IV. Théorie générale

J'ai cité plusieurs fois le travail que j'ai fait insérer dans le Journal de Liou- {■ille, comme 4° Complément à V Analyses situs; je crois devoir non seulement en rappeler ici les résultats, mais les présenter sous une forme nouvelle, les différences portant non seulement sur le mode d'exposition, mais sur une convention fondamentale que je crois préférable de modifier. Quand on s'occupe des propriétés d'une surface algébrique au point de vue de V Analysis situs, on s'aperçoit promplement que la question peut avoir un sens très différent selon la convention que l'on adoptera au sujet des |)oiuts à l'infini. A l'égard d'une surface F[x,y, 3j=:o, nous pouvons envisager plusieurs sortes de points à l'infini; nous avons d'abord ceux où x, v et ; sont infinis à la fois, et ceux où deux seulement de ces trois coordonnées sont infinies. Je néglige ceux où deux

5lO SLR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

coordonnées sont finies et une infinie; ils n'existeraient en eft'el que, si la surface étant de degré m, par exemple, le polynôme F ne contenait pas de terme en :;'", et ce cas. évidemment, ne se présentera pas en général.

On peut ne pas considérer comme distincts deux points x,,!', , s, et jCo, i-j, ;■> toutes les fois que les sis coordonnées de ces deux points sont infinies, et alors

même que l'on n'aurait pas — ='— = ^ ; on regarderait, au contraire, ces deux

points comme distincts si, par exem|)le, rnJKi) -I'ï, l'a étaient infinis, c, et ;j finis et 5| diflerent de z-,. C'est le premier point de vue.

Au second point de vue, on reg.irdera deux points à l'inlini comme distincts toutes les fois que l'on n'aura pas

:£l = t^ = -ii.

Si, au contraire, z^ et ;j sont finis, le rapport '-^ sera égal au rapport —

puisqu'on l'obtiendra en égalant à zéro l'ensemble des termes de F qui sont de

degré m en x et y; d'autre part, les rapports — et — seront égaux entre eux et

égaux à zéro, et les deux points devront être regardés comme mm distincts, contrairement au premier point do vue, alors même que z^ ne serait pas égal à z...

Dans le Mémoire cité, je m'étais placé au premier point de vue, et c'est également ce que M. Picard avait fait le plus souvent. Ce premier point de vue peut être le plus avantageux dans certains cas, mais il a l'inconvénient de n'être pas projectif, ce qui m'empêcherait d'appli([ucr les principes des deuxparagraphes précédents et j'adopterai le second.

Si nous considérons r comme une constante, l'écjuation

définira nue courbe algéi)ri(iiie et par con^équenl une surface de Riemann que j'apjJcUe S(k). J'observe d'abord que deux surfaces de Riemann S(>'| ) etSCva) ont un certain nombre de points communs.

Soit, en elfet, F„j(.r, o, ;) l'enseuible des termes de F qui sont d'ordre m en j; et en ;; l'équation F„, (.c, o, ;) = o définira m valeurs du rapport '-) qui correspondront aux directions asjmptoliques de la courbe algébrique

directions qui seront d'ailleurs les mêmes que celles de la courbe

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGFULES DOUBLES. 5ll

F (pc, )'■!, :;) =:o; à ces m direclions asymptoliques correspondronl m poinls à l'infini sur la surface S (r, ) et de mcnie m [joints à linlini sur la surface S (jKs). D'après la conveniion que nous venons de faire, les mpoints à l' infini deS {yC) ne différeront pas de. ceux de S {y^ ).

Pour Y = X), nous avons la surface de Riemann S f oo) dont les dilTérents points correspondent aux différents systèmes de valeurs des rapports de x, y

et ; satisfaisant à l'équation

où V„i est l'ensemble des termes de F du degré m en .r, )' et ;; ou, en d'autres termes, aux dilléreuts points à l'inlini de la surface F = o. Parmi les points de la surface S (m), nous distinguerons ceux qui sont donnés par

et qui lui sont communs avec les autres surfaces S(vi ), S(i':;), ....

