VII. Périodes variables

J'arrive à un autre ordre de considérations où l'on verra la principale différence qui éloigne la théorie actuelle de celle des intégrales simples.

Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction sous le signe ff ne devenait infinie en aucun des points de la surface d'intégration.

Cette hypothèse n'est pas nécessaire comme elle l'était dans le cas des intégrales simples. Il arrive en effet, comme nous allons le voir, que l'intégrale reste finie bien que la fonction sous le signe /'/' devienne infinie.

Soit S la surface d'intégration appartenant à l'espace (À, p., v) et dans ce même espace, une courbe singulière C en tous les |)olnts de laquelle la fonction F(i;, r;) devienne infinie. Supposons (|ue cette courbe C coupe la surface S de telle sorte que lune des portions de (! soit à l'intérieur de S et l'autre à l'extérieur.

Prenons maintenant l'intégrale :

Im;î. T,)f/^f/T,

48o SUR LES HÉSIDtS DES INTÉcnALES DOllILIiS.

le long de la surface S. I^a fonction F sera infinie aux points où C coupe S, mais en général elle sera infinie de premier ordri' seuleinenl. L'intégrale restera alors finie.

Nous savons en efiet (ju'une intégrale multiple dordre /( reste finie quand la fonction sous les n signes / devient infinie en un point isolé, pourvu toutefois quelle soit infinie d'ordre inférieur à /;.

Pour évaluer cette intégrale double, on peut opérer ai)solument de la même

façon que dans le paragraphe IV. Posons alors

Fi s. T,) =

Nous supposerons que P ne devient pas infini à l'intérieur de S, et que O ne devient infini cjue le long de la courbe C. Cela suppose que S ne contient pas d autre courbe singulière que C : mais cette hypothèse est toujours permise, car s'il en était autrement, on remplacerait la surface S par plusieurs autres ne contenant chacune ([u'une courbe singulière.

L'intégrale doulile sera égale alors à l'intégrale simple

Celte intégrale, au lieu d être prise tout le long de C, sera prise seulement le long d'une partie de celte courbe, puisqu'une partie seulement de celte courbe est intérieure à S.

Si P est rationnel et si Q est un polynôme entier, cette int('grale simple est encore une intégrale abélicnne relative à la courbe algébrique

Mais ce n'est plus une période de celte intégrale, c'est une intégrale prise entre deux points quelconques de la courbe Q = o.

Quant au sens dans lequel on doit suivre la courbe C, on Le déterminerait par la règle du paragraphe IV.

Nous pouvons donner au\ intégrales ilf)ubles de celte forme le nom de périodes, puisqu'elles sont prises le long de surfaces fermées. Mais elles différent beaucoup des périodes que nous avons envisagées jusqu'ici.

Si, en effet, nous déformons d'une façon continue la surface d'intégration S, l'arc de C qui sera à l'intérieur de S variera aussi d'une façon continue. Il en sera donc de même de la période.

SliR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOURLES. 48l

Ces périodes ne sont donc pas des conslanles. Ce sont des périodes rariables. Il importe d'ailleurs de ne pas les confondre avec les intégrales auxquelles M. Picard avait donné ce nom dans ses Notes du 29 janvier i883 et du i" février 1886.

Je rappelle que dans l'introduction nous sommes convenus de ne pas le leur conserver afin d'éviter toute confusion.