III. Lacets rectilignes

M. Picard a démontré que, par une Iransfurmatiun birationnelle convenable, une surface quelconque peut être ramenée à une sui'face nitrinale, c'est-à-dire à une surface n'ayant d'autres singularités que des courbes formées par l'intersection de deux najipes sans point singulier, ou des points triples formés par l'intersection de trois nappes sans point singulier. Néanmoins la courbe double pourra présenter des pincli-points ('), c'est-à-dire des points où les deux nappes se touchent, de telle façon que l'intersection de la surface par un plan quelconque passant par ce point présente non plus un point double à tangentes séparées, mais un point de rebroussement ordinaire.

r ' ) [ou points-pinces. ]

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOIBLES. ''o3

Dans ce qui v.i suivre, nous supposerons donc en tjéaéral que la surface

est normale; cependant, dans certains cas, nous serons amenés à considérer des si^rfaces qui, outre les sinoularilés des surfaces normales, présentent des points coniques isolés; nous supposerons qu'en ces points coniques le cône des tangentes est un cône du deuxième degré ne se décomposant pas en deux plans.

Nous avons envisagé dans le paragraphe précédent les quatre variables homogènes a, (3, y, e et nous avons considéré en particulier le cas où ces variables prenaient des valeurs correspondant à un point singulier; et nous entendions par là des valeurs telles que le genre de la section de la surface (i ) avec le plan

que ce genre, dis-je, s'abaisse d'une ou plusieurs unités. C'est ce qui arrivera :

i" Si le plan (3 6t.v^ est tangent à la surface( I ) ;

2° Si la surface (1) admet des points coniques, et si le plan ( 3 bis) passe par un de ces points coniques.

Je ne reviendrai pas sur la discussion par laquelle M. l'icard a démontré que ces deux cas sont les seuls. Pour une surface normale, on n'a à considérer que le premier, et alors les points singuliers seront définis par l'équation

qui est l'équation de la surface (i) en coordonnées langentielles homogènes ou. si l'on aime mieux, l'équation de la dualistique de la surface (i).

On est ainsi amené à se préoccuper des singularités langentielles de la surface ( 1). Mais, par un raisonnement tout à fait pareil à celui de M. Picard, on verrait que l'on peut toujours supposer que la surface (2), dualistique de(i), est une surface normale.

Nous su])poserons donc en général dans ce qui va suivre que les deux surfaces sont toutes deux normales, de sorte que les seules singularités tangentielles de la surface (i ) seront :

1° Des plans tangents doubles en nombre simplement infini;

2" Des plans tangents triples en nombre fini;

3" Des plans lingents dUn/fexion correspondant aux points-pinces.

5o4 Sl'R LES PBRIODRS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Considérons d'abord un point singulier M, correspondant à un plan tangent simple ordinaire. Soient A,, /..,, ..., /,%,, les 2/> cycles fondamentaux de la courbe algébrique, intersection do (i) et de (ibis): supposons que le point analytique (a, (3, y, £) parte d'une position initiale quelconque que j'appellerai O, et qui correspondra par exemple à (o, 1,0,0), c'est-à-dire au planj- = o, que ce point analytique tourne autour du point singulier M; et revienne en O; que seront devenus les 2j> cycles fondamentaux?

11 résulte d'un raisonnement de M. Picard ( Théorie des /onctions algé-

briqiies, t. I, p. y6 ) que, si l'on a ciioisi convenablement les 2/7 c\cles fonda-

mentairx

ils se changeront en

Il va sans dire que le choix des cycles fondainenlaux qui permet d'énoncer le résultat sous cette forme simple n'est pas le même pour les différents points singuliers M,.

Lorsque le point analytique (a, (3, y, s) vient en M,, le plan (3 bis) devient tangent à la surface (i), coupe cette surface suivant une courbe qui n'est plus que de genre p — i et qui par conséquent n'a plus que :>./) — 2 cycles fondamentaux; ces cycles sont

Considérons alors le c\cle

les A étant des cueflicients entiers; quand le point analytique (a,|3, y, s), partant de O, reviendra en O après avoir tourné autour de M,, en décrivant le chemin lermé C, le cycle à une dimension A engendrera un cycle à deux diuiensions K; reprenons l'intégrale J du |)aragia|)he précédant et prenons cette intégrale double le long de K. Le clieuiin C peut être remplacé par un lacet, c'est-à-dire par un chemin allant d'abord de O en N,, point infiniment voisin de M, le long de la ligne L/, allant ensuite de N/ en N, en décrivant autour de M, le contour infiniment petit C^ et revenant enfin de N, en O par la ligne L,.