Pour certaines valeurs de )•, le genre de la surface S(j-) s'abaisse, ce sont celles qui correspondent à un plan )'=const. tangent à la surface F = o. Soient

ces valeurs singulières de )•.

il faut maintenant c|ue je définisse ce que j'appelle lAprojection d'une surfice S(>'i) sur une autre surface S(>'2) quand je suppose que )\ et y^ ont niém.' iirgumunl. A ciiaque point de S (r,) je ferai correspondre un point do S(Kj) et inversement, et cela d'une fayon biunivoque, et je dirai que l'un de ces points est la projection de l'autre. Je m'arrangerai de façon que deux points inlîniment voisins aient pour projections deux points infiniment voisins et, par conséquent, qu'une courbe continue se projette suivant une courbe continue et une courbe fermée suivant une courbe fermée. De plus, je m'arrangerai de façon que les m points à l'infini ([ui sont communs aux deux surfaces soient leur propre projection. Il est clair que toutes ces conditions peuvent être remplies.

Imposons-nous maintenant une condition de plus. Soient yi, j'j. >ii v., quatre valeurs de )•; )'i et Kj d'une part, v^', e\. y\, d'autre part ont même argument; d'ailleurs r, diffère très peu dey, ^^y^i ^^y-i- Je considérerai alors deux points M, et M, des deux surfaces S ()i ) et S (j>'', ) et leurs projections Mo et M, sur S ()'.j) et S(y,), et /e supposerai que, si M, et "M, sont infiniment voisins, il en est de même de M-, et M',.

Celle condition ne peut pas fou/ours être remplie. Traçons dans le plan

5l>. SIR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

des )■ le quadrilatère rectiligne ViV, )'.,,)'j5 doni doux côtés Xiy\ et r„yo sont infiniment petits. Si à rintérieur de ce quadrilatère se trouve l'un des points singuliers £|, So) • • •• £ai la condition ne pourra être remplie. Nous joindrons donc dans le plan des y l'origine O aux diderents points singuliers £,-; les droites ainsi tracées partageront le plan en secteurs et la condition devra être remplie à l'intérieur de chacun des secteurs. Si maintenant y, et )■, , el, par conséquent, y^j et y'., n'appartiennent pas à un même secteur, la condition pourra ne pas être remplie; elle le sera si | y, | el \y-, | (el par conséquent \y\ \ et \y'., I) sont tous deux plus grands ou tous deux plus petits que , £, j (giétanl le point singulier qui se trouve entre les deux ravons infiniment voisins Oy-i ii et Oy'.,i:, ); elle ne le sera pas dans le cas contraire.

Cela posé, envisageons un cvcle fermé à deux dimensions quelconques de la variété V à quatre dimensions dont les différents points réels correspondent aux différents points réels et imaginaires, regardt's coinnu' distiiiits, de la surface F = o. (Pour expliquer ce qu'on entend par regardés comme distincts, je rappellerai la convention que nous venons de faire au sujet des points à l'infini el, d'autre part, que si la surface a une courbe double, aux deux nappes qui se coupent en un point de cette courbe, doivent correspondre deux points distincts de \ .) Soit K ce cycle fermé à deux ilimensions.

Considérons un |)oint de ce cycle, et marquons sur le plan des )■ bi vabiiicorresjiondante de y; à chaque point de K corresponcha donc ainsi un point du |)lan des )', et inversement à certains points de ce plan pourront correspondre un ou plusieurs points du plan de K. Nous sommes ainsi conduits à partager le plan des )- en régions diverses, les régions R,, aux points desquelles ne correspond aucun ])oinl k, les régions R, aux points desquelles correspond un seul |)(iint y. les régions li-, aux poiiU> desquelles correspondent deux points y, etc.

Cela suppose loulefois que le cjcle K ne passe par aucun des m points à l'infini communs à toutes les surfaces ^{y), sans quoi la valeur coriespondante de y serait indéterminée. S'il en était autrement, on déformerait légèrement le' cycle K <le façon qu'il cesse de passer par ces points.

