p intégrales de l'équation (i ) (|iii deviennent
Xi(',. ÀoP, Àj/, '■2»
quand t tourne autour de t^.
Soit, dans le voisinage de l'origine O,
to = z, C, -1- ïoPj-T-. . .-r- y-îpVip,
les a étant des coefficients constants.
On aura alors
o = ■> CI ''I ''I ^ ^-2 ''2 ^>p '■■!,. \ dt r M dl
J \i — >-i I— >.2 "■■ I — '-î/. / \ T^ir: J^TZT^'
la première intégrale étant prise le long d'un lacet partant de l'origine et y revenant après avoir entouré le point 1^, et la seconde le long d'un lacet partant de l'origine et y revenant après avoir entouré le point ;.
Il est clair que i2 est une fonction de ; qui va satisfaire à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en z. Soit
«sucette équation; les Q^ sont des polynômes entiers en z.
L'équation (2) se déduit de l'équation (1) par une transformation bien connue qui se rattache à la théorie des dérivées d'ordre fractionnaire.
Les points singuliers de l'équation (2) sont les mêmes que ceux de l'équation (i); mais le point sur lequel je voudrais surtout insister, c'est la manière de déduire le groupe du l'équation (2) de celui de l'équation (i).
igî SUR LES l'ÉHlODES DES INTÉGRALES 1)01 ULES.
Pour fixer les idées je supposerai
ip = i. q= ).
L'équation (i) est alors du second ordre et l'équiilion (2) est, en général, du sixième ordre.
Soient alors
les substitutions fondamentales du groupe de (1); les subtitutions correspondantes du groupe de (2) seront :
1 Il
Il 1
(t ri
— if
1 — ri'
II 1 00 — c" 1 — d"
Il II I O ] II" — ff'
o o II II — a" — ô"
Il o o ri — c" — t/"
Le groupe de (1) a tous ses coefficients entiers; on voit (|u'il en sera de même du groupe de (2), ainsi qu'il était aisé de le prévoir.
SUR
Journal de Afalhi'itialii/iies, 6" séiie. l. î, p. iS.Î-iSg (igoti).
Introduction.
La tlélernilnatioii du nombre des périodes cycliques d'une intégrale double exige une grande attention, comme toutes les questions d\4nalysis situs, dès que le nombre des dimensions dépasse j. M. Picard a abordé la question dans son Ouvrage sur les fonctions algéijriques de deux variables, que je citerai souvent.
Je m'en suis occupé moi-même dans un Mémoire inlilulé : Sur les cycles des surfaces ul<;èbri<jnes, el inséré au Journal de Liouville en 1902 ( ' ). C'està ce Mémoire que je ren\errai quand je parlerai sans autre explication du Mémoire cité.
L'application des règles jiosées ilans ce Mémoire présente quelquefois quelques difficultés; la question du nombre des cycles ne se pose pas d'une façon aussi simple que dans le cas des courbes algébriques, puisqu'il y a plusieurs manières d'envisager les points à l'indui et que le nombre des cycles ne reste pas le même quelle que soit la convention adoptée. D'autre part, il peut arriver que ce nombre ne soit pas le même pour deux surfaces, bien que l'on puisse passer de l'une à l'autre par une transformation biralionnelle. C'est ce qu'a montré M. l'icard.
Si l'on ne fait pas attention à ces circonstances, il peut arriver qu'on soit conduit à d'apparentes contradictions et que le mimbre des cycles dune surface, tel que le donnent les règles, ne demeure pas le même (piand on change d'axes de coordonnées.
C'est ce qui m'a déterminé à revenir encore une fois sur la question et d'ail-
I ' ) Voir ,\yi\ Notks.
49i SIR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.
leurs sans l'épuiser. J'ai iïH)difié la convention relative aux points à l'infini, de façon que tout devienne projectif et que les résultats se présentent sous une forme plus simple.
J'ai obtenu ainsi une formule générale et je l'ai appliquée aux surfaces du troisième degré.
Ces surfaces présentent, au point de vue qui nous occupe, des propriétés qui semblent paradoxales, sur lesquelles M. Picard a déjà attiré l'attention. C'est ce qui m'a engagé à les étudier en détail.
Il faudrait, pour aller plus loin, étudier les cas où la surface présente d'autres singularités que les singularités ordinaires qui caractérisent les surfaces auxquelles toutes les autres peuvent être ramenées par une transformation biralionnelle; c'est-à-dire les cas où la variété à quatre dimensions correspondante présente un point singuliei'. Mais je n'ai pas abordé ce problème. Je me suis contenté de dire quelques mots au sujet du point conique ordiniiire, et sans épuiser la question.
