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étendue à l\ . l'.lle sera éi;ale à l'iuli'giaie étendue à Sj(u) - >^A(-i). Étendue à Sailli elle l'vi nulle. piii-i|iie. le long de cette surfiiee, r est eoiislant et que

L'intégrale étendue à A(ca) sera une combinaison linéaire des intégrales étendues aux diffiTcuts doii;ts simples corrcspoudants. intégrales r| ne nous avons appelées^ (L, ).

L'intégrale .J e>t donc une coiiiliinaisou linéaire des intégrales y'i L, ), la ligne L, étant telle que x^^y:=n. S^i. C est ce ihh' mous avions annoncé dans un ijaragraphe antérieur.

J'ai dit que la surface 82(0^ a pour frontière

^[(K, 0), o) — ( K, w. o'j], de sorte i|ue

sur la surface S(u). Supposons que les doigts sim|)les correspondant à ^(s/,) soient ATea, î2iV A('£A,i2..) et soient î^ij et i^ les cvcjes correspondants de S(n). Soit

on aura sur S(o )

doù

sur S(o).

linsi pour un cycle K de l'espèce considérée, mais quelconcfuc, on aura toujours

(1) K ~ ?.,( o'i -f-^ 7?,- Al £/. Q; ).

S2(o) étant une partie de S(c> 1. //, mi entier et 12, un des cycles ét-a/iouissanls relalijs à i/,; d'ailleurs les entiers «, et les cycles 12, ne devront /)as être quelconques . car on devra avoir sur S(ii)

(2) V«,q;'~ii.

il" étant le cycle de S(()) qui correspond à ii/.

Mais nou> nous sommes jusqu'ici restreints au cas oiï le point jc^^o, de même que le point )• = ce, correspondait à une région R,, par rapport à K, c'est-à-dire où, pour aucun point du cycle C, on n'a ni )- = o, ni ^=^00. Les cycles qui satisfont à celte condition pourront s'appeler de]n première sorte et l'on voit que tout cycle de la première sorte peut être ramené à la forme (1).

Passons aux cycles de la seconde sorte, ce seront ceux où l'excès 2p — n dont il a éti- question au paragraphe l^ du nombre des points pour lesquels le déterminant A est positif sur celui des points où ce déterminant est négatif, où cet excès, dis-je (constant pour tout le plan des }■ d'après ce c|ue nous avons vu), est constamment nul. Je dis que tout cycle de 1;» seconde sorte peut être ramené à la première.

il. P. - m. CG

!i>-i SIH LES l'KniOUËSi UliS INTEUHALtSi DOlBUtiS.

Supposons en effet qu'un cjcle K admelle a/i points pour lesquels^' =: o, et que h de ces points soient tels que A> o et /( tels que A < o. Arcouplons ces points deux à deux de telle façon qu'à un point tel que A ^ o soit associé un point tel que A <] o. Soient M) et Mj un pareil couple de points. Entourons M, sur le cycle K d'un (-ontonr infiniuienl petit C| ; soit D, 1m portion très petite de R limitée par ce contnur. Définissonv de même autour tie Mo le contour C2 et le domaine D,; nous pourrons supposer que les valeurs de y correspondant aux diff'érenls points de C, soient les niènies (jue celles qui correspondent aux différents points de Co. Ces valeurs formeront alors dans le plan des •)• un contour fermé très petit F entourant le point r = <i; je puis alors imaginer un contour mobde C à une dimension el un douiame mobile 0 à deux dimensions satisfaisant aux conditions suivantes ; 1° le contour C sera In frontière de D; a" C el D vai'ieront d'une manière continue; ri" initialement C et D se confondront avec C, et D,. et (inalenient avec C^ et D^; 4" les valeurs lie j' correspondant au contour C seront sur le contour fermé très petit T.

Dans ces conditions. C engendrera une vari('té à deux diuiensions L , el I) une \ariélé à trois dimensions W . La frontière compléle de ^^ se composera de U, D, et Do. Car W est assimilable à un cylindre dont U serait 1a surface latérale el Di «l |),j les deux lia>es: on aura donc

i\ où

Aussi nous |iouvons iciiiplacer K par K — D, — 0^4- L : ce c\cle a perdu ainsi les deux points M , et M., el n'a gagné aucun autre point pour lequel )' = o, car sur l la variable )• reste constamment sur le coiilour T. cpii ne passe pas par i'r=o. En opérant de mèuie sur tous les auties couples de poinis, nous ferons disparaître tous les points pour lesquels )' = o. On ferait disparaître de même tous les points pour lesquels y =^ x. de sorte que le cvcle se trouverait ramené à la première sorte.