Ce n'est pas tout, ce cycle K est tel que, dans le voisinage de chacun de ces points, les parties réelles et imaginaires de .i-, y, :■ peuvent s'exprimer en fon'clions holomorphes de deux paramètres u et c; si nous considérons donc deux domaines à deux dimensions faisant partie de ce cycle, et de telle façon que dans le premier tout s'exprime en fonction de u et c, et dans le second en fonction

Sin LES PÉRIODES DEj; I.NTÉGRALES UOIBLES. 'l3

de deux aulres paramélres (/' et r ; si ces deux domaines ont une partie comtiiuue, le signe du déterininani fonctionne] de n et c par rapport à // et i' sera constant dans toute celte partie commune.

Si nous supposons, comme il convient, (jue le cycle K est bilatèrr. nous pourrons supposer sans restreindre la généralité que ces paramètres u, i\ «', (' ont été choisis dans chaque domaine de telle façon que ce déterminant fonctionnel soit toujours positif.

Soit alors A le déterminant fouctioanel de «et r par rapport à y, et )^, en désignant pour un instant par j-, et j-j les parties réelle et imaginaire de r. Le signe de ce déterminant ne changera pas. d'après la convention que nous venons de faire, quand on passera de u et r à deux autres paramètres «' et c'. Soit alors un point de l'une des régions 15„ dont nous venons de parler: à ce point coi-respondront n points du cycle Iv; je suppose qu'il y en ail p \>in\v lesquels A soit positif et n — /> pour lesquels A soil négatif. Eh bien. l'excès '.p — /( si'ia constant pour tous les points du jilan des y et pour toutes les régions R,,, I>|

D'iiù Ton peut conclure que le nombre n lelalif aux diverses régions l'>„ est constamment de même parité. S'il y a des régions Imi. l'excès Ap - u est constamment nul.

Nous examinerons d aijord le cas ou le point )■ = o el le point y ^ y: appatlienni^nt luii et l'autre à une région Kp. Coupons noire c\cle K par la variété

arg^ = con^t.

Celte variété sera représentée sur le plan des )• par une demi-droite allant de l'origine à l'infini. Nous remarquerons que cette demi-droite, partant de l'intérieur d'une région Ro, traverse des régions R„ (« ]> o) et aboutit linalement à l'intérieur d'une région 1!,,. Si donc nous envisageons les points qui ajipartiennent :'i la fois à cette \ariété et au cycle K. le moilule de f varicrn |)our ces |ioinls entre nn certain iniiiiiiiuni ci un icrtMin niaxiiiiuiii. 7/ r/i résulte i/uc l intci'section de celle variété et de Iv sera un rycle fermé n une dimension que j'appelle ( K. to). '.i étant l'argument constant de )•.

Tous les points de (K, oi ) ap|)arliennent à une surface de Riemann S ( )), où y:=oe"'' a un argument constant m; nous pouvons donc les projeter sur l'une quelconque d'entre elles .S(po<;"") et. par exemple, sur .S(o): j'appellerai (K, 0), o) la projection du cycle (K. oi ) sur .S(o). Comparons niainlenant ( K. '.). o) à (K, (,^' , o); si m diffère très peu de '•>' . il résulte de> convention^ II. p. — m. (j.5

âla SUR LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.

faites plus liaiil que (K, ',>, o) différera très peu de ( K, ',y' , o). à moins que Vargumeiit de l'un des points singuliers £/, nesoil compris entre w el o)'. Si nous adoptinis la notion de Y homologie. nous aurons donc, sur la surlace S( o),

rhomologie

et elle subsistera quand même co et 'J différeront d'une quantité linio ( puisque cette homologie signilie précisément que l'on peut passer d'un cycle à l'autre par déformation continue); elle subsistera, dis-je, à moins que l'argument de l'un des points singuliers £;; ne soit compris entre u et ùj' : ou, en d'autres termes, toutes les lois que les demi-droiles correspondant aux arguments co et u' appartiennent à un même secteur (^si l'on suppose le pi in divisé en secteurs parles droites Oc/tel leurs prolongements).

