ET DU PREMIER DEGRÉ
liendiconli del Circolo Mateniatico di Palermo, t. 11, p. igS-aSg (1897).
J'ai pulilié sur rr siiji'l nii preinuT arlu Ir. (jni a paru dans le» Rendiconti drl Circolo Matematico di Palermo {l. V, aiuiéL- 1891V Je nw suis occupé de nouveau de la même question dans ces derniers temps, dans l'espoir que je parviendrais à généraliser li's résultats obtenus. Cet (!spoir a été déçu. J'ai obtenu cependant quelques résultats partiels, que je prends la liberté de publier, estimant qu'on pourra s'en servir plus tard pour obtenir, par un nouvel effort, une solution plus satisfaisante du problème.
C'est à ce premier article que je renverrai quand je parlerai de « la première partie de ce travail ». J'adopterai d'ailleurs la mênn' terminologie et les mêmes notations que dans cette première partie.
C'est ainsi que la lettre — représentera une sommation portani Mir toutes les valeurs critiques de C et tous les facteurs lit. La lettre S en caractères gras représentera une sommation étendue à une seule valeur critique de C et à tous les facteurs a,- correspondant à cette valeur. La lettre S en caractères ordinaires représentera une sommation étendue à tous les nœuds.
Soit C une valeur remarquable quelconque et soit
/ -(- C o = H*' td- . . . til'' = r^' P*3 . . . r^il'identilé correspondante.
C) Présenté le 23 mai 18(17.
6o SUR l'intégration algébrique des équations DIFFÉBKNTIIiLLES DU PREMIER ORDRE.
Nous aurons toujours les relalions
Soient niainlenanl H,a le nombre des points iJ'inlerseclioii des courbes (^=o, f/;i=o situés en des cols; et H)^. le nombre des points d'intersection des courbes t',= o, i/(= o situés en des cols. Comme P/^ o équivaut à h, courbes m,= o confondues, et ('a= o à hk courbes f/A= o confondues, ou aura
Hû = hihkWiu
Le nombre total des intersections de ('/= o, i'a= o sera
(i) «;«i(-= SX^Xiiav -H H,'x-.
Celui des intersections de (',= o avec une courbe /+ Ci 9^=0 quelconque sera
pni = S /.).,|Ji'',
d'où
ii'i S ïl rn= S [ ).; (XV S ai ).'/t ]
ou
Or
«/ 'l'r +^ aï "i n'/c = aï S Xr |xv -(-^ ai- S Xj Xii- fxv.
d'où
(■->.) ïîni'-' = x,SX/-';j.v -(-^ ailli;(.
Soient X,, X-,, ..., X/, des indélerniinécs; multiplions l'équation (i) par 2x\o('/^XiX/,, l'équation (2) par (x'ix'f et faisons la somme de toutes les équations analogues; il viendra
(3) [ S a) .r ,/!;]'= S,av[S>.;.r,X;] = — SSa;^^. H;<.(.r,-— .r/.)"-.
Le signe SS >e rajtporle à une sommation portant sur tontes les combinaisons des indices / et k, chaque combinaison intervenant une fois.
La formide (3) est la généralisation évidente de la fornude ([ui est au début de la page 5i (première Partie).
D'autre part
/ii= hi/ij, a,— -j- ■
Sl'R 1,'lNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES Dtl PREMIER ORDRE. 6f
La formule (3) devient alors
(36(i) [S"ï,«,.2-;]== S.uv rS2,;r,^ I — SSa,a/(- H,a.( j-,— .rx-)'.
X' Le terme -^ est égal à >.,• si le facteur a, n'est pas singulier. "("
Plusieurs cas sont à considérer, suivant la nature de la valeur remarquable C. Si C est de première espèce, les a,, les x'- et les /;, sont tous égaux à i et l'on a simplement
[S«,.r,p= S;.iv[S/.,:r,p— SS H^i Xi— .T),)'-.
Si C est de l'une des trois dernières espèces el que les c. aient un diviseur
commun ô, el si l'on pose
on pourra diviser l'équation (3 bis-) ])ar ô- et l'écrire
{'iter) [S3c"«,-:r,]== S-Jiv jSît';.'-, •^' | "— SSstl^ H,<.(.r, - .r*.)'.
Les coefficients a" sont alors premiers entie eux.