Je remarque d'abord que l'intégrale .1 correspondant au contour infiniment petit C] est infiniment petite. En effet, cette intégrale peuts'écrire, comme nous l'avons vu au paragraphe précédent,

-f.r-^-fj"^'-ff

SUR LES PKRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 5o5

Les trois dénominateurs F^., F^., FI ne sont pas nuls à la ("ois, >i le point singulier n'est pas un point conique; de sorte que nous pouvons toujours supposer que la fonction sous le signe / / reste iinie; et le contour dintégration est infiniment petit.

Nous excluons ainsi le cas où le point singulier serait un point conique et aussi celui où P deviendrait prccisément in finiau point singulier M,-.

Mais le premier cas ne se présentera pas si la surface (i) est normale, et si l'autre se présentait, c'est-à-dire si le plan langent aj" -t- ^y -h ys =î correspondant au point ^1, touchait la surface (i) en un point où P serait infini, il suffirait de remplacer ce plan par un plan tangent infiniment voisin pour c|ue la difficulté ne se présentât plu-.

Il reste donc

'-J'I-fL

la première intégrale étant prise en parcourant la ligne L, dans le sens direct.

et la seconde en j)arcourant celle même ligne dans le sens inverse, mais après

que le cycle k., se serait changé dans le cycle Ao-I-Ai, et le cycle A' dans le

cycle k',

On a donc simplement

'—"If ■

l'intégrale étant prise depuis O jusqu'à M, en suixant la ligne L, et en remplaçant le cycle à une dimension /, par le cycle A,. Nous aurons donc

où

l'intégrale étant prise le long de la ligne L, ; les intégrales A, B, C, E ont le même sens que dans le paragraphe précédent; elles sont supposées prises le long du cycle A, ; le cycle A-, est choisi parce que c'est celui qui s'évanouit au point singulier Af, ; c'est, pour prendre le langage du Mémoire cité [Journal de Liouville, 5' série, t. \ III, 1902, p. 191), le cycle É-Vanow?ss(««M-elatif à M,. Les périodes de l'intégrale double J sont donc des combinaisons linéaires à coefficients entiers des intégrales / (L,). D'autre part, quand la ligne L, allant H. P. — III. 64

5o6 SUR LES PÉniODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

de O en M, se déforme d'une manière continue un même temps que se déplace le point M, et de telle f.içon qu'elle ne passe jamais par aucun point singulier, son extrémité M,- exceptée; dans ces conditions, dis-je, rexpressiony(L,) est une constante.

Si le point M, correspond à un plan tangent double ou triple, il y aura deux ou trois cycles évanouissants correspondant aux deux ou trois points de contact de ce plan avec la surface; l'inlégraley' (L,) sera donc susceptible de deux ou trois valeurs entre lesquelles il faudra distingue!-. Il en sera de même si le point M, correspond à un plan tangent d'inllexion: seulement les deux cycles évanouissants correspondront alors à un uK-me point de contact. A part cela, aucune différence avec ce qui se passe pour un plan tangent ordinaire.

Supposons maintenant que Ion prenne it = y = o, p =^ i , de telle sorte que le plan (3 bis) se réduise au plan y = e ; on étudie ainsi les sections successiyes de la surface par des plans parallèles à r = o; c'est le procédé qu'a employé M. Picard dan* son Ouvrage et j'ai suivi son exemple dans le Mémoire cité.

Marquons dans le plan des j- l'origine O correspondant au plan initial j-- ;= o, et les points singuliers M,, Mo, ..., M^ correspondant aux plans )-=i|, y = J'a, • ■ • , J>' =.}'ï «lui touchent la surface (i). Joignons 0M| , OM.2, . . . , OM^ par des droites. .Te considère une ligne L, dont tousles points satisfont aux conditions a=Y = o, [j = I ; dans ce cas s est seul variable et, comme notre plan (3 bis) a précisément pour équation y^=^s, nous pouvons représenter la ligne L, sur le plan des y. Je dis que l'intégrale /(L,) sera une combinaison linéaire à coefficients entiers des intégrales

y(OM,). ,/\0M,) ./<'">M-,)

correspondant aux droites OM,.

En effet, prolongeons les droites OM,,OMj, . . ., OM,, jusqu'à l'infini ; nous poui'rons considérer les prolongements M,oo des droites OM,, comme de^ coupures.

Cela posé, la ligne L,, tracée dans le plan des )•, ira du point O au ])oint M, en traversant un certain nombre de coupures; supposons pour fixer les idées qu'elle traverse successivement les coupures M, 00 et M, 00; il faut en outre préciser le sens dans lequel elle les traverse; je su[)poserai, par exemple, que ce soit dans le sens direct, c'est-à-dire dans le même sens qu'un mobile qui décrirait un cercle de rayon très grand dans le sens opposé à celui des aiguilles d'une montre. Alors un mobile qui décrirait le lacet tout entier, c'est-à-dire L,, puis

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOLHLES. Soy

le contour infiniment petit C, , puis de nouveau L, en sens contraire, coupera successivement les coupures M, oo, IVLao, M,oo dans le sens direct, puis Mjoo et M|Oodans le sens rétrograde. Le lacet primitif pourra donc être remplacé par cinq laiels rectilignes consécutifs, enveloppant respectivement les points singuliers M,, M.,, M,, Mo, M, et décrits les trois premiers dans le sens direct, les deux autres dans le sens rétrograde, f^es intégrales correspondant à ces cinq lacets seront respectivement égales à

/(OM,), j\(m,), yXO.M,), jmh). y(:oM,)

multipliées par des coefficients entiers convenables. La détermination de ces coefficients, dont quelques-uns d'ailleurs peuvent être nuls, dépend de la façon dont se transforment les cycles fondamentaux A,, A.i, . . . , A,^, quand on tourne autour des points singuliers.