Comparons maintenant les cycles (K, w, o), (K, co', o) en admettant qu'il j ait un point ii, dont l'argument soil compris entre to et '^^ . Projetons les deux cycles (K, (.)) el (K, ',>' ) non plus sur S (o). mais sur les deux surfaces de Rienianu S (&„<?"") et S(po<?""') qui différent très |)eu l'une de l'autre; soient II et l] ces deux projections; ce sont deux cycles appartenant respectivement aux deux surfaces S(pi,e"") et S(poe'"'). Soil fl", un cycle de la première surface qui diffère infiniment peu du cycle H' lequel appartient à la deuxième surface, infiniment peu différente de la première. Quand po décroîtra d'une manière continue de x à o, II' et II' el par conséquent II ' el n — Il ' varieront d'une manière continue. Pour p,, = o, nous aurons

I k. (•). o I ~ I K. (o'. o I II — II".

i-aisons niaiiilenanlp„ ^ ,'-k '■ je dis que pour celle valeur de pu les cycles H, ir et II différeront inlinimenl peu l'un de l'autre. En effet, dans le cycle (K. o ), nous dislingui'rons deux parties, que nous a|ipellerons II et II| ; la première comprendra les points tels que j- < £< , el la seconde les points tels que ij'l > je*!- De même dans le cycle (L, oj) nous distinguerons deux parties H' et H'|. Alors H différera infiniment peu de H' et H, de M,. Projetons H et H' sur les surfaces S(poe''''), S(poe""'), où p,, = | ca | — ô, ô étant infiniment petit el positif; les projections seront infiniment peu différentes. Si nous considérons en effel deu.v points très peu différents de H et H' pour lesquels j' a respeelivement pour valeur poC"", p(,e""', (p < j £a ) cl leurs projections pour lesquelles y a pour module ,i^ . — 'j, le quadrilatère recliligne formé par ces quatre \aleui's de )• ne coulienl pas ■/, à son intérieur.

SUR LES PÉBIODES DES INTÉGBALES DOUBLES. 5l5

Donc les projeclions de ces deux points dlIFéreronl très peu d'après les conventions faites plus liant; les projections de H et de H' sur les surfaces p(i=:J£v,| — ô et par conséquent sur les surfaces infiniment voisines po =[ Sa | dilTéreront donc très pou. ( )ii le (léninnlreiail de même pour les projections de H, et de II,.

Donc, pour p,, = j £/i|, II el H' diffèrent très peu; le cycle II — II" est infiniment petit, c'est un cycle évanouissant relatif au point singulier e^.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Si oj et u' /l'appartiennent pas à un même secteur, mais à deux secteurs contigus séparés par la droite Oêa, ies cycles

ne sont plus homologues en général, mais leur différence est homologue à un cycle éianoitissant n-lalif au point singulier e/,.

Pour aller plus loin, pi-écisons davantage la noùon t\c projection. Nous joignons l'origine O par des segments de droite (>£/, aux différents points singuliers £/ cl nous regardons ces segments comnu! des coupures. Tant que y ne franchira pas ces coupures, la surface S()') restera homéomorphe à (iUe-même; nous pouvons donc établir entre les points des deux surfaces S(ti)) ^{y'>) quelconques une correspondance biunivoque telle que, lorsqu'un point M variera d'une manière continue sur une suiface S( )'i) el qu'en même temps j' variera d'une façon continue mais sans franchir les couj)ures. le point M' de S()) qui correspond à M variera d'une façon continue. Seulement, si l'on a deux points ) i et y^ infiniment voisins l'un de l'autre, mais de |)arl el d'autre d'une coupure, et deux points :M| et NL se correspondant sur &(>•,) et 8(72), ces deux points ne seront pas, en général, inlininienl voisins. C'est cette corlespondance qui servira à définir la. projection en se restreignant alors aux cas où )-, et y-, ont même argument.

Considérons maintenant une coupure Uca et le point singulier correspondant cA- Soient j-| elfi, y\ et )•., deux couples de points; je suppose que j)'4 et )■■) soient infiniment voisins et de part et d'autre de la coupure et qu'il en soit de même pour le second couple. Soient M, un point de S(ji) et M-j un point de S( >-2), infiniment voisin de M. D'après ce que nous venons de voir, M, elM2 ne ])euv('nt être correspondants. Soit uiaintenant M, le point de Sir,) correspondant (le M|, el M, le poiul de S() ., ) correspondant de jM^. Les deux [loints

