IX
I(CaC,) > o,
Il = 1
SI
!('-';) Cl ) < ",
si
I(CiC,)>o.
l{ctC..) < o.
Nous devons remarquer que si nous avons sur la face À = o un point P dont les coordonnées soient (o, p., v), nous aurons sur la face opposée À =: i un point P' dont les coordonnées seront (i, fx, v). De plus les points P et P' seront de signe contraire.
De même à tout point P situe sur l'une de^ faces /j. = o, v = o, correspondra un autre point l* de signe contraire situé sur la face opposée.
Considérons maintenant l'intégrale
fJ
et étendons-la à toute la surface de notre cube.
Soient N| et Nj les nombres des points P positifs et négatifs situés sur la face À =^ o. Soient de même IN, etN.,, N'J etN^ les nombres des points P positifs et négatifs situés sur la face f;. ^ o et sur la face v = o.
L'intégrale double se ramène alors à l'intégrale simple
lit d^,
prise le long des diverses courbes «I» = o. Celle-ci est évidemment égale à
•2,;:(lt,-2?.,).
-il représente la somme des l relatifs aux divers points P positifs, —ïj la somme des l relatifs aux divers points P négatifs.
Or à chacun des N| points P positifs de la face À == o, correspondent N, points P négatifs appartenant à la face >. = i . La différence des i est égale à a,.
L'intégrale est donc égale à
D'autre part considérons deux points correspondants des deux faces opposées
>. = o, ). = I . Soient 'l, et -% les valeurs de ^-^ en ces deux points, on aura
de soric que l'intégrale double étendue aux deux faces /. = o, ), ^ i se ramène
à rnUéjj;rale double
étendue à la face /, = o toute seule. Cette intégrale est alors égale à
PlCo.^è:,— (7:,6o).
On trouverait des expressions analogues pour les autres faces de telle sorte que l'intégrale totale est égale au déterminant
Ce déierminanl est donc égal à l'expression (5). D'une façon plus générale, posons :
r^ = bjX-t-b/^li,
et envisageons alors l'équation
<t'{n,'k -i-rnix. f>,l -^ ft^.ix) = o.
On pourra satisfaire à cette équation d'un certain nombre de manières par
des valeurs de 1 et de jjl réelles et comprises entre o el i . Parmi ces solutions
qui correspondent à divers points P, distinguons celles pour lesquelles la partie
imaginaire de CiCk est positive, de celles pour lesquelles cette partie imaginaire
est négative. Soit ensuite Vu l'excès du nombre des solutions de la première
sorte sur le nombre des solutions de la deuxième sorte. D'après celle définition,
on aura :
Pu=-r'A„ P„=o,
Reniaïquons de plus que la partie imaginaire de c/Ca peut se mettre sous une autre forme :
Elle est donc de iiiêine signe que la partie imaginaire de
De plus nous pouvons écrire ;
2 i-K( cii I'.23 -i- (t., P31 J- a-, l']„) =
On aurait de même par s) niétrie :
■2i7t{a3\'u-i-niï\~-¥- «1P3,) =