Nous verrons plus loin comment on peut faire une réduction analogue, dans le cas où la ligne L, n'est pas tellf que tous ses points satisfassent aux conditions a = y = o, (5 = I. Mais, pour le moment, nous remarquerons que, dans le Mémoire cité du Journal de Liouville, j'ai démontré au paragraphe 3 que, sous certaines hypothèses, toutes les périodes de l'intégrale double J sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers des expressions y(OM,); les points Mi correspondent un eflel aux points A, du Mémoire cité et les chemins rectilignes UM, aux coupures OAy.

Les combinaisons linéaires qui correspondent aux périodes de l'intégrale double sont les suivantes. Soit A, le cycle évanouissant, correspondant à UM, ; toute combinaison

où les V, sont des entiers tels que

correspondra à une période

Dans ce même Mémoire, à la fin du même paragraphe, j'ai montré que quelques-unes de ces combinaisons sont nulles; ce sont celles qui sont engendrées de la façon suivante : je suppose qu'on décrive successivement les dilTé-

rents lacets

OM,, OM,, .... OMy

dans le sens direct et dans l'ordre où ces diflférents segments rectilignes se succèdent autour de O; de telle façon qui- le contour total se compose d'une ligne

5o8 SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOl BLES.

termée qui enveloppe tous les points singuliers jNI, sans couper aucun des segments OM,. On part d'ailleurs du point initial avec un cycle à une dimension quelconque k, et l'on revient, par conséquent, au point final avec ce même cjcle. La comhinaison correspondant à ce chemin sera nulle.

Mais il est nécessaire de revenir sur ce point; car, dans le Mémoire cité, j'ai supposé, entre autres hvpothèses, qu'aucun des points singuliers A, n'est rejeté à l'infini. Or, si l'on considère une surface

(l) V{X. Y, Z) = Il

qui soit la plus générale de son degré; puis la section de <elle surface par le plan (3 bis) y = £ qui est la courbe plane C,

On peut dire que pour s = oo celle courbe présente des singularités, et l'on pourrait, par conséquent, se demander si les résultats ne s'en trouvent pas modifiés.

Or le contour que nous venons de définir |'eul être remplacé par le suivant : la variable y déciit dans son plan un cercle de rayon très grand ; en même temps la surface de Hiemann correspondant à la courbe plane C se déforme d'une manière continue; nous avons sur cette surface un cycle fermé qui varie également d'une manière continue et r,:;vient à sa position initiale en même temps que la variable j>-; les variables r et ^ sont assujetties à rester sur ce cycle.

Supposons d'abord que l'soit un polynôme i-'iilicr de degré m — 'i en x, y, z. de telle façon que l'inlégrale simple

soit une intégrale abélienne de premièi'e espèce.

Posons

X — uy. z = i>y.

Nous voyons que I' deviendra un polynôme d'ordre m — 3 etF'. un polynôme d'ordre m — i en j, de lelle sorte que pr- pourra se développer suivant les puissances décroissantes de j)- et que le premier terme sera un terme en — • Le coefficient de ce terme sera d'ailleurs

Po(«, I, e)

en désignant par f„{x,y, z), F» (x, j', z), V'„^.{x.y, z) les termes du degré

SDR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOimLES. Sog

le plus élève en )• de P{x,y,z), F{x,y, z), F.(x, y, s). J'écrirai simplement

~ en suppriiiiaut l'indice i'.

Nous avons d'autre part

fl.r tly = y du dy.

d'où

Le premier terme est seul sensible: ii reste donc

r rdy v„d,( ri\,d„

'i\du

est une intégrale abélienne relative à la courbe algébrique

Ainsi, notre période, qui est égale à l'expression (7), n'est pas nulle dans le cas qui nous occupe, niiiis elle a le caractère d'une période polaire et non d'une période cyclique.

Il en sera encore de même si P est de la forme — ^^- , Q étant un polvmime

d'ordre ?n — 2, c'esl-à-dire si l'intégrale (6) a la forme d'une intégrale abélienne de troisième espèce ayant tousses infinis à distance finie. Nous laisserons de côté, pour le moment, les cas où celte intégrale abélienne (6) aurait des infinis à distance infinie.