Recherche des valeurs remarquables. — Considérons une valeur remarquable de C et la relation (3 bis) correspondante. Soit ij le nombre des facteurs distincts dans lesquels se décompose le polynôme/ J- Cep; je dis que le nombre des cols qui interviennent dans la formule (3 bis) correspondante est au moins égal k C] — 1 , de telle sorte que l'on a
Si, en effet, il n'en était pas ainsi, on pourrait mettre /'+ Co sous la forme d'un jiroduil de deux facteurs, qui ne seraient d'ailleurs pas forcément irréductibles, et tels qu'il n'y aurait pas de col pour lequel ces deux facteurs s'annulent à la fois. Alors, d'après ce que nous avons vu dans la première partie de ce travail, le polynôme /"+ C 9 serait décomposable pour toutes les valeurs de C, ce que nous ne supposons pas.
Pour nous en rendre compte, représentons chacun de nos q facteurs par un point, et joignons deux de ces points par un trait, s'il existe un col pour lequel les deux facteurs correspondant à ces points s'annulent à la fois. S'il y a moins àe q — 1 cols, il y aura aussi moins de ^ — i traits, et il sera impossible d'aller d'un quelconque de nos q points à un autre quelconque de ces q points en suivant les traits ainsi tracés.
6-2 SUR L'rNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDnE.
Nos q points seront donc répartis au moins en deux groupes, de telle sorte qu'on puisse en suivant les traits aller d'un point d'un groupe à un autre point du même groupe, mais non passer d'un groupe à l'autre.
Soit alors U le produit de tous les facteurs h, correspondant au premier groupe, chacun de ces facteurs étant affecté de l'exposant a, correspondant. Soit V le produit de tous les facteurs h, correspondant à tous les autres groupes, chacun d'eux affecté de son exposant. On aura
et il n'y aura p.is de col pour lequel U et V s'annulent à la fois.
Soit B le nombre des cols.
Soient A, le nombre des valeurs remarquables de la première espèce, Q, le nombre lnlal des facteurs correspondants, c'est-à-dire la somme de tous les nombres y relatifs à ces diverses valeurs remarquables de la première espèce.
Soient A., el Q^, A3 et Q3, A, et (^).,, Aj et Q5 les nombres correspondanls pour les valeurs remarquables de la seconde, de la troisième, de la quatrième et de la cinquième espèce.
D'après le résultat que nous venons d'obtenir, on aura
H ^Q, H- Q» H- ».>;,+ Qi- A, - A,- y- \. et comme d'après la définition des valeurs des quatre premières espèces
k'iâ'-'^i- Qî^-'Aî. Q:,l>\:,. Qii'iAi,
il viendra
D'autre part, d'après la définition des valeurs de la cinquième espèce, ou
aura
Enfin, d'apiès le théorème d'Halphen {/oc. cil., p. 55),
Ces inégalités limitent le nombre des valeurs remarquables et même les nombres Q,-. En elfet, le nombre des cols B est connu.
Mais on peut aller plus loin. Soit une valeur remarquable de l'une des deux premières espèces; soit
la décomposition correspondante; je suppose quatre facteurs pour fixer les idées. Les nombres a,, a.j, x^, y.., doivent être premiers entre eux. Repré-
SUR l'intégration ai.oébrioue des équations différentielles du premier ordre, fl'i
sentons ces quatre facteurs par les ([uatre points M,, Mo, Ma, M.,; ces quatre points devront être joints au moins par trois traits correspondant cliacun à un col. Je suppose, pour fixer les idées, que ces trois traits soient les traits M, Mo, MjMa, M3M.,. A chacun de ces traits correspondra un col que nous devons choisir parmi les B cols de notre équation différentielle; comme ces cols sont connus et en nombre fini, nous ne pourrons faire qu'un nombre lini d'hypothèses.
Considérons le col qui correspond au trait M, Mo, ses entiers caractéristiques p. et V seront connus et nous devrons avoir
a» V ou ^ = — .
Nous n'avons ici à choisir qu'entre deux hypothèses; il en serait de même en ce qui concerne les cols qui correspondent aux deux autres traits et les rapports
correspondants — et —
En résumé, les rapports des quatre exposants y., sont connus, ou plutôt nous ne pouvons faire en ce qui les concerne qu'un nombre fini d'hypothèses.
Mais, si la valeur remarquable est de l'une des deux premières espèces, les nombres a, sont premiers entre eux; nous connaîtrons donc les nombres «, eux-mêmes.
Si, au contraire, la valeur remarquable est de l'une des trois dernières espèces, les nombres Xi ne sont |dus premiers entre eux; mais nous pouvons poser
le nombre â éLmt le plus grand commun diviseur des a,; nous connaîtrons alors les nondjres a] cpii sont premiers entre eux, mais nous ne connaîtrons pas 0.
