II. f. — m
SUR LES RESIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.
On sait que les fonctions 0 ne sont que des cas particuliers des fonctions intermédiaires qui s'y ramènent d'ailleurs aisément. Nous allons maintenant définir notre espace À, p., v. Distinguons les parties réelles et imaginaires des périodes, en faisant
l'osons ensuite :
a? = rt I /, H- f/j fi -h «-, V,
y = II", X + a'n n -i- rt", V.
I = h'\ À -i- 6Ô |ji + h\ V.
Nous étendrons nos intégrations à la surface totale du cube dont les six
faces ont pour équation
). ou ji ou V = o ou I.
Les courbes singulières que nous considérerons auront toutes pour équation
A l'intérieur de notre cube, il pourra se trouver plusieurs branches de la courbe singulière <I» = o, mais parmi ces branches, nous devrons distinguer les branches fermées et les branches ouvertes limitées à chacune de leurs deux extrémités par l'une des faces du cube. Les points qui doivent surtout attirer notre attention sont les extrémités des branches ouvertes, c'est-à-dire les points où la courbe <I» = o coupe les faces du cube.
Mais nous distinguerons ces points en deux catégories. Supposons que dans le voisinage d'un de ces points, les équations de $ ^ o puissent se mettre sous la forme
ainsi qu'il est dit au paragraphe W .
Nous formerons le déteiniinnnl A du paragraphe IV qui s'écrira ici :
cU
'Il
'Il
-f i^'\ i>"i lA
Nous avons vu que si ce délerminanl est positif, il faut, dans les intégrations, suivre la courbe it ^ o dans le sens des w croissants, et qu'il faut la suivre au contraire dans le sens des w décroissants si A est négatif.
Comme w reste arbitraire dans une large mesure, on peut toujours choisir cette variable de telle sorte que A soit positif el que par conséquent on ait toujours à suivre Li courbe dans le sens des co croissants.
Cela posé si nous considérons un des points d'intersection P de la courbe <I» = o avec une des faces du cube, et que dans le voisinage de ce point, on suive cette courbe dans le sens des oo croissants, il pourra se présenter deux cas. Ou bien on passera de l'extérieur du cube à l'intérieur, ou inversement.
INous distinguerons doue deux sortes de points P; le point P st'ra pusillf i\ l'on passe de l'extérieur du cube à l'intérieur et nèitdlif dans le cas contraire.
Pour reconnaître le signe d'un de ces points, imaginons que ce point appartienne à la face \ '=■ o, et que dans le voisinage de ce point, on ait pour l'équation de «I> = o
Il viendra alors :
f/Ç = ( 2 -t- / [i ) clri OÙ
. r, (If dr\
di
en remplaçant di et dn par leurs valeurs el séparant les parties réelle et imaginaire, il vient :
{n'\ — a.b'\ + (Bè'i) dX + (al — x6ô + ,3 6V) d^x. 4- {a'\ — ai", + pè'.) r/v = o.
Ce sera en étudiant les coefficients des équations (V) qu'on reconnaîtra si le point P est positif ou négatif.
Si l'on fait varier ces coefficients d'une manière continue, le passage des points P positifs aux points P négatifs se fera au moment où d'k est nul, c'est-àdire oii
(4) (rt'o — «^2 -f- pftj) (rt", — ot^'.'i — (i//.| ) — («j — a6'| -f- [i6"| ) {a", — r3.b", — |36'^, ) = (j.
Tout dé|iend donc du signe du premier membre de l'équation (4).
Nous n'avons encore rien supposé au sujet de la fonction 4» qui égalée à o définira la courbe singulièie ; nous choisirons plus tard pour il» une fonction intermédiaire, mais dans ce qui a été dit juscju'ici, rien ne préjuge ce choix.
484 SIB LES RÉSIDIS DES INTÉGRALES DOUBLES.
Faisons en particulier
Alors on aura
el le premier membre de (4) se réduira à
"■i "à — "'a "•;• C'est la partie imaginaire du produit
en désignant par ?7o la quantité imaginaire conjuguée de (/.... Prenons le cas [larticulier où
Alors le premier membre de (4) se réduit à i: il est par conséquent positif. Nous pouvons supposer en même temps */, = o. Les équations (3) se réduisent alors à
r/fJt =1 f/v =^ (>.
On en conclut que
(/z = h\ </X, (Il = //; r/À.
Le délernunanl A se réduit à
-'^ihr + br^);
il est donc négatif.
Donc quand le premier membre de (4) est positif, le poinl P est négatif et inversement.
Nous n'avons considéré jusqu'ici que les points P situés sur la face du cube (jui a pour équation ). = o. On raisonnerait de même pour les cinq autres faces et l'on arri\eiait aux conclusions sui\antes:
Posons
Posons ensuite :
Ci = n i — lih,
et soit ?, la quantité imaginaire conjuguée de c,-. Soit eniin I ( '/ ) la partie inuiginaire de u.
SIR LES ItÉSlOl'S DI.S l,NTKl.RALi;S DOLBI.KS. i^J
Les poiiils P seront positifs :
pour la
fare
I( C'jCu) > o.
'(c.Ca 1 <(),