■)lO '^IR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Mi L'I -M., seruiil intiiiimenl voisins, il est Imijouis [jussiblu de le supposer. Eu revanche il y a une chose que nous ne pf)niTi()n&su|)poser sans nous lancer dans de grosses diflicultés. Soit r, un poiiil de la coupure: considérons la surface de Riemauu correspondante, nous rappellerons S ( r, ) si )• a atteint r, par l'une des lèvres de la coupure, et S (t,' ) si )■ a atteint r, pai- l'aulre lèvre. Les deux surfaces S (y, ) et S (■/)') sont ideïitiques; mais le point de cette surface qui correspond à un point donné dune autre surface S( i) ne sera pas le même selon ([u"ii sera regardé comme appartenant à S (y, ) nu à S ( r,' ). Il en résulte (ju'il \ a une correspondance entie les puints de S (r, ) et ceux do .S ( r! ) ; un peut se demander si cette corres|)oudance est réciproque: mais ou \oil Itienlôl qu'il uesi pas permis en général de supposer cette réciprocité.

Diflerents cas sont à distinguer suivant la uatuie du point singuliei' i/, ; le jjlus simple est celui oii le plan )• =; ;< est tangent à la surface I-" = o et la coupe suivant une courbe présentant un point diuible ordinaire à tangentes séparées. <)ue pouvons-nous dire alors de la c(irre>|)on(lancê entre les points de S ( r, ) et

de S (r/); soit /; le genre de la surface S(r,): soient 12,, 12.j 12-.>,, un système

de cjcies fondamentaux de S(r, ); soient ii, , 12^,, .... iï.,^. les cycles corres- |iondant^ de S(r,'i: on veiiait qu'on |ienl rlioisii- les cycles fondanienlaux de telle lacon ijui' 1 on ait

o'i := £2, — V... tJ..= lî'.,. il. ^ U'|. ....

Alor> 12j est un cyclu ri anouissant relalil au [loinl singulier i/,.

Pour nous lendre compte de la correspondance entre les points de Si y, i et de S( r/), nous pouvons supposer que dans un espace E à six dimensions, par exemple, on construise la variété \ à quatre dimensicms. et qu'on se soit arrangé pour que celte variété n'ait jjas de point double et que tous ses points soient à distance finie. Les points de \ qui correspondent à une valeur donnée de ) formeront alors une surface fer/nrc à deux dimensions de l'espace E (|iii n'aura en général aucun point siiiguliei- et (pu sera notre Si)'). Cepeuihint la surface S(c/i) admettra un point conique 1'. .Si r, est très voisin de ;/.. la surface S(r;), identique à S(y/), présentera donc un clianglenieiit dans le voisinage du p(Mnt P. Nous pourrons tracer sur S(yj) une petite ligne fermée qui embrasse la partie la plus étroite de cet étranglement (tel le cercle de gorge sur un hyperboloïde de révolution à une nappe). Ce sera notre cycle évanouissant iii : nous pourrons tracer dans h? voisinage du point P une série de cycles fermés analogues sur S(ry i tels que seraient les différents parallèles Mir un livperboloïde de révolution: nous pouvons ensuite définii- un jioMit ipielionque

SIR LUS l'KIlIOKES DES INTKGHALKS DOIUI-ES. ■j\'i

de S(r;), au moins dans la //ai lie ètranglce roisinr ilu point 1^, |)ar deux coordonnées p et oj, choisies de telle sorte que p soit constant tout le long de ilianin de ces cycles fermés, et que w augmente de 27: quand on faille tour il un de ces cvrles. Nous [loiirnms alors ii(lmi'llir la loi de correspondance suivante : dans la partie non voisine du point P. nu toutes les fois que 0 ne sera [)as iiimpris entre o,, el p,, riiaquc point de Si/, 1 sria son propre correspondanl. Si p L'"-! eoiii|iris entre po il pi. nous ferons correspondre au point 0. oj de S(r, I le point p. '.i-f-o('p) de Si/,'); et v(?) *'^''^' ""'^ lonclion continue de o constamment croissante. (■i;alt' à o pcjur p = p,, et à y.- pour p ;= p,. En d'autres termes nous ferons subir à la partie étranglée ciunprise entre les ccljes p = &„ et p=:pi une torsion progressivenienl croissante d'un cvcle à l'autre, de telle façon que cette torsion, nulle pourp =po) atteigne un toureomplet pouro = o,, ce qui permet le raccordement avec la partie non élranglée, supposée non déformée.

