II. — Intégrales doubles relatives à une surface. Soit

fi) F(.r. y. :■) = o

une surface algébrique quelconque, et soit

f r P (/./■ Jy r rv dy clz r r P dz <i.r

'-fr-^'fr^--f.f

une intégrale double relative à cette surface; P étant une fonction rationnelle de x.y , ;;. Nous supposerons cette intégrale prise le long d'un domaine à deux dimensions que j'appellerai k et qui sera généialemcnt un cycle fermé. Soit maintenant

un plan variable quelconque, et soit C l'intersection de ce plan variable avec la surface (i). Nous pourrons supposer que le domaine d'intégration K est engendré de l.i façon suivante : le plan (3) variera d'une manière continue; en même temps, nous envisagerons, sur la surface de Riemann correspondant à la courbe algébrique C, un cycle fermé /r : quand le plan (3) variera d'une manière continue, ce cycle k variera égalemeni d'une manière continue, et ce sont les positions successives du cycle à une dimension k qui engendreront le cycle à deux dimensions K. Que devient dans ces conditions notre intégrale double?

Sun LES PEIIIODES DES INTECKALES DOUBLES.

Posons

iKr-

«Ft,

'iFV.

l'osons encore

(/ = A .r + [ji )' -+- '

A. p. et V étant des constantes quelconques ; supposons que les coefficients variables a, (3, y de l'équation (3) soient des fonctions d'une certaine variable t el prenons (/ et t pour nouvelles variables indépendantes. Il s'agit de calculer le déterminant fonctionnel des anciennes variables .r el y par rapport aux nouvelles u et t.

Pour cela, nous avons les éiiuations suivantes :

(h) = À elj- -h fj. c/y -^ V i/z,

>// S ./• i' =:^ dx -(- 3 (Iv ^ -. ,lz.

al - 1

,/!■ = F',. ,/./• + F;. dy -^ ¥', dz.

Si donc nous posons

nous trouverons

= ÀX-fjiY

D'autre part,

d'où enfin

dl

c)( II. t

diii. I, F) à(ii, t. F) i)(ii. I. z)

i)(.r. y, z)~ (){ii. t. Z) à(.i\y, z) ~ '"Oijc.y)

à{x, y) ' ' dl

d(ii. 0 ~ E^

de sorte que notre intégrale double devient

dx

PZx -,^ du dt

dt

ou bien

(6) avec

rVxdu „ fPvdii „ rVzdn

On peut annuler deux des trois coefficients arbitraires l, //, v. en faisant l'autre égal à i ; on trouve ainsi, par exemple,

Les intégrales (7) et {-bis) sont des intégrales abéliennes simples relatives à la courbe algébrique C ; et si, comme nous l'avons supposé, le chemin d'intégration/. est un cycle fermé, ce sont des périodes de ces intégrales abéliennes.

Nous devons nous attendre à ce que

soit une dillérentelle exacte, et c'est en effet ce qui arrive. Vérilions que

Quand nous allons parcourir le cycle /. , le point u va décrire dans son plan une certaine couibe fermée ; nous pourrons toujours supposer que celte courbe ne varie pas quand on donne à |3,^ar exem()le, un accroissement très petit.

En effet, par liypotlièse, notre cycle /. est fermé et varie d'une manière continue. Si donc k est la courbe fermée déciite par u dans son plan, si /," est ce que devient cette même courbe quand ^ se (diange en (3 + f/,6, ces deux courbes fermées /,' et /, ' différeront infiniment peu. On aura toujours pu choisir k' de façon que celle courbe passe à distance finie de tous les points singuliers. 11 n'y aura pas alors de point singulier entre /,' el /, ". L'intégrale le long de /, " est donc égale à l'intégrale le long de /.': on peut remplacer la courbe /." par la courbe /,', c'est-à-dire supposer (|ue la courbe /.' n'a |ias varié. Cela nous permet de calculer -jg par dili'éri'ntialion sous Je signe / en regardanl le ciiemin d'inlégralion comme invai'iable. On Irouve ainsi

en reniaïquant que

</A rd IV. r\

dT=J dr.(-u)''"'

d d d.r d dy d itz <i ~ d7r Tri'' dv <i ""

en représentant par -r^ avec des à ronds la dérivée prise par rapport à (3 en tant

que celle variable figure explicitement dans -j^i mais en regardant .v, y, z comme des constantes.

Nous observerons (jue, dans le numéraleiir !'./. la lettre jS ne ligure pas expli-

citement, mais qu'elle figure dans D et que Ion a

Mainlenanl, pour calculer 'j^j ^ , ^. il faut dans les équations (5) faire

du^o, puisque notre chemin d'intégration est invariable; t/F = o, puisque l'équation (i) a toujours lieu; da = dy=o^ puisque pour chercher la dérivée partielle par rapport à |3 il faut regarder les deux autres variables c et y comme des constantes, On trouve ainsi

(5 his)

— yd'.^ = ^'J.d.r,

t> = ZV',.dx.