En résumé, au sujet du nombre des valeurs remarquables des cinq espèces, du nombre des facteurs correspondant à chacune d'elles, des ex[iosants «j relatifs aux valeurs remarquMbles des deux premières espèces, des nombres aj relatifs aux valeurs remarquables des trois dernières espèces, nous ne pouvons faire qu'un nombre fini d'hypothèses : Les deux plus grands communs diviseurs ô| et ôo relatifs aux deux valeurs reman/uables des trois dernières espèces, si elles existent, demeurent complètement inconnus.
Valeurs des m. — Adoptons, au sujet du nombre des valeurs remarquables
64 SUR LIMTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
de chaque espèce, de même qu'au sujet des exposants a,- ou a-, une des hypothèses en nombre fini que nous pouvons faire. Il nous reste à déterminer les deux nombres ô, et èo, les deux nombres p et 1, ainsi que les nombres rt,- et X,-.
D'un autre côté, nous ne pouvons faire qu'un nombre fini d'hjpolhèses au sujet de ceux de nos facteurs qui sont critiques ou hjpercritiques ou doublement singuliers par rapport aux divers nœuds. Ces hypothèses pourront être examinées successivement. Nous adopterons donc l'une d'entre elles; les nombres //,■ pourront alors être regardés comme connus, ainsi que les rapports des exposants a]-.
Nous aurons alors, pour déterminer les nombres «,, les relations suivantes
Ces relations peuvent suffire si le nombre des valeurs remarquables de C n'excède pas 2. Dans ce cas, en effet, ou aura
p = Sai«,
pour chacune des deux valeurs remarquables, et, en additionnant les deux équations ainsi obtenues, il viendra
■ip =^o,«,.
Eu remplaçant dans l'équation qui donne m +2, on trouve m -h 2 = ^ Xj/ij — ^ (a, — i)"i = ^ 'U-
Les nombres n, et le degré/) sout donc limités.
Mais il n'en est plus de même si le nombre des valeurs remarquables est supérieur à 2. H y a lieu de se demander alors si les équations (4) comportent une infinité de solutions en nombres entiers.
Discutons cette question, en considérant d'abord les exposants «, comme donnés.
Soient <y le nombre des valeurs remarquables; C,, Cj, . . ., C,^ ces valeurs; R le nombre des facteurs relatifs à Ca- Soient
xl, x-^, ..., 'J.\
ni, >q, ..., n
les valeurs des nombres a, et n; correspondant à ces K facteurs. Rangeons-les de façon que
«l<a|<...<oc^
SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PRKMIER ORDRE. 6i
Les équations (4) nous donnent alors
N 11,= iq — i^p + m -+- 2.
D'autre part, si «i, a-j, . . . , a^ sonl q nombres positifs tels que
« I — rt, -H ...— «,/ = q — i,
on aura
(gr — 2)/5 = a,Sa'| n\ + ajSaî, «!j -h . . .+ a g S -^Ij n'^ ^
d'où
(5) 'V «,= «iSz'i n\ -h. . .-+- a^Sy-l^iil^-r- m -+■ i.
L'équation (5) est évidemment impossible si l'on peut choisir les nombres a^ de telle sorte ([ue l'on ait à la fois
a, a ] > I , a, ai > I . .... a,/ x^ > i ;
c'est-à-dire si l'on a
Donc, pour que les équations (4) admettent des solutions, il faut que
Maintenant, dans quels cas les équations (4) admettront-elles une infinité de solutions? Pour cela il faut et il suffit que les équations (homogènes) en /? et en «,,
admettent des solutions positives.
Si l'on peut trouver des nombres au tels que
(6) «i-xl < i<«iï!t (/>: = I, -i, •••, î),
a, -H «; -t- . . . ^ or,/ = 17 — 2,
il est clair que les équations (4 6«) admettront des solutions positives; on pourra, en effet, satisfaire aux conditions
(7) S/i/' = a,Sa/ni', S«r = «îSa?/!r. ■••• S/if = a,Sa?/i;'.
Réciproquement, pour que les équations (4 bis) admettent des solutions positives, il suffit que les équations (7) en admettent, les nombres ai étant convenablement choisis; il suffit donc que l'on puisse satisfaire aux conditions (6). H. p. — m . 9
66 SUR l'intégration ALGEBRIQUIi: DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
Mais pour qu'on puisse satisfaire aux conditions (6), il faut el il sufiil qu'on ait à la fois l'inégalité