Restent enfin les cycles pour lesquels l'excès a/> — n n'est )ias nul. Le premier d'entre eux nous est fourni par la surface de Riemaiiii

où jCu est une constante quelconque.

Pour celle surface, en eiVet, l'excès en question est égal au degré de la surface F = o, (pie j'appellerai id ; car à un point )■ = ,)o du plan des k çorrespon-

suit LES PÉniOPES DES INTÉGHALISS DOUIU.K». SaS

dront m points de In surface dont le ; sera donné par l'équalion

I'(-''o:.rO: =) = O.

(Dans cerlains cas parlicidiers, le degré de celle équalion en ; est plus petit que celui de la suif'ace F = o; c"e>l alors le degré de l'équalioii en ; que nous appellerons m.)

Pour ces III jiniuls le délerminani A esl positif; l'excès 2p — /; est bien égal à ni.

Soit doni- K un cycle pour lequel cet excès soil égal à // et II le cycle ,/■ = x,,-

Alors le cycle niK — (j\l aura pour excès zéro; d sera donc de la deuxième sorte elpouria êlrc ramené à la première.

Donc le cycle /» 1\ sera homologue ù (/ fois le cycle x = t„ |)1us un cycle de la forme (i ).

Ici nous apercevons une des difTérences les plus importantes entre les résultais ([ui ressortent de la. convention adoptée ici et de celle cjui était adoplée dans le Mémoire cité. Considérons l'interseclion de la surface F =: o a\ec le plan

el l'interseclion de la même surface avec le plan

I', = 2o.r -^ 'j-,y -:- Y-, - — Oj = o.

A ces deux courbes correspondronl deux surfaces de Riemann et, par consé-

cpieul. deux cycles à deux dimensions que j'appellerai Iv, cl Kj. .le dis qu'on

aura

En ellet, considérons les intersections de F == o avec P,-|-/,P2=o, où 1 esl réel et positif, mais varie d'ailleurs de o à co: les points de ces différentes inleisections engendreront une variété ^\ à trois dimensions. Quelle' est la frontière de W? Elle se compose des deux cycles K, et Ko, de sorte que

Il ne pourrait y a\oii' de doute (pi'en <'e qui coueern<' les points à l'iulini des

courbes

ce sonl des points de la surface de Riemann S(oo); à clia(jiu' valeur de t. currespondent un nombre lini de ces points, de MUte (pie, qiiami "/ variera de o

S'il Sun i.KS l'ERioriES des integiialks dolulks.

à loo. ces points décriront une ligne à une dimension seulement ([ui ne sauiiiil constituer une frontière pour W qui en a trois.

Ainsi le cycle K,, le cycle Ko sont homologues entre eux, homologués par conséquent aussi au cycle S(o), ou au cycle S()) quel que soit r, ou au cycle .r = Xq.

Il n'en sérail pas île même avec la convenlinii du Mi'innire ciie, car pnur

P,=:^, par exemple, on pourrai! faire tendre :r ei i vei» I inlini el

en même temps '/ \ers zéro, de telle sorte que l*.^ tend vers l'infini el

— '/. p., = [', = ; tende vers une limite (iuie quelconque ; or avec celte convention

les points t ^ )• = oo, z- ^ z, el T = Y = 00, ;• = -lo seraient regardés comme

distincts et engendreraient une variété à deu.v dimensions que j"aj)pellerai Z

quand z, et Zj prendraient toute> le> valeurs possibles. Alors la Ironlnre de \\

se composerait non seulement de K, el de K-.. mais encore de /,.

On a donc alor-.

Jv,, ~ l\, /,.

Soient de même \ la variété à deux dimensions formée pai' lc>s |)iiinls nù ./■ est fini. ) et ; infinis, et ^ eelli' qui est luriiiee |iar les puiiils cm i csi Uni, X el ; infinis: on aura alors

el

el eetle lioinologie sera vraie |ioiir Ions les cycles K^ engendrés |)ar le^ points satisfaisant à réquation Zj,/ -}- |J.j )• -|- '/l' ^ — o.j=u. à moins tjuf ileux drs coefficients y.<. '}■.. /■• tir soient nuls à la fois, auquel cas le second menilire devrait être remplacé par V 4- ^ si j:^=z!32=o, par \ -^ Z si :z,= y^=:o, par Y -f- Z si jSj = y., = o.

.le n'entrerai pas dans plus tie détails il ne rechercherai pas s'il y a une liumiilogie entre \, ^ , Z, me contenlaiil di; laire remarfiiier que le evcle x = J'o n'est pas homologue à S(o ).

Au contraire, avec la convention nouvelle, tous les cycles engendrés par le.s points satisfaisant à une équalion de la forme