Nous j adjoignons l'identité

,/Px\ fdO, dQ , dq^\^^j P'"'^'^^M

en posant

Les équations {^bis) nous donnent d'abord

, /'/" , " dO , dO \ \U -^ dx ^ -^dy-^ -^ds) = y di \dx dy -^ dz ) -' ■

et d autre part

X ;a V F:,: F^. Fi

Qx QV Qi

Si doue dans l'équation (g) nous remplaçons 2^ dx. dx et -rg par leurs valeurs, nous trouverons

On tr<iuvt'rait de même

et l'identité des deux expressions suffit pour démontrer l'égalité (8). Donc KdoL + ^dyi-\- Cdy est une différentielle exacte c. q. v. n.

Afin de ne pas exclure le cas où le plan (3) passe par l'origine, il convient de

',Ç)i< SLIl LES PÉRlOllES DES INTÉGUALES nOl'BLES.

rendre l'équatiou de ce plan honiogèoe en l'écrivant

(3 bis) ax -^- 'fly — y z = î.

Il vient alors

A|, B|, G| étant ce que deviennent A, B, G quand on v remplace a, (3, y par -) -5 - ; dans ces condilions, le déterminant D se change en

Il vient ainsi

d'où

A , rf - = A rfa -

d'où enfin

(^COis) </i = Xd-JL — M d'fi ~ ('. d-; — \i di

ou

\ J. -^ \^ ;1 + C. Y / ■ p ( a ,r — [i K — y 3 ) du

~.l HT

ou en vrrtu de l'équation (3 bis) :

Considéions alors .1 comme fonction de ex, (3, y, e; nous jinrlirons de certaines valeuis initiales do ces variables, par exemple les valeurs i, o, o, i ( c'esl-à-dirt' le plan .r = i ), et nous les ferons varier d'une manière continue et par un chemin (juelconque jusqu'à leurs valeurs finales a, (3, y, £ ; le cycle à une dimension /. vari(!i'a aussi d une manière continue et engendrera une variété à deux dimensions K qui ne sera pas fermée, mais (jui aura une frontière formée du cycle initial (c'est-à-dire du cycle k de la surface de Riemann corrcNpondant au plan initial x^ \) el du cycle final (c'esl-à-dire du cycle /> de la surface de Riemann correspondant au plan final ax -\- ^y-\-yz = e). C'est le long de cette variété K que sera prise l'intégrale double .1.

L'intégrale .1 est une fonction multiforme des variables «, (3, y, c ; parce que les cj'cles k s'échangent entre eux lorsque ces variables tournent autour d'un point singulier, et parce que l'intégrale J jjrend deux valeurs diilerentes, quand

les variables vonl de leurs valeurs initiales à leurs valeurs finales par deux chemins différents, si entre ces deux cliemins il y a un point singulier.

Quels sont ces points singuliers ; ce sont ceux qui correspondent au cas où le plan (ibis) est tangent à la surface (i).

Considérons d'abord le cycle /, et les valeurs correspondantes des intégrales A, B, C, E comme des fonctions des variables a, p, y, s; quand les variables ayant tourné autour d'un point singulier reviendront à leurs valeurs initiales, le cycle A- se transformera on un autre cycle de la même surface de Rieinann. Soient A|, Ao, . . ., /.^/y les cycles fondamentaux de cette surface de Riemann (que je suppose de genre/j). Après une rotation autour du point singulier, ils se transformeront en d'autres cycles de la même surface, qui devront être euxmêmes des combinaisons des cycles fondamentaux A,. A 2, . . . , /.y,.

Soient alors A,, Aj, . . -, A^^ les \aleurs de l'intégrale A correspondant à ces 2p cycles; ce sont les périodes fondamentales de l'intégrale abélienueindélinie A. Elles se transformeront en A',, A!,, . . . , A. ^ et les A, ne seront autre chose que des combinaisons linéaires des A,, à coefficients constants et euliers.

Donc A, considéré comme fonction de l'une des variables a, [3, Y) s, satisfait à une équation différentielle linéaire d'ordre 2p, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x, (3, j/, s; plus généralement, entre 2/j-f- i dérivées partielles de A par rapport aux quatre variables (parmi lesquelles la fonction A elle-même pourra être comprise), il y a toujours une relation dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de x, (3, y, e.

