,, Z^, . . . , Z^ s'échangeront les uns avec les autres; je dis par exemple qu'on pourra échanger Z, avec Zj.

Soit, en effet, x^, r,, z, un point de la courbe Z, =z o cjui ne soit pas un nœud; soit de même X2, )'2, :•■> un point de la courise Z^^o. Faisons ensuite

varier x, y, z depuis x,, y,, z, jusqu'à x^, r2, z.,; alors =< = t; qi'i esl une

fonction de x, y, .: décrira un contour ft'rmé, et quand ce contour sera décrit, il esl clair que Z, se sera échangé avec Zo.

Les polynômes Zi, Zo, . . . , Z^ sont donc de même degré, de sorle que N esl un multiple de n, .

Il resle à établir que l'ensemble des courbes Z, = o qui dépendent du paramètre arbitraire a, forment un faisceau linéaire; or cela est évident puisqu'elles n'ont pas d'enveloppe, même au sens purement analytique de ce mot.

Appliquons ce qui [irécède au cas qui nous occupe.

54 SUR l'intégration algéhriqde des équations différentielles du preuier ordre.

Ou bien (v, — Aii'o sera irréductible sauf pour certaines valeurs de k et ce polynôme devra être alors identique à f-\-Co; ou bien w, — A-i\\ ne sera pas irréductible et son degré devra être un multiple de celui de son facteur irréductible/+ C9; on aura donc

Ç étant un entier; de sorte que

Cette égalité n'est possible que si Ça!, pj est divisible par [3,, ou, puisque j3i et [Sj sont premiers entre eux, si t:x'., est di\isible par |3,. Mais si t^x'., est divisible par S), il vient, puisque Ç, a', et ^, sont essentiellement positifs,

PiP2<ra'p,-Ça,p,.

L'égalité est donc impossible et nous devons conclure que /-î- C-^ ne peut être irréductible.

Si (loue /'— C-^ est irréductible, sauf pour certaines valeurs particulières de C, ce //ue nous /wiivons toujours supposer, les deux courbes

lu =0 "j = '>

auront d'autres points rommuns que les nœuds.

Rien dans ce raisonnement ne suppose tjue u, et «2 soient irréductibles; si donc on a pour une valeur remarquable de C

/-h C 9 = H». (/»> . . . iif- iif;^'. . . «^'

il y aura certainement, en dehors des nœuds, des points d'intersection qui appartiendront à la fois à l'une des courbes

et à l'une des courbes

Classijicalion des valeurs rcmar</u(ihles de C. — Nous distinguerons les valeurs remarquables de C en plusieurs espèces.

La première espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, de tous les facteurs irréductibles «, seront égaux à 1.

La deuxième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, seront premiers entre eux, sans être tous égaux à 1 .

La troisième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants st, auront un plus grand commun diviseur différent de i, sans être tous égaux entre eux.

SUR l'intégration algébrique des ÉQl ATIONS différentielles du premier ORIlRE. 55

La quatrième espèce comprendra celles pour lesquelles il v a plusieurs facteurs {/,■ distincts dont les exposants a,- sont tous égaux entre eux sans être tous égaux à I, de telle sorte que /"+ Co soijt une puissance parfaite d'un produit de plusieurs facteurs distincts.

La cinquième espèce enfin comprendra celles pour lesquelles /'+ Co est une puissance parfaite d'un polynôme irréductible.

Si G est une valeur remarquable de l'une des quatre premières espèces, la courbe f ^- C'y := o se décomposera en deux courbes distinctes qui, d'après le paragraphe précédent, devront se couper au moins en un point en dehors des nœuds et par conséquent en un col.

Le nombre des valeurs remarquables des quatre premières espèces est donc au plus égal au nombre des cols.

.Supposons que tous les cols soient du premier ou du second genre et soil C une valeur remarquable. Soit

l'une des courbes (/,, U21 ■■■■, ui devra ( ouper en un col l'une des courbes Ui^,, M,V2. • • -, i>k, et comme le col est du premier ou du second genre, ces deux courbes devront correspondre à un même exposant x.

Je dis que l'on doit avoir

En effet, l'ordre des facteurs u,, iii, ... est arbitraire; si donc tous les exposants n'étaient pas égaux, on pourrait supposer

y, = 3t.2= .. . = a,, 2;^i^y.,, a,,, Jîa,. . .. y.<. 5^1.

Un des polynômes ne pourrait donc pas avoir même exposant [qu'un des polynômes «,^i, 11, 2, . . . , ii/i.