\ mesure que 0 s'éloignera de ;/,, relranglcmenl sera de moins en moins prononcé el nous serons conduits à étendre la déformation à une partie de plu-- en plus étendue de la surface; celle loi de coii-espondance restera nénnmiiin> arlii- Irairc dans une très large mesure.

C(.'s c<invenlions laites, projetons niainlenanl le cvile ( l\. '.> 1 sur la surface S(t,) en supposani (pie 01 soit l'argument de ;/, ; muis ohtiendrons deux projections différentes, selon que l'on supposera que cet aigumenl '.1 a i;té atteint par l'une ou par l'autre lèvre de la coupure, c'est-à-dire selon (lue l'on projettera sur S(r;) ou sur S(r/). Soient ( K, oj, r,). 1 K, ',., r,') ces deux projections. Soit M un point de (K, 10 ) : >{ sa projection sur S(r;), N' sa projection sur S(/;'). N et N' seront identiques si Vy du point !M est plus petit en valeur absolue que ;/,. Dans le cas contraire, ces deux points seront corrcsponr/a/i/s

nformémeiil à la loi de correspondance adoptée plus liant. I-i ilillérence des leux cycles ( K, o). r,) — (K, ',t, r,' ) sera alors un c\cle de S 1 r, 1 homologue à zéro, au C3'cle évanouissant il^. ou à un de ses multiples.

L'ensemble des cycles (K, w,r;) — (K,'j),r/') f|uand on fait varier r, depuis zéro jusqu'à £t engendrera une variété A(£/,) à deux dimensions. Le cycle ( K, oj, r,) — (Iv, Gj, r,') est toujours homologue à un multiple île iij : suiiposons, par exem|)le. à IL: il se réduit au point I' pour/, ^^ £/, ; mais, pour/, = 0, il ne se ic'duil pas a un point, mais a un exile ilc l,i ^nrfiice S(ii) qui est encore lii mu i!oi;Mi' à lij cl i|iii- iioiis poiiiruns appelrr

co (

3)8 SUR LES PRRIOPES DES INTÉGRALES DOUBLB^,

La variété 4(£a)i ^"6 nous pourons appeler un doigt fî cause de sa forme, n'est donc pas fermée, mais a pour frontière le cycle

^lais, jusqu'ici, nous avons supjjosé cpie il,, n'est pas homologue à zéro, c'està-dire que le cycle infiniment petit que l'on peut tracer sur S(r, ) quand r, est très voisin de ea ne partage pas cette surface en deux régions distinctes. Alais le cas contraire peut aussi se |)résenter; il arrive alors que la surface S(ca) se décompose en deux surfaces distinctes, c'est-à-dire que la couibe intersection de F = 0 et de y = îa est déconiposable.

Dans ce cas, le cjcle (K, m, r,) — (K, '.3, r/) décomposera la surface S(r,) en deux réglons que nous appellerons S,ro) et S.(r,). Considérons la variété à trois dimensions engendrée par S| (o) quand r, varie de zéro à i^'. elle sera limitée d'une part par le doigt A(£y(), par S|(o) qui est une partie de S(o') et par .S, (ea); de sorte que

Mais .Si (sa) n\'st autre chose que hi surface de Rietnann relatice à Vune des composantes de la courbe d'intersection de V ^=. o et y ^ %k', ce cjui nous fait comprendre la signification du doigt A(£a) dans ce cas particulier.

Revenons ai| cas général et reportons-nous à un paragraphe précédent, nous verrons que nous y avons défini une intégrale

eli hienl cette intégrales n'est autre chose que l'intégrale prise le long du doigl A(c/, ) lorsipie la ligne L, parcourue par le point a, |3, •/, s est telle que y. et y soient constaminenl nuls, {3 égal à i, et que £ varie avec un argument constant de zéro à £a.

