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et une f|ualrième équation analogue.

On peut réunir ces quatre équations en une seule, en écrivant symboliquement :

Xi X-, X3 X; Xi X-, Xj Xi

[Ji p., p:, Pi . a, a-, «:, Oi

= 2 (71 "1 f'j "3 '''•. f"l Wo 0)3 Wi

61 b-, bi b\ ÎÛ] iÛ.2 S)- Ô);

Dans celte identité x,, J^j, 373, ar, sont des quantités quelconques. Quant aux co et aux u) ce sont des quantités qui ont un sens symbolique. Nous convenons de remplacer dans le développement du second membre

par

Comme rien ne distingue ; de 0 nous pouvons écrire de même :

Xi X-> .2*3 X/^

bi b-, b-s bi

ai «. «3 a;

Xi X-i X3 Xi

bi b., b, b,

0)1 U>2 IO3 (Uj

OJi OJ-T tôy (JJ.i

Nous écrirons plus simplement encore les équations symboliques (6) et (7) de la façon suivante en écrivant les déterminants sous une forme abrégée :

Posons

{x'^ab) = iiTii xam 10 ), {xnba) = îir.^x builTi).

P,«= h{i^ak—%ka,)-\- k(^Jn— '^kb,)

4S8 SLR LES RÉSIDUS DES INTKGRALES DOl'BLES.

et cherchons à délerminer h et A" par les équations (6) et (7). Il vient :

1 xaiMw ) = lt(xaoi.a) -+- k{xa'^b) = — k{.v'^al>), (xbiovj) = I){xb3.a) -t- ki.rb ^ 6 ) = — /i ( ,f a ba),

de sorte que les équations (6) et (7) donnent:

Nous avons donc une solution des équations (6) et (7). Je dis (ju'il n'y en a pas d'autres, du moins en nombres entiers.

En effet s'il y en avait deux, on pourrait trouver des nombres entiers I'), satisfaisant aux huit équations

'U l'/,/ + <>k 1')/ -+- ai 1'//,. = o, biV'ii.-^bky',i-^ btV;i. = o.

En d'autres termes si l'on pose symboliquement :

P',7;= to',- m].— w<-tû'(

et que l'on envisage la forme bilinéaire :

cette forme bilinéaire s'annulera identiquement quand on y fera, soit :

soit :

.Il = ^1 . }'"- = *2> y-i = ^3, >i = ^4-

Faisons subir à .r et k y en même temps qu'à a et à 6 un même changement linéaire de variables en faisant :

Nous choisirons ce changement de variables (où les q sont des entiers) de façon à réduire la forme bilinéaire (xyu)''îZ') qui s'écrira alors :

Al •'■'ir'j — ■'■'■2.r\) + B(.r;,y.., — x',/^).

On devrait donc avoir identiquement :

Gela ne peut avoir lieu que si A et B sont nuls (mais alors la forjne bilinéaire

SI 11 LES IIÉSIDIS DES INTEGRALES DOlillLES. .1S9

est idciitiqnemeni nulle et piu- conséquent tous les P,, sont nuls) (c. q. f. n.) ou encore si un seul des coetlicients A ol B s'annule, A par exemple, mais alors

il faut encore ([ue

«'., =^ Il -^ = 60 = 6-, = (I.

La fonction abélienne n'aurait j)lus alors que deux périodes; la seconde hypothèse est donc inadmissible.

On doit donc conclure de celte discussion que l'unique solution des é([ualions (6) et (7) c'est:

Dans le cas particulier où la fonction <I> se réduit à une fonction 0 d'ordre m,

et où l'on a :

ai = 11-, a.2 = ") Oi^f'-j, 61 = 0, bi=>.i-,

a, = o, a.j = (), Xj = lit, aj = o,

P, = o. p„ = o, Pa = o, [3i = m,

tous les N/A sont nuls, excepté N31 et N.,.j qui sont égaux à i .

Tous les P,A sont donc nuls excepté P^i et P42 qui sont égaux à m . Si nous reprenons les notations N,, N.,, N', , N., etc, de telle sorte que

P,3=Ni-N,, P„ = !N',-N;, nous aurons

et

No — N'i = m.

On pourrait trouver plus intéressant de connaître le nombre N , +N'., , c'està-dire le nombre total des P, au lieu d'avoir seulement l'excès du nombre des points P positifs sur celui du nombre des P négatifs.

Nous avons toutefois un renseignement sur ce nombre N, +N.,. 11 est plus grand que m et de même parité que m, car il est clair que

No -t-N', >N2 — IS'i ; N'o-+-N'| = No — N'i (mod 2).

On pourrait arriver à tous les résultats qui précèdent par l'emploi des difTcrentielles totales, cela serait même plus simple ; mais je n'ai voulu donner ici qu'une application de la théorie des intégrales doubles,

Paris, 24 clécuinlire 188G.

SUR

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. I'25, p. gg^-rir)-; (i j décembre l'^g;).

Je considère l'intégrale double

■ P dx dv

où p et F sont deux puljnomcs entiers en x el y, el où ^ est un paramétre arbitraire.

Considérons, d'autre part, l'intégrale simple

Dans celle intégrale simple, je suppose que y est lié à x par la relation

algébrique

où t est un autre paramètre arbitraire. Ainsi y' est une intégrale abélieime relaliv(! à la courbe algébrique F = t .

Soit 11) une des périodes dey; celle période sera une fonction de <, et l'on sait que cette fonction di satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en /.

Soit