Donc, si tous les cols sont du premier ou du second genre, toutes les valeurs remarquables seront de la première, de la quatrième ou de la cinquième espèce.

Les valeurs remarquables des quatre dernières espèces sont celles que nous avons appelées plus haut critiques.

Application d'un théorème d' Hal/ihen. — .le dis maintenant qu'il ne peut pas exister plus de deux valeurs remarquables des trois dernières espèces.

En effet, s'il v en avait trois on pourrait supposer par une substitution

56 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. linéaire que ces trois valeurs remarquables sont o, i et oo, de sorte que

/, o et —(J-o) seraient des puissances parfaites. Soient

ces trois puissances parfaites; on devrait avoir identiquement

X». -i- Y». •+- Z«o = o, X, Y et Z étant des polynômes homogènes de degré

a,' az' ïj

en X, y et :.

Or Halphen, au début de son Mémoire couronné sur les équations linéaires, a étudié les identités de cette forme. Il a montré d'abord que les nombres a,, izj et «3 devaient avoir certaines valeurs particulières («,, 2, 2), (2, 3, 3), (2, .'5, 4), (a, 3, 5); il a fait voir ensuite qu'on devait avoir

X = P,( 7)1,7)2), Y = Pï(lQl,';2), Z = P3(V1,,7„),

P,, Po et P3 étant des polynômes homogènes en r,, et rio qu'Halphen a complètement formés et qu'il est inutile de transcrire ici, pendant que yj, et 7)2 sont deux polynômes homogènes de même degré en x, y et s. Alors la courbe

/-+- C o = X«i -4- CY»: = o

est décomposable quel que soit C en un certain nombre de courbes appartenant

au réseau

■"Il

— =con5.l.

Or c'est là précisément le cas exclu plus haut.

Si donc, comme nous l'avons supposé, /+ C9 n'est pas réductible quel que soit C, le nombre des valeurs remarquables des trois dernières espèces ne peut dépasser 2, et par conséquent le nombre total des valeurs remarquables est limité.

J'ajoute que, s'il y a deux valeurs des trois dernières espèces, de telle sorte, par exemple, que

les deux nombres «, et «2 devront être premiers entre eux, car s'ils avaient un

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 57 facteur commun, le polynôme

serait réductible quel (|ue soit C.

Nombre des nœuds. — Supposons que tous les nœuds soient dicritiques, on aura

d'où, si l'on appelle n le nombre des nœuds et x une variable quelcon(pie,

x-p- — (ni^-2)/Ja7 + /i = S(3;X — i)2.

Le second membre étant essentiellement jiosilif, les racines du trinôme du second degré en x qui figure dans le premier membre doivent être imaginaires

ou égales, ce qui exige que

De plus, si

les racines sont égales et le second membre doit pouvoir s'annuler, ce qui ne peut avoir lieu que si tous les X sont égaux entre eux.

Supposons maintenant que tous les nœuds soient dicritiques et tous les cols du premier ou du second genre; toutes les valeurs critiques de C sont des deux dernières espèces et il ne peut y en avoir plus de deux. Soient y.^ et a^ les exposants correspondant à ces deux valeurs critiques. On aura pour la première valeur critique

^ = Sa,n,= a, S «i, S (y.,— i) «; = ( i — — 1 /),

et de même pour la seconde valeur critique

Alors la formule

7?i + a = •'./) — S (a, — .1) ni devient

On aura de même pour un nœud quelconque et pour la première valeur H. P. — III. H

58 SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. critique

-i)li

rit

( ni — -j

'■Jl.

et pour la seconde

de sorte que la formule devient

d'où

ou, puisque />^ = S). ■^.

Liinilatinn du t/egrc. — Dans le cas où tous les cols sont du premier ou du second genre, il est possible de Irouvci une limite supérieure du degré /; et par conséquent de reconnaître si l'équalion est inlégralile algébriquement.

Nous venons de trouver, en eflfet, sans avoir besoin de supposer que tous les nœuds soient diciltiques,

d'où

a, 2j(m -f- ■'.) =/> ( a,-t- y-iK

Or, X, et y., sont premiers entre eux et par conséipuni chacun d'eux est premier avec a,H-ao. Donc a, + sco divise m -\- 2.

Nous devons en conclure que «, + «0 et par conséquent a,, «■> et /' sont imités. c. Q. F. n.

Je m'arrêterai là, l)ien que les principes qui précèdent |iuissent prdliahlement, avec de légères modifications, donner des résultats dans des cas moins particuliers.

l'aiis, le li a\ 1 il 1891.

SUR L IMEGRATION ALGEBRIQUE

DES