[.n antre cas est celui où le point singulier ca correspond à un |)oint conique ordinaire de la surface K = o. Il arrive alors que 1^8 cycles

iJ,. 1^ 0..,,,

se (diangent en

o,J-i'Uj, Uo U.i,

et non plus en li| -H iij, iij, .... flo^,. Ce que nous avons dil de la loi de correspondance subsiste; seulement la fonction 0(9)) 4"' croît constamment depuis p = po jusqu'à p =pi, au lieu de croître de zéro à ■>.-. croîtra de zéro à f\T.. La définition du doigt A(£a) restera la même.

Il peut arriver ensuite que le planj' = e/, soit tangent à !•' =: o en deux points

Stll LES l'EllIUULS I>KS IM'ËGHALliS DOlBLIiS. rjH)

(liHerenls. Alors la surfine S(r; ) irès voisine de S(-/, i présenlu deux élranglements au lieu d'un, il v a deux cycles rvaiwuissanlx au lieu d'nu, d'où rc^ulle la rirconstance suivante :

Appelons doigt simple et désignons par A(£/i, il) la variété cnj^endrée par un cycle de S(r, ) (jui reste homologue à 12 quand on tait varier r, de zéro à ii,. Notre doigt défini plus haut et que nous continuerons à appeler simplement

A(c/) serail dans cette notation

A[3/... (K, (■). Ti ) — I K. (.). r,' 1 1.

Dans les cas examinés plus liant, d u'\ a\ail i[ii un cnçIc cvanouissant 12^, le cycle (K, '■), r,) — ( K, w, r,') était loujonis lionioliii;nc à un multiple de 12^, suit à nii.., de sorte qu'on avait tDMJdurs

a(o) désignant une |)arlie de S(<)).

Ici, au contraire, nous aurons deux cycles évanouissant- 12o, 12., el deux doigts simples At'cj, I23 ), A(£/v, 12!,) et l'on aura, (|uel que soit le cycle / .

/( el n'étant entiers, de sorte que AUa) s'exprimera linéairement en lonclimi non plus dun. mais de deux iloigts simples.

Il peut arriver cpie l'un des cycles 12^ el 12!, qui correspondent aux deux étr.inglemcnts soit lioniologue à zéro sur sa siirlace; soil. par exemple, 12.j ; dans ce cas la surface S(£/i ) se décompose et le doigt simple A(£„, lia ) est alm-s homologue à l'une des composanlosi de cette surface de Riemann. plus nne région de S(o). C'est ce que nous avons vu plus haut.

Nous examinerons un dernier cas, c'est celui où le plan y = £/, coupe F = o suivant une courbe |)résentant un point de reliroussement. Il arrive alors que les cycles

se changent en

I) o., Oj o ,

de sorte qu'il y a deux cycles évanouissants

(!t par conséquent deux doigts simples A(£t, 12,). A(£x, 12^) dont le doigt ^Uh) sera une combinaison linéaire à coefficients entiers.

Formation des cycles.

Cela posé, reprenons le cycle K, menons les projetantes de ses différents points et prolongeons-los jusqu'à la surface S(o). Ces projetantes engendreront une variété W à trois dimensions. (^)uelles sont les frontières de cette variété? Ce sera d'ahord le cycle K dont chaque point est l'extriMnitci de l'une des projetantes; ce sera ensuite une portion So(o) de la surface S(o); car l'autre extrémité de chaque projetante se trouve sur celte surface. Mais ce n'est pas tout; deux projetantes issues de deux |joints infiniment voisins pourront ne pas rester infiniment voisines; si, par exemple, oj et w' sont deux arguments infiniment voisins, l'un plus grand, l'autre plus petit que celui de £/,, les projetantes issues des deux cycles à une dimension (K, ',> ) et ( K, ',}' ) se sépareront et s'étaleront sur le doigi 1{ i^ i, di; sorte que ces doigts Ai £/, ) complélenl la frontière de \A . .le ]iuis i|i>nr éerii'e

K ^ S.ioi y Al :/, 1.

A( :/, ) a pour fi'iiuliére ( K. - ) i K . m, o') ; S.j ( o) aura |)n\n l'ri)iitiéres

7 [l K. '■), o i — I K. fl. n' 1 I

de telle taçiui que la variété totale Sj( n ) -t-^Aù^") soit, comme il convient, une

variété feruiée.

Soil .1 l'inlégrale

/ ■ / ^ 1 ' i/.v fl \