Il en sera de même en ce qui concerne B, C et E. Alais il v a quelque chose de plus. Quand les variables tournent autour d'un point singulier, B, G et E subissent ta même transformation linéaire que A. Il en résulte (pie nous aurons encore une relation de même forme, non seulement entre 2p-\- i dérivées de A, mais entre 2p -)- i dérivées quelconques, appartenant les unes à A, les autres à B, C ou E, les fonctions A, B, G et E elles-mêmes n'étant pas exclues.

Mais A, B, C, E sont les dérivées du premier ordre de .1 ; et les dérivées de ces quatre fonctions sont aussi des dérivées partielles de .T, de sorte que nous arrivons finalement au résultat suivant :

Entre 2p-\-i dériit'e.s partielles quelconques de i {la fonction J étant exclue) il y a toujours une relation linéaire dont les coefficients sont des Jonctions rationnelles de x, (3, -/, £.

Prenons un nombre suffisant de semblables relations, en assez grand nombre

pour que toutes les autres n'en soient plus que des conséquences; nous aurons un système de relations que j'appellerai le système (S). Il suffira, par exemple, pour cela de prendre les quatre équations

ib[ ^ ' d-x^ di jLd ' doL' '

Q,, R-, R,-, R- sont des fonctions rationnelles de ^, p, ■/, e; dans la première équation (S) l'indice i peut prendre les valeurs 1.2, .... 2/>. Qu'arrive-l-il maintenant de J quand les variables tournent autour d'un point singulier? Considérons par exemple les 2/> déterminations de A :

définies plus hnut et soient

les déterminations correspondantes de .1. Supposons que, quand on tourne autour du point singulier, A/ se change en

les \ih étant des coefficients constants et entiers comme on l'a expliqué plus haut; alors .1, se change eu

II,- étant une couslautc

Une combinaison quelconque ^>ia.T/,, où les À;, sont entiers, se changera

donc en 2,V-kik + H où les /j.a sont des entiers et oti H est une constante. Cela

posé considérons q points singuliers -M,, Mo, . . ., My. Imaginons que, quand on tourne autour de M,, une certaine combinaison

se change en 7 PiaJa + Il| ; et que plusgénéralemenl, quand on tourne anlonr de M,, une certaine combinaison /^A,a.Ia se change en

Les X,/i et les /jijt sont des coefficients entiers, les II, sont des constantes.

SI n i.RS PÉRionES drs intégrales doubles. Soi

Soil (laillt'uis K, un contour à deux dimensions défini de la façon suivante :

Soit C, un contour à une dimension: pour les valeurs initiales (1,0,0, 1) des quatre variables, il est choisi dans le plan (x = i ) de façon que la période

correspondanle de l'intégrale A soit ^X,;tA/;. Supposons ensuite que les

variables x, (3, y, s tournent autour du point singulier M, en partant des valeurs initiales (1,0, o, i ) pour revenir aux mêmes valeurs finales, et que le cycle C, varie avec elles d'une manière, continue ; il engendrera le cycle à deux dimensions K,.

Nous pouvons supposer que J,, J^. .... Jo,, (qui ne sont définies jusqu'ici qu'à une constante près) s annulent pour les valeurs initiales. Alors H, sera l'intégrale double prise le long du contour K,.

Soient maintenant

q coefficients entiers, choisis de telle sorte que

(") \ ''/f À,, — 1^,1,1 =^''it '-i^— [J.,,) =. . . = V v,( À,-,;,— ,a,-2^) = o.

Alors, l'expression

repi'ésentera une des périodes de l' intégrale double; ce sera la valeur de celle intégrale double, prise le long du cyclo fermé à deux dimensions

Je dis, en efl'el, que ce cycle est fermé. En effel le cycle K, n'esl pas fermé, mais il admet pour frontière, d'une part, le cvcle C, dans sa position initiale, c'est-à-dire

d'autre part, ce même cycle dans sa position finale, c'est-à-dire de sorte que sa frontière complète sera

Soi SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Donc la frontière complète du cycle N v,K, sera

et elle se réduira à rien en vertu des relations (i i).

Supposons, d'aulre piirt, que nous changions l'origine, je veux dire quau lieu de faire varier a, (3, y, s depuis les valeurs initiales ( i, o, o, i ) jusqu'aux mêmes valeurs finales nous fassions varier a, (3, y, e depuis d'autres valeurs initiales («(,, |3o, y^, So) auxquelles nous les ferons finalement revenir. La définition des cycles K, se trouvera modifiée; nous n'aurons plus le droit dé considérer Jic comme nul à l'origine et l'intégrale double prise le long du cycle K, ne sera plus H,, mais

Elle dépendra donc du choix de l'origine (a,, (3o, y^, £o)- Considérons, au contraire, l'intégrale double prise le long du cycle ^v,K,; elle sera

expression qui se réduira à N v,H, en vertu des relations (i i). Elle sera donc indéjjendante du choix du